1、第八章 概率与统计考点测试57 排列与组合第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为 5 分，中等难度考纲研读1理解排列、组合的概念2理解排列数公式、组合数公式3能利用公式解决一些简单的实际问题第1步狂刷小题 基础练一、基础小题1456(n1)n()AA4nBAn1nCn！4!DAn3n解析 原式可写成 n(n1)654，故选 D答案解析2甲、乙两人计划从 A，B，C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有()A3 种B6 种C9 种D12 种解析 甲、乙各选两个景点有 C23C239 种方法，其中，入选景点完全相同的有 3 种所以满足条件要
2、求的选法共有 936 种，故选 B答案解析3某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A3 种B6 种C9 种D18 种答案解析 解法一：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，共有 C12C236种不同的选法；A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，共有 C22C133 种不同的选法，所以两类课程中各至少选一门，不同的选法共有 639 种故选 C解法二：从 5 门课中选 3 门，共有 C35种不同的选法，当在两类课中，有一类不选时，即 B 类选修课选 3 门，共有 C33种不同的选法，所以两类
3、课程中各至少选一门，不同的选法共有 C35C339 种故选 C解析4在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，实验顺序的编排方法共有()A34 种B48 种C96 种D144 种解析 程序 A 有 C122 种结果，将程序 B 和 C 看作一个整体与除 A 外的元素排列有 A22A4448 种，所以由分步乘法计数原理，实验编排共有 24896 种方法答案解析5某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有()A16 种B36 种C42 种
4、D60 种答案解析 解法一(直接法)：若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个，每个城市一项，共 A34种方法；若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个，一个城市一项、一个城市两项共 C23A24种方法由分类加法计数原理知共 A34C23A2460 种方法解法二(间接法)：先任意安排 3 个项目，每个项目各有 4 种安排方法，共 4364 种排法，其中 3 个项目落入同一城市的排法不符合要求，共 4 种，所以总投资方案共 43464460 种解析6六个人排成一排，甲、乙两人中间至少有一个人的排法种数为()A480 B720 C240 D360解析 6 个人任意排列，共有 A
5、66种排列方法，甲、乙站在一起的排列方法有 A22A55种，则结果有 A66A22A55480 种故选 A答案解析7“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中 China 又可以简写为CN，从“CN Dream”中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()A360 种B480 种C600 种D720 种解析 从其他 5 个字母中任取 4 个，然后与“ea”进行全排列，共有 C45A55600 种排列，故选 C答案解析8将 4 名司机和 8 名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1 名司机和 2 名售票员，则可能的分配方案种数是()AC28
6、C26C24A44A44BA28A26A24A44CC28C26C24A44DC28C26C24解析(分组分配法)将 8 名售票员平均分为 4 组，分配到 4 辆车上，有C28C26C24种，再分配司机有 A44种，故共有方案 C28C26C24A44种故选 C答案解析9将 5 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是()A60 B90 C120 D180解析 根据题意，分 2 步进行分析：5 本不同的书分成 3 组，一组一本，剩余两个小组每组 2 本，则有C15C24C22A2215 种方法；将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙三人，则有 A336 种情况所以总共
7、有 15690种不同的方法故选 B答案解析答案 36105 名同学分配到 3 个不同宣传站做宣传活动，每站至少 1 人，其中甲、乙两名同学必须在同一个宣传站，则不同的分配方法的种数是_(用数字作答)解析 将 5 名同学分成三组，要求甲、乙在同一组的方法种数为 C23C136，将这三组分配到不同的宣传组的方法种数为 A336，故所有的分配方法种数为 6636.答案解析答案 24011将 5 名志愿者分成 4 组，其中一组为 2 人，其余各组各 1 人，到 4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有_种(用数字作答)解析 假设 4 个路口分别为 A，B，C，D，如果 A 路口有 2 人，则共有C25
8、C13C12C11种分配方法，同理若 B，C，D 路口有 2 人，则每种情况共有 C25C13C12C11种分配方法，故总的分配方法有 4C25C13C12C11240 种答案解析答案 12012由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且 4不在第四位，则这样的六位数共有_个解析 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有 A33A34144 个，4 在第四位，则前 3 位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有 2C13C12A2224 个，所以所求六位数共有 14424120 个答案解析二、高考小题13(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成
9、4 项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有()A12 种B18 种C24 种D36 种解析 由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C13C24A2236 种，故选 D答案解析14(2016四川高考)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72解析 奇数的个数为 C13A4472.故选 D答案解析15(2016全国卷)定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k2m，a1，a2，ak 中 0 的
10、个数不少于 1 的个数，若 m4，则不同的“规范 01 数列”共有()A18 个B16 个C14 个D12 个答案解析 当 m4 时，数列an共有 8 项，其中 4 项为 0，4 项为 1，要满足对任意 k8，a1，a2，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数，则必有 a10，a81，a2 可为 0，也可为 1.(1)当 a20 时，分以下 3 种情况：若 a30，则 a4，a5，a6，a7 中任意一个为 0 均可，则有 C144 种情况；若 a31，a40，则 a5，a6，a7 中任意一个为 0 均可，有 C133 种情况；若 a31，a41，则 a5 必为 0，a6，a7 中任一个为 0
11、均可，有 C122 种情况；(2)当 a21 时，必有 a30，分以下 2 种情况：若 a40，则 a5，a6，a7 中任一个为 0 均可，有 C133 种情况；若 a41，则 a5 必为 0，a6，a7 中任一个为0 均可，有 C122 种情况综上所述，不同的“规范 01 数列”共有 4323214 个故选 C解析答案 126016(2018浙江高考)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)解析 若不取零，则排列数为 C25C23A44；若取零，则排列数为 C25C13C13A33，因此一共有 C25
12、C23A44C25C13C13A331260 个没有重复数字的四位数答案解析答案 1617(2018全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析 根据题意，没有女生入选有 C344 种选法，从 6 位学生中任意选 3 人有 C3620 种选法，故至少有 1 位女生入选的不同选法共有 20416 种答案解析答案 108018(2017天津高考)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析 当组成四位数的数字中有一个偶数时，四
13、位数的个数为 C35C14A44960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A45120.故符合题意的四位数一共有 9601201080 个答案解析答案 66019(2017浙江高考)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)答案解析 解法一：只有 1 名女生时，先选 1 名女生，有 C12种方法；再选3 名男生，有 C36种方法；然后排队长、副队长位置，有 A24种方法由分步乘法计数原理，知共有 C12C36A24480 种选法有 2 名女生时，再选 2 名
14、男生，有 C26种方法；然后排队长、副队长位置，有 A24种方法由分步乘法计数原理，知共有 C26A24180 种选法所以依据分类加法计数原理，知共有 480180660 种不同的选法解法二：不考虑限制条件，共有 A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有 A26C24种故至少有 1 名女生的选法有 A28C26A26C24840180660 种解析三、模拟小题20(2019芜湖一模)某校高一开设 4 门选修课，有 4 名同学选修，每人只选 1 门，恰有 2 门课程没有同学选修，则不同的选课方案有()A96 种B84 种C78 种D16 种解析 恰有 2 门选修课没有被这 4 名学生选择，先
15、从 4 门课中任选 2门共有 C246 种，4 名学生选 2 门课共有 2416 种，排除 4 名同学全选其中一门课程为 16214 种，故有 14684 种故选 B答案解析21(2020广州市天河区毕业班综合测试)安排 5 名学生去 3 个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有()A360 种B300 种C150 种D125 种答案解析 5 名学生分成 3 组，每组至少 1 人，有 3,1,1 和 2,2,1 两种情况：3,1,1：分组共有C35C12A22 10 种分法；再分配到 3 个社区：10A3360 种2,2,1：分组共有
16、C25C23A22 15 种分法；再分配到 3 个社区：15A3390 种综上所述，共有 6090150 种安排方式故选 C解析22(2019韶关市调研考试)某中学元旦晚会共由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有()A720 种B360 种C300 种D600 种解析 先安排好除丙之外的 5 个节目，有A55A2260 种可能，再安排丙，有 5 种可能，共 300 种方案，故选 C答案解析23(2019合肥二检)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务 A 必须排在前三项执行，且执行任务 A 之后需立
17、即执行任务E；任务 B、任务 C 不能相邻则不同的执行方案共有()A36 种B44 种C48 种D54 种答案解析 六项不同的任务分别为 A，B，C，D，E，F，如果任务 A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好 D，F，再在 D，F 之间的 3 个空位中插入 B，C，此时排列方法有 A22A2312 种；如果任务 A 排在第二位时，E 排在第三位，则 B，C 可能分别在 A，E的两侧，排列方法有 C13A22A2212 种，可能都在 A，E 的右侧，排列方法有A22A224 种；如果任务 A 排在第三位时，E 排在第四位，则 B，C 分别在 A，E 的两侧，排列方法有 C12C
18、12A22A2216 种；所以不同的执行方案共有 121241644 种解析24(2019西安市长安一中二模)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A72 B120 C192 D240解析 末尾是 2 或 6，不同的偶数个数为 C12A35120；末尾是 4，不同的偶数个数为 A55120，故共有 120120240 个故选 D答案解析25(2019湖南岳阳一中一模)某高铁站 B1 进站口有 3 个闸机检票通道口，高考完后某班 3 个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这
19、 3 个同学的不同进站方式有()A24 种B36 种C42 种D60 种答案解析 若三名同学从 3 个不同的检票通道口进站，则有 A336 种；若三名同学从 2 个不同的检票通道口进站，则有 C23C23A22A2236 种；若三名同学从 1 个不同的检票通道口进站，则有 C13A3318 种综上，这 3 个同学的不同进站方式有 60 种，故选 D解析26(2019广州一调)某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 名，乙大学 2 名，丙大学 1 名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A36 种B2
20、4 种C22 种D20 种解析 第一类：男生分为 1,1,1，女生全排，男生全排得 A33A2212 种，第二类：男生分为 2,1，所以男生两堆全排后女生全排 C23A22A2212 种，不同的推荐方法共有 121224 种，故选 B答案解析27(2019湖南、江西等十四校第二次联考)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借 A，B，C，D 四类课外书(每类课外书均有若干本)，已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅 A 类课外书，则不同的借阅方案种数为()A48 B54 C60 D72解析 分两类：乙、丙、丁、戊四位同学借 A，B，C，D 四类课外书各 1 本，共 A442
21、4 种方法；乙、丙、丁、戊四位同学借 B，C，D 三类课外书各 1 本，共有 C24A3336 种方法，故方法总数为 60 种故选 C答案解析28(2019湖北联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的 3 辆共享汽车都是随机停放的，且这 3 辆共享汽车都不相邻的概率与这 3 辆共享汽车恰有 2 辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_答案 10答案解析 设停车位有 n 个，这 3 辆共享汽车都不相邻即相当于先将(n3)个停车位排放好，再将这 3 辆共享汽车插入到所成(n2)个间隔中，故有A3n2种，恰有 2 辆相邻即先把其中 2 辆捆绑在一起看作一个复合元素
22、，再和另一个插入到将(n3)个停车位排放好所成的(n2)个间隔中，故有 A23A2n2种，因为这 3 辆共享汽车都不相邻的概率与这 3 辆共享汽车恰有 2 辆相邻的概率相等，所以 A3n2A23A2n2，解得 n10.解析答案 12029(2019长春质检)20 个不加区别的小球放入 1 号，2 号，3 号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为_解析 先在编号为 2,3 的盒内分别放入 1 个，2 个球，还剩 17 个小球，三个盒内每个至少再放入 1 个，将 17 个球排成一排，有 16 个空隙，插入 2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有 C216120 种方法答案解析答案 3630(2020汕头市高三上学期期末)把分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为_(用数字作答)解析 先将卡片分为符合条件的 3 份，由题意，得 3 人分 5 张卡片，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将 1,2,3,4,5 这 5 个数用 2 个板子隔开，在 4 个空位插 2 个板子，共有C246 种情况，再对应到 3 个人，有 A336 种情况，则共有 6636 种情况答案解析第2步精做大题 能力练本考点在近三年高考中未涉及此题型本课结束
