1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 计数原理 第一章 1.3 二项式定理第一章 第2课时 杨辉三角课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为之痴迷一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童，学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9的数字分行排列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了杨辉回到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”就是说：先
2、把19九个数依次斜排，再把上1到9两数对调，左7右3两数对调，最后把2,4,6,8向外面挺出，这样三阶幻方填好了杨辉还系统研究了四阶幻方至十阶幻方，并且他还发现了著名的杨辉三角那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？1.(ab)n与(ba)n的展开式中第r1项相同吗？2解决与二项式系数有关问题的基本点和注意点是什么？答案：1.不同(ab)n 展开式中第 r1 项是 Crnanrbr，而(ba)n 展开式中第 r1 项是 Crnbnrar.2(1)基本点：首先由通项公式写出关于 r 的一般表达式，再由题意求出 r.(2)注意点一：在求 r 的时候，注意组合性质的灵活应用；注意点二：若
3、通项中含有根式，一定要将其转化为分数指数形式进行运算；注意点三：若能化简，则先化简再求解一、杨辉三角 当 n 是较小的正整数时，可以直接写出各项的二项式系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算上面的二项式系数表称为“杨辉三角”二、杨辉三角中二项式系数的性质及其应用(1)每一行的两端都是 1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和即 C0n1，Cnn1，Cmn1Cm1nCmn.这实际上反映了组合数的性质 2.(2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等即C0nCnn，C1nCn1n，C2nCn2n，Cmn Cnmn.这个性质实际上反映了组合数的性质 1.(3)如果二项式的幂指数
4、 n 是偶数，那么其展开式中间一项Tn21 的二项式系数最大(即 Cn2n 的值最大)；如果 n 是奇数，那么其展开式中间两项 Tn12 和 Tn12 1 的二项式系数相等且最大(即 Cn12nCn12n 且值最大)(4)在(1x)nC0nC1nx1C2nx2Cnnxn 中，令 x1，可得 C0nC1nC2nCnn(11)n2n；令 x1，得 C0nC1nC2nC3n(11)n0，所以 C0nC2nC1nC3n.于是得到：(1)二项式系数和为 2n，即 C0nC1nC2nCnn2n.(2)二项式的奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都等于 2n1.即 C1nC3nC5nC0nC2n
5、C4n2n1.在理解二项展开式的二项式系数和的有关性质时，要掌握这种给字母赋值的思想(实际上是函数思想)；具体到计算特定项的二项式系数时可以直接给字母赋值，也可以联系二项式的展开式；对整体式子的求值，用给字母赋值的方法非常方便(1)(1x)4n1的展开式中系数最大的项是()A第2n项B第2n1项C第2n项和第2n1项D第2n2项答案 B解析 令 n1 则(1x)5 展开式中系数最大的项为第 3项故选 B.导学号98570135答案 11(2)若x1 nxnax3bx21(nN)，且 ab，那么 n_.解析 由二项式定理可得 aC3n，bC2n.又 ab，C3n2n得 n11.三、赋值法求二项展
6、开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如：求(ax)na0a1xa2x2anxn 展开式中各项系数和，可令 x1，即得各项系数和 a0a1a2an.若要求奇数项的系数和或偶数项的系数和，可分别令 x1，x1，再将等式相加或相减即可求出结果(1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同当 n 为偶数时，奇数项的二项式系数个数多一个；当 n 为奇数时，奇数项的二项式系数个数与偶数项的二项式系数个数相同(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致设(2x1)6a6x6a5x5a1xa0，则|a0|a1|a6|_
7、.答案 729解析|a0|a1|a6|就是(2x1)6 展开式中各项系数的和，应为 36729.导学号98570136课堂典例探究与杨辉三角有关的问题如图，在“杨辉三角”中，斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前 n 项和为Sn，求 S19 的值分析 解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可导学号98570137方法总结 杨辉三角中的数都与二项式系数相对应，所以杨辉三角的问题都要转化为二项式系数的问题进行计算解析 由图知，数列的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23
8、，第 4 项是 C13，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211，S19C22C12C23C13C210C110C211(C12C13C14C110)(C22C23C24C211)(23410)(C33C23C211)21092C31254121110123 274.如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为_答案 2n1解析 由 1,3,5,7,9，可知它们成等差数列，所以 an2n1.导学号98570138(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项二项
9、式系数与二项展开式项的系数的区别导学号98570139解析 T6C5n(2x)5，T7C6n(2x)6，依题意有C5n25C6n26n8.(12x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5C48(2x)41 120 x4.设第 r1 项系数最大，则有Cr82rCr18 2r1Cr82rCr18 2r1 5r6.r5，或 r6(r0,1,2，8)系数最大的项为 T61 792x5，T71 792x6.方法总结(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项
10、系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得在12x 10 的展开式中，(1)求系数最大的项；(2)若 x2.5，求第几项的值最大？解析(1)设第 r1 项的系数最大由通项公式得 Tr1Cr102rxr.由题意知第 r1 项的系数不小于第 r 项、第 r2 项的系数则Cr102rCr110 2r1，Cr102rCr110 2r1，解得211rr，r1210r.193 r223 且 0r8，rZ，r7.故系数最大的项为 T8C71027x715 360 x7.导学号98570140(2)设展开式中的第 r1 项的值最大，则 Tr1Tr0，Tr1Tr20，Tr1Tr 1，Tr2Tr1
11、1，Cr102xrCr110 2xr111rr2x1，Cr102xr1Cr102xr 10rr1 2x1，将 x2.5 代入得511rr1，510rr11，得496 r556.r9，即展开式中的第 10 项的值最大.在二项式(2x3y)9展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)所有项的系数绝对值的和分析 写出体现系数的展开式，根据需要赋值求展开式的系数和导学号98570141解析 设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为 C09C19C29C9929；(2)各项系数之和为 a0a1a2a9，令 x1，y1，
12、则 a0a1a2a9(23)91.(3)由(2)知 a0a1a2a91.令 x1，y1，可得 a0a1a2a959.将两式相加，可得 a0a2a4a6a85912，即为所有奇数项系数之和(4)方法一：|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令 x1，y1，则|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.方法二：|a0|a1|a2|a9|，即为(2x3y)9 展开式中各项系数和，令 x1，y1，得|a0|a1|a2|a9|59.方法总结(1)对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，b，cR，n，mN)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对(axby)
13、n(a，bR，xN)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 xy1 即可(2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 a0f(0)；a0a2a4f1f12；a1a3a5f1f12.已知(12x3x2)7a0a1xa2x2a13x13a14x14，求：(1)a1a2a14；(2)a1a3a5a13.解析(1)令 x1，得 a0a1a2a1427.令 x0 得 a01，a1a2a14127.(2)令 x1，得 a0a1a2a13a1467，由，得 2(a1a3a5a13)2767，a1a3a5a1312(2767)导学号98570142求1.9975精确到0.001的近似值二项式定理在近似计算
14、中的应用解析 1.9975(20.003)525C15240.003C25230.0032C35220.0033320.240.000 7231.761.方法总结 利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.导学号98570143二项式定理在整除性问题中的应用求证：(1)51511 能被 7 整除；(2)32n324n37 能被 64 整除证明(1)51511(492)511C0514951C15149502C505149250C51512511，易知除 C51512511 以外各项都能被 7 整除又 2511(23)171(71)171C017717C1
15、17716C16177C171717(C017716C117715C1617)显然能被 7 整除，所以 51511 能被 7 整除导学号98570144(2)32n324n3739n124n373(81)n124n373(C0n18n1C1n18nCnn181)24n37364(C0n18n1C1n18n2Cn1n1)24Cnn124n40643(C0n18n1C1n18n2Cn1n1)64 是 64 的倍数，故原式可被 64 整除方法总结 要想整除需找除数或除数的倍数作因式，利用二项式展开式可得证，题(2)要证 32n324n37 能被 64 整除，需将 32n324n37 变形后使各项都含
16、有因数 64，在考虑用二项式定理进行证明时，则应将 32n3 变形为 39n13(81)n1，这是利用二项式定理证明整除问题的常用技巧求 SC127C227C2727除以 9 的余数解析 SC127C227C27272271891(91)91C0999C1998C899C9919(C0998C1997C89)29(C0998C1997C891)7，显然上式括号内的数是正整数，故 S 被 9 除的余数为 7.导学号98570145已知(13x)8a0a1xa7x7a8x8.求：(1)a0a1a8；(2)a0a2a4a6a8；(3)|a0|a1|a2|a8|.错解(1)a0a1a8C08C18C8
17、828256.(2)a0a2a4a6a8C08C28C48C68C8827128.(3)|a0|a1|a2|a8|256.辨析 二项式系数与系数是两个不同的概念，不能混淆导学号98570146正解(1)令 x1，得a0a1a828256.(2)令 x1，得a8a7a6a5a4a3a2a1a048.得2(a8a6a4a2a0)2848.a8a6a4a2a012(2848)32 896.(3)由于(13x)8C08C18(3x)C28(3x)2C88(3x)8a0a1xa2x2a8x8，故 a0，a2，a80，a1，a3，a5，a70，|a0|a1|a2|a8|a0a1a2a3a8.由可知|a0|a1|a8|4865 536.杨辉三角杨辉三角的形式了解二项式系数的性质理解杨辉三角的应用理解课 时 作 业（点此链接）
