1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一直线过定点问题【典例】已知O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐标系中两个定点,过动点M(x,y)的直线MO和MK的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.(2)过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A,B两点,求证:直线AB过定点.【解题导思】序号联想解题(1)利用两点坐标表示出直线OM,MK的斜率,即可得到动点坐标所满足的条件(注意斜率存在的条件)(2)根据点K的位置,确定过点K相互垂直的两直线斜率是否存在;
2、若两直线斜率存在,则斜率互为负倒数.建立A,B两点坐标之间的关系,求出直线方程所满足的条件,进而确定定点.【解析】(1)由题意,知k1k2=-,得=-,整理得x2+y(y-2)=0,故C的方程为+(y-1)2=1(x0).(也可以写作x2+2y2-4y=0).(2)显然两条过点K的直线斜率都存在,设过点K的直线方程为y=kx+2,联立解得x=,y=,设直线AB的方程为:Ax+By+C=0,将x=,y=代入得+C=0整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,由于两直线垂直,斜率乘积为-1,根据根与系数的关系=-1,即2B+3C=0,故直线AB过定点.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引
3、进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.(2020杭州模拟)抛物线Q:y2=4x,焦点为F.(1)若E(3,2)是抛物线内一点,P是抛物线上任意一点,求|PE|+|PF|的最小值.(2)过F的两条直线x=my+1,x=ny+1,分别与抛物线交于A,B和C,D四个点,记M,N分别是线段AB,CD的中点,若+=2,证明:直线MN过定点,并求出这个定点坐标.【解析】(1)由抛物线定义知,|PF|等于P到准线x=-1的距离,所以|PE|+|PF|的最小值即为点E到准线x=-1的
4、距离,等于4.(2)由得y2-4my-4=0,解得yM=2m,代入x=my+1,得xM=2m2+1,同理xN=2n2+1,yN=2n,所以kMN=,所以MN:y-2m=(x-2m2-1),变形得(m+n)y=x+2mn-1,因为+=2,所以化简得x-1-2mn(y-1)=0,所以直线MN恒过定点,且定点坐标为(1,1).考点二圆过定点问题【典例】已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为-.(1)求动点C的轨迹方程.(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.【解题导思】序号联想解题(1)两直线的斜率
5、存在,故动点C与A,B两点横坐标不相等;利用点的坐标表示出斜率,构造等式关系.(2)直线和曲线相切,可利用判别式建立直线方程中的参数之间的关系,代入方程求出点Q的坐标,转化为两个向量垂直,进而坐标化处理.【解析】(1)设C(x,y).由题意得kACkBC=-(y0).整理,得+=1(y0).故动点C的轨迹方程为+=1(y0).(2)方法一:易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组 消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依题意得=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m
6、2-12=0的两个根,则x1+x2=,所以x1=x2=.所以P,即P.又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由=0,得(4-t,4k+m)=0.整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).方法二:设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:+=1.令x=4,得Q.设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由=0,得(x0-t)(4-t)+3-3x0=0,即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知,
7、以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).圆过定点,可依据直径所对圆周角为直角直接转化为两条线段的垂直,进而转化为两个向量垂直,即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解定点的坐标.已知椭圆C:+=1(ab0)的右顶点为A,左焦点为F1,离心率e=,过点A的直线与椭圆交于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1,若=3+.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过圆E:x2+y2=4上任意一点P作圆E的切线l,l与椭圆交于M,N两点,以MN为直径的圆是否过定点,如果过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.【解析】(1)因为e=,所以a=c,b=c,设B(-c,y0),代入椭圆方程得: |y0|=
8、b,所以=|y0|F1A|=b2(1+),所以b2(1+)=3+,所以b2=6,所以a2=12,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆的圆心为(2,0)或(-2,0),半径为2,以MN为直径的圆的标准方程为: (x+2)2+y2=4或(x-2)2+y2=4,因为两圆都过坐标原点,所以以MN为直径的圆过坐标原点,当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),因为直线与圆相切,所以圆心到直线l的距离d=2,所以m2=4k2+4,由化简得:(2k2+1)x2+4kmx+2m2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以=x
9、1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=0,所以以MN为直径的圆过坐标原点,综上,以MN为直径的圆恒过坐标原点.考点三定值问题命题精解读考什么:(1)考查圆锥曲线中与定值有关问题的求解与证明等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理以及数学建模的核心素养、考查函数与方程、转化与化归的数学思想等.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为基础,考查定值问题的求解与证明.新趋势:以定值问题为核心,与函数、平面向量等知识模块交汇.学霸好方法圆锥曲线中定值问题的特点及两种解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两
10、种解法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;变量法:其解题流程为与长度、角度相关的定值【典例】已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且椭圆C过点P.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆C的右焦点为F,直线l与椭圆C相切于点A,与直线x=3相交于点B,求证:AFB的大小为定值.【解析】(1)因为椭圆C过点,所以+=1因为离心率为,所以=又因为a2=b2+c2由得a2=3,b2=2,c2=1.所以椭圆C的方程为:+=1.(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+m.由消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由=24(3k2-m2+2)=0得m2=3k2+2.所
11、以xA=-=-=-,所以yA=kxA+m=-+m=.所以切点A的坐标为,又点B的坐标为(3,3k+m),右焦点F的坐标为(1,0),所以=,=(2,3k+m),所以=2+(3k+m)=0,所以AFB=90,即AFB的大小为定值.代数式的定值【典例】已知抛物线C:y2=ax(a0)上一点P到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程.(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则a=4t,由点P在抛物线上,得at=
12、,所以a=,则a2=1,由a0,得a=1,所以抛物线C的方程为y2=x.(2)因为点A在抛物线C上,且yA=1,所以xA=1.所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线的方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2=-.所以k1k2为定值.1.已知直线l过抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C的方程.(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜
13、率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.【解析】(1)由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.(2)由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),则k1=,k2=,k1k2=,联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中=4(k2+4k+8)0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.因此k1k2为定值,且该定值为-1.2.已知,椭圆C经过点A,两个焦点分别为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程.(2)E,F是椭圆C
14、上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【解析】(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为+=1,因为A在椭圆上,所以+=1,解得b2=3,b2=-(舍去).所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线AE的方程为:y=k(x-1)+,代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A在椭圆上,所以xE=,yE=kxE+-k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得xF=,yF=-kxF+k.所以直线EF的斜率kEF=.即直线EF的斜率为定值,其值为. 1.已知椭
15、圆C:+=1(ab0)的一个焦点与y2=8x的焦点重合且点A(2,)为椭圆上一点(1)求椭圆方程.(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x=2对称的直线,与椭圆C分别交于P,Q两点,求证:直线PQ的斜率是定值.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),则椭圆C的一个焦点为F(2,0),故a2=b2+4,把点A代入椭圆方程得:+=1,解得: 所以椭圆C方程为+=1.(2)由题意,可设直线AP的方程为y=k(x-2)+,则直线AQ的方程为y=-k(x-2)+,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=k(x1-2)+,y2=-k(x2-2)+,把直线AP的方程与椭圆C方程联立得:(1
16、+2k2)x2+(4k-8k2)x+(8k2-8k-4)=0,2x1=,故x1=,同理可得x2=,所以kPQ=k=k=,所以直线PQ的斜率是定值.2.已知椭圆C:+=1(ab0)经过(1,1)与两点.(1)求椭圆C的方程.(2)过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证:+为定值.【解析】(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程,得 解得 所以椭圆C的方程为+=1.(2)由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A,B关于原点对称.若点A,B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时+=+=2(+)=2.同理,若点A,B是椭圆的长轴顶点,则点M是椭圆的一个短轴顶点,此时+=+=2(+)=2.若点A,B,M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k0),则直线OM的方程为y=-x,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),由 解得=,=,所以|OA|2=|OB|2=+=,同理|OM|2=,所以+=2+=2,故+=2为定值.关闭Word文档返回原板块
