1、第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解直线与圆的位置关系的几何性质(重点)2会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题(重点、难点)3会用数形结合的数学思想解决问题通过学习直线与圆的方程的应用，提升数学建模、直观想象、数学运算的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”坐标系几何元素代数几何结论D 在不同坐标系下，方程也不同1一涵洞的横截面是半径为 5 m 的半圆，则该半圆的方程是()A.x2y225B.x2y225(y0)C.(x5)2y22
2、5(y0)D.随建立直角坐标系的变化而变化C 圆 x2y21 的圆心(0，0)到直线 xy1 的距离 d|1|1212 22 1，所以直线 xy1 与圆 x2y21 相交故选 C.2已知集合 A(x，y)|x，y 为实数，且 x2y21，B(x，y)|x，y 为实数，且 xy1，则 AB 的元素个数为()A.4 B3 C2 D1 5,1 圆的半径为 2，圆心到点 A 的距离为 3，结合图形可知，圆上一点 P 到点 A 距离的最大值是 325，最小值是 321.3已知点 A(3，0)及圆 x2y24，则圆上一点 P 到点 A 距离的最大值和最小值分别是_合 作 探 究 释 疑 难 直线与圆的方程
3、的实际应用问题探究问题1设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24 表示，村外一小路方程可用 xy20 表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？提示 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，3)到直线 xy20 的距离减去圆的半径 2，即|232|12（1）227 22 2.2已知台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求 B 城市处于危险区内的时间提示 如图，以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系射线 AC 为xAy 的平分线，则台
4、风中心在射线 AC 上移动则点 B 到 AC 的距离为 20 2千米，则射线 AC 被以 B 为圆心，以30 千米为半径的圆截得的弦长为 2 302（20 2）220(千米).所以 B 城市处于危险区内的时间为 t20201(小时).【例 1】为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A，接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路上的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE，求 DE 的最短距离思路探
5、究：建系 求圆O和直线BC的方程利用直线与圆的位置关系求解解 以 O 为坐标原点，OB，OC 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴，建立平面直角坐标系，则圆 O 的方程为 x2y21.因为点 B(8，0)，C(0，8)，所以直线 BC 的方程为x8y81，即 xy8.当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE 为最短距离此时 DE 的最小值为|008|21(4 21)km.即 DE 的最短距离为(4 21)km.求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤(1)认真审题，明确题意(2)建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与
6、圆的方程(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题(4)把代数结果还原为实际问题的解释跟进训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面 2 m，水面宽 12 m，当水面下降 1 m 后，水面宽为_ m.2 51 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为 y 轴，建立平面直角坐标系设圆心为 C，圆的方程设为 x2(yr)2r2(r0)，水面所在弦的端点为 A，B，则 A(6，2).将点 A(6，2)代入圆的方程，得 r10，圆的方程为 x2(y10)2100.当水面下降 1 m 后，可设点A(x0，3)(x00)，将 A(x0，3)代入圆的方程，得 x0 51，当水面
7、下降 1 m 后，水面宽为 2x02 51(m).坐标法证明几何问题【例 2】如图所示，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且 ABCD，E 为垂足利用坐标法证明 E 是 CD 的中点证明 如图所示，以 O 为坐标原点，以直径 AB 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，设O 的半径为 r，|OE|m，则O 的方程为x2y2r2，设 C(m，b1)，D(m，b2).则有 m2b21r2，m2b22r2，即 b1，b2 是关于 b 的方程 m2b2r2 的根，解方程得 b r2m2，不妨设 b1 r2m2，b2 r2m2，则 CD 的中点坐标为m，r2m2 r2m22，即(m，0).故 E(
8、m，0)是 CD 的中点，即 E 是 CD 的中点坐标法建立直角坐标系应坚持的原则：(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为 x 轴和 y 轴(2)充分利用图形的对称性(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称(4)关键点的坐标易求得跟进训练2如图所示，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作一圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆 O 交于 E，F，且 EF 与 CD 相交于 H.求证：EF 平分 CD.证明 以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，设|AB|2r，D(a，0)，则|CD|r2a2，所以 C(a，r2a2)，所以圆 O：
9、x2y2r2，圆 C：(xa)2(y r2a2)2r2a2.两方程作差得直线 EF 的方程为2ax2 r2a2yr2a2.令 xa，得 y12 r2a2，所以 Ha，12 r2a2，即 H 为 CD 的中点，所以 EF 平分 CD.课 堂 小 结 提 素 养 1直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析
10、、解决问题1若直线 yxb 与曲线 y3 4xx2有公共点，则 b 的取值范围是()A.12 2，12 2 B1 2，3C.1，12 2 D12 2，3D 数形结合，利用图形进行分析由 y3 4xx2得(x2)2(y3)24(0 x4，1y3)，它表示以(2，3)为圆心，2 为半径的下半圆，如图所示，当直线与圆相切时有|23b|1212 2，得 b12 2；当直线过点(0，3)时，b3，故选 D.13 m 设圆心为 O，半径为 r，则由勾股定理得，|OB|2|OD|2|BD|2，即 r2(r4)262，解得 r132，所以拱桥的直径为 13 m2如图，圆弧形桥拱的跨度 AB12 m，拱高 CD
11、4 m，则拱桥的直径为_254 点 A(1，2)在圆 x2y25 上，过点 A 与圆 O 相切的切线方程为 x2y5，易知切线在坐标轴上的截距分别为 5，52，切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.3已知圆 O：x2y25 和点 A(1，2)，则过点 A 与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为_4某操场 400 m 跑道的直道长为 86.96 m，弯道是两个半圆弧，半径为 36 m，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程.解 易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C(0，43.48)，其所在圆的半径为 36，故上半个弯道所在圆的方程是 x2(y43.48)2362.同理下半个弯道所在圆的方程是 x2(y43.48)2362.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
