1、【课标要求】1.了解事件的关系与运算.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.掌握概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简单事件的概率.4.理解并事件与交事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.知识导图 学法指导 1.理解互斥事件与对立事件时需注意：互斥事件是不可能同时发生的两个或多个事件，而对立事件是不能同时发生，且必须有一个发生的两个事件2当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求出时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率知识点一 事件的关系与运算定义表示法 图示 包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B_，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
2、_(或_)事件互斥若AB为_，则称事件A与事件B互斥若_，则A与B互斥事件的关系事件对立若AB为，AB为_，那么称事件A与事件B互为对立事件若AB，且ABU，则A与B对立一定发生BAAB不可能事件AB必然事件并事件若某事件发生当且仅当_，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)_(或_)事件的运算 交事件若某事件发生当且仅当_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)_(或_)事件A发生或事件B发生ABAB事件A发生且事件B发生ABAB状元随笔 两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：(1)若事件A发生，则事件B就不发生；(2)若事件B发生，则事件A就不发生；(3)事件A，B都不
3、发生两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况因此，互斥未必对立，但对立一定互斥知识点二 概率的几个性质1范围：任何事件A的概率P(A)_2必然事件A的概率：P(A)_.3不可能事件A的概率：P(A)_.4概率加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_5对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件，P(AB)_1，即P(A)_0,110P(A)P(B)P(A)P(B)1P(B)状元随笔 (1)只有当A、B互斥时，公式P(AB)P(A)P(B)才成立；只有当A、B对立时，公式P(A)1P(B)才成立(2)当求较复杂的事件的概率时，可将其分解成较简单的彼此互斥的事件，化难为易(3
4、)当所求事件的概率正面求解较难，但其对立事件的概率易求时，可用对立事件公式间接求解，对于事件中含有“至多”“至少”等这样的问题，常用此法求解，即正难则反小试身手1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)互斥事件一定对立()(2)对立事件一定互斥()(3)互斥事件不一定对立()(4)当ABA时，P(AB)P(A)()2对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A互斥不对立 B对立不互斥C互斥且对立D不互斥、不对立解析：必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立答案：C3抽查10件产品，记事件A为“至少有2件
5、次品”，则A的对立事件为()A至多有2件次品 B至多有1件次品C至多有2件正品 D至少有2件正品解析：至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品答案：B4甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13解析：P(甲不输)P(和棋)P(甲获胜)121356.答案：A类型一 事件关系的判断例1(1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是()A“至少1名男生”与“全是女生”B“至少1名男生”与“至少1
6、名是女生”C“至少1名男生”与“全是男生”D“恰好1名男生”与“恰好2名女生”【解析】(1)从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，A.“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；B.当“恰好1名男生，1名女生”时，“至少1名男生”与“至少1名是女生”同时发生，所以“至少1名男生”与“至少1名是女生”不互斥；C.当“全是男生”时，“至少1名男生”与“全是男生”同时发生，所以“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；D.“恰好1名男生”与“恰好2名女生”是互斥事件，当“恰好2名男生”时，“恰好1名男生”与“恰好2名女生”不可能同时发生，所以为互斥事件，且存在除了这两种情况之外的其他事件，因此不
7、是对立事件互斥事件不能同时发生，可能均不发生；对立事件首先是互斥事件，即不能同时发生，但必须有一个发生【答案】(1)D(2)从1,2,3，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是()A BC D【解析】(2)根据题意，从1,2,3，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况：依次分析所给的4个事件可得恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况不是对立事件；至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数
8、”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况不是对立事件【答案】(2)C方法归纳要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，知道它们对事件结果的影响必要时可以把具体的事件列举出来，更易于分辨跟踪训练1(1)把红、黑、白、蓝4张纸牌
9、随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A对立事件B不可能事件C互斥但不对立事件 D以上均不对(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A两次都中靶B至少有一次中靶C两次都不中靶D只有一次中靶解析：(1)根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件(2)事件“至多有一次中靶”包含“只有
10、一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”答案：(1)C(2)A类型二 事件的运算例2 掷一枚骰子，下列事件：A出现奇数点，B出现偶数点，C点数小于3，D点数大于2，E点数是3的倍数求：(1)AB，BC.(2)AB，BC.(3)记H是事件D的对立事件，求H，AC，HE.【解析】(1)AB，BC出现2点(2)AB出现1,2,3,4,5或6点，BC出现1,2,4或6点(3)H点数小于或等于2出现1或2点；AC出现1点；HE出现1,2,3或6点与集合间关系与运算类似，只要结合事件间关系的定义即可状元随笔 事件间的运算方法有两种，第一种利用事件间运算的定义，列出同一条件下
11、的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算第二种利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算在一些比较简单的题目中，可以根据常识来判断事件之间的关系，但对于比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理跟踪训练2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A3个球中有1个红球，2个白球，事件B3个球中有2个红球，1个白球，事件C3个球中至少有1个红球，事件D3个球中既有红球又有白球问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？解析：(1)对于事件D，可能的结果为1
12、个红球2个白球，或2个红球1个白球，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故CAA.类型三 用互斥、对立事件求概率例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是14，取到方块(事件B)的概率是14，问：(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？【解析】(1)因为CAB，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得P(C)P(A)P(B)12.(2)事件C与事件D互斥，且CD为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，P(D)1P(C)12.事件C是事件
13、A与事件B的并事件，且事件A与事件B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)1P(C)方法归纳 概率公式的应用(1)直接用：首先要分清事件间是否互斥，同时要把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，直接应用互斥事件的概率加法公式P(AB)P(A)P(B)，得出结果(2)间接用：当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率公式P(A)1P(A)得出结果跟踪训练3(1)同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是_(2)2018全国卷若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4C0.6 D0.7解析：(1)记既没有5点也没有6点的事件为A，则P(A)49，5点或6点至少出现一个的事件为B.因为AB，AB为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)1P(A)14959.故5点或6点至少出现一个的概率为59.(2)某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，且只有这三种情况，所以不用现金支付的概率为：10.450.150.4.答案：(1)59(2)B
