1、第三章 三角恒等变换本章教材分析本章知识框图 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,以及运用这些公式进行简单的恒等变换.变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一.在本册第一章,学生接触了同角三角函数公式.在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,并体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用. 本章内容安排按两条线进行,一条明线是建立公式,学习变换;一
2、条暗线就是发展推理能力和运算能力,并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中,也体现在建立公式的过程之中.因此在本章教学中,教师要特别注意恰时恰点地提出问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,使学生能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识. 突出数学思想方法的教学,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导,本章不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.例如,在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现
3、了数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在这个过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法,特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结.例如,在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2是的二倍,4是2的二倍,这里蕴含着换元的思想”等,都是为了加强思想方法而设置的. 两角和与差的正弦、余弦、正切
4、公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”,在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用,考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力,其考查难度属低档,这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上. 教师在教学中,要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低,但教材中部分习题却有一定难度,因此教师要把握好难度.本章教学时间约需8课时,具体分配如下(仅供参考):节 次标 题课 时3.1.1两角差的余弦公式1课时3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式2课时3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1课时
5、3.2简单的三角恒等变换2课时本章复习2课时3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式整体设计一、教学分析 本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像sin与tan(45+)这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程. 本节首先
6、引导学生对cos(-)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出-角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然
7、后再反思,予以完善;补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:要使学生了解公式的由来;使学生认识公式的结构特征,加以记忆;使学生掌握公式的推导和证明;通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.二、教学目标1知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归
8、思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.三、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.四、课时安排1课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解
9、直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像tan(45+)这样的包含两个角的三角函数的需要;实际问题中存在研究像sin与tan(45+)这样的包含两角和的三角函数与、45单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45=,cos30=,由此我们能否得到cos15=cos(45-30)=?这里是不是等于cos45-cos30呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(-)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦
10、公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题请学生猜想cos(-)=?利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用、的三角函数来表示cos(-)呢？利用向量的知识,又能如何推导发现cos(-)=?细心观察C(-)公式的结构,它有哪些特征？其中、角的取值范围如何？如何正用、逆用、灵活运用C(-)公式进行求值计算？ 活动:问题,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(-)=cos-cos的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如=60,=30,则cos(-)=cos30=,而cos-cos=cos60-cos3
11、0=,这一反例足以说明cos(-)cos-cos. 让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可. 问题,既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是-这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角-的余弦线,即OM=cos(-),这里就是要用角、的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为
12、C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sinsin. 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角、-是有条件限制的,即、-均为锐角,且,如果要说明此结果是否对任意角、都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2 问题,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角、,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则=(cos,sin)
13、,=(cos,sin),AOB=-. 由向量数量积的定义有=|cos(-)=cos(-), 由向量数量积的坐标表示有 =(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin, 于是,cos(-)=coscos+sinsin. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角-必须符合条件0-,以上结论才正确,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究当-是任意角时,以上公式是否正确的问题.当-是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角0,2),使cos=cos(-),若0,则=cos=cos(-).若,2,则2-0,且=cos(2-)=cos=cos(-
14、).由此可知,对于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin(C(-) 此公式给出了任意角、的正弦、余弦值与其差角-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C(-).有了公式C(-)以后,我们只要知道cos、cos、sin、sin的值,就可以求得cos(-)的值了. 问题,教师引导学生细心观察公式C(-)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、co
15、s的值就可以求得cos(-)的值了. 问题,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.讨论结果:略.（三）应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15=45-30或者15=60-45,从而就可以直接套用公式C(-)计算求
16、值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=方法二:cos15=cos(60-45)=cos60cos45sin60sin45= 点评:本题是指定方法求cos15的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至
17、于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75,sin15的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=sin15=点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110cos20sin110sin20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C(-)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110-20).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生
18、思维的灵活性.例2 已知sin=,(,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式C(-)即可求解.从已知条件看,还少cos与sin的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角、所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sin=,(,),得cos=又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 点评:本题是直接运用公式C(-)求值
19、的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sin=,(0,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值.解:当,)时,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=.当(0,)时,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 点评:本题与例2的显著的不同点就是角的范围不同.由于(0,),这样cos的符号可正、可负,需讨
20、论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.思路2例1 计算:(1)cos(-15);(2)cos15cos105sin15sin105;(3)sinxsin(x+y)cosxcos(x+y). 活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15=15-30或-15=45-60,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15)=cos15再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式C(-)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos15=cos
21、(45-30)=cos45cos30sin45sin30=(2)原式=cos(15-105)=cos(-90)=cos90=0.(3)原式=cosx-(x+y)=cos(-y)=cosy. 点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础.例2 已知cos=,cos(+)=,且、(0, ),求cos的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究、+、之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到=(+)-的关系式,然后利用公式C(-)求值即可.但还应
22、提醒学生注意由、的取值范围求出+的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(+)的符号进而求出cos.解:、(0,),+(0,).又cos=,cos(+)=,sin=sin(+)=又=(+)-,cos=cos(+)cos+sin(+)sin= 点评:本题相对于例1难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到= (+)-的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是+的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练1.求值:cos15+sin15.解:原式=cos15+sin15)=(cos45cos15+sin45sin15)=cos(45-15)= cos30=.2.已知
23、sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.解:(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上两式展开两边分别相加得2+2cos(-)=1,cos(-)=. 点评:本题又是公式C(-)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式C(-)中coscos和sinsin的值,即可求得cos(-)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.3.已知锐角、满足cos=,tan(-)=,求cos.解:为锐角,且cos=,得sin=.又0,0,-.又tan(-)= 0,cos(-)=.从而sin(-)=tan(-)cos(-)=.cos=c
24、os-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=.（四）课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.（五）作业
