1、第五十六课时 曲线与方程课前预习案考纲要求1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程.2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法基础知识梳理1 曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是 (2)以方程F(x，y)0的解为坐标的点都 那么这个方程叫做 ，这条曲线叫做 2 求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹
2、方程3 两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题4.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写
3、出动点的轨迹方程；(4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程预习自测1 已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹方程是_2 已知两定点A(2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_3 方程(2x3
4、y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线4 已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy505 若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线第五十六课时 曲线与方程（课堂探究案）典型例题考点1 直接法求轨迹方程【典例1】已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足6|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x2y120的距离的最小值【
5、变式1】 如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程考点2 定义法求轨迹方程【典例2】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线【变式2】如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x1)2y24a2 (a1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a2时
6、该椭圆的标准方程；(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e，求点Q的纵坐标的取值范围考点3相关点法求轨迹方程【典例3】设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程【变式3】已知长为1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且，求点P的轨迹C的方程当堂检测1 方程(x2y24)0的曲线形状是()2 ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A.1 B.1C.1 (x3) D.1 (x4)3 平面直角坐标系中，已知两点A(3,1
7、)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线 B椭圆 C圆 D双曲线4 动点P为椭圆1 (ab0)上异于椭圆顶点(a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为()A椭圆 B双曲线C抛物线 D直线第五十六课时 曲线与方程课后拓展案 A组全员必做题1 已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()Ax21 (x1) Bx21 (x0) Dx21 (x1)2 有一动圆P恒过定点F(a,0) (a
8、0)且与y轴相交于点A、B，若ABP为正三角形，则点P的轨迹为()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆3 点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点作F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线4 P是椭圆1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_5 已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_B组提高选做题1 过椭圆1 (ab0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是_2 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P
9、在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_3已知点A(1,0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，求点P的轨迹方程4如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度参考答案预习自测1【答案】y2x【解析】(3x，y)，(2x，y)，(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.2【答案】4【解析】设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y21
10、2x0，即x2y24x0.P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆即轨迹所包围的面积等于4.3【答案】D【解析】原方程可化为或10，即2x3y10 (x3)或x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线4【答案】D【解析】由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.5【答案】D【解析】依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线.典型例题【典例1】(1)设动点P(x，y)，则(x4，y)，(3,0)，(1x，y)，由已知得3(x4)6，化简得3x24y212，即1.点P的轨迹是椭圆C：1.(2)由几何性质意义知，l
11、与平行于l的椭圆C的切线l的距离等于Q与l的距离的最小值设l：x2yD0.将其代入椭圆方程消去x，化简得：16y212Dy3(D24)0.144D2192(D24)0D4，l和l的距离的最小值为.点Q与l的距离的最小值为.【变式1】 设点M的坐标为(x，y)，M是线段AB的中点，A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.线段AB中点M的轨迹方程为x2y50.【典例2】如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0)设动圆M的半径
12、为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|r1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支a，c2，b2c2a2.点M的轨迹方程为1 (x)【变式2】(1)证明依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，|NA|NM|.|NC|NA|NC|NM|CM|2a2，N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆当a2时，长轴长为2a4，焦距为2c2，b2a2c23.椭圆的标准方程为1.(2)解设椭圆的标准方程为1 (ab0)由(1)知：a2b21.又C(1,0)，B(0，b)，直线l的方程为1.即bxyb0.设Q(x，y)
13、，因为点Q与点A(1,0)关于直线l对称，消去x得y.离心率e，e2，即.a24.b214，即b，y2，当且仅当b1时取等号又当b时，y；当b时，y，y2.点Q的纵坐标的取值范围是，2【典例3】设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即.x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.【变式3】设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因为|AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(
14、1)2，化简得y21.点P的轨迹方程为y21.当堂检测1 【答案】C【解析】由题意可得xy10或它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分2【答案】C【解析】如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1 (x3)3 【答案】A【解析】设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一条直线4 【答案】D【解析】如图所示，设三个切点分别为M、N、Q.|PF1|PF2|PF1|PM|F2N|F1N|F2N|F1F2|2|F2N|
15、2a，|F2N|ac，N点是椭圆的右顶点，CNx轴，圆心C的轨迹为直线 A组全员必做题1【答案】A【解析】设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NF|NB|.从而|PM|PN|ME|NF|MB|NB|4221)2【答案】B【解析】设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于ABP为正三角形，P到y轴的距离dR，即|x|R.而R|PF|，|x|.整理得：(x3a)23y212a2，即1.点P的轨迹为双曲线3【答案】A【解析】如图，延长F2M交F1P延长线于N.|PF2|PN|，|F1N|2a.连接OM，则在NF1F2中，OM为中位线，则|OM|F1N|a.M的轨迹是圆4
16、【答案】1【解析】由，又22，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.5【答案】x2y24 (x2)【解析】设P(x，y)，因为MPN为直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.M，N，P不共线，x2，轨迹方程为x2y24 (x2)B组提高选做题1 【答案】1【解析】设MN的中点P(x，y)，则点M(x,2y)在椭圆上，1，即1.2【答案】y2x【解析】过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连接PH、PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x211，化简得y2x.3解，R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，则由，得(1x1，y1)(x1，y)，则，即x12x，y1y，将其代入直线y2x4中，得y2x，点P的轨迹方程为y2x.4解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得P在圆上，x2(y)225，即轨迹C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段AB的长度为|AB|.
