1、2.3等差数列的前项和2.3.1等差数列的前项和(一)从容说课“等差数列的前项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣，进而引导学生对等差数列的前项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及公式的变形，初步形成对等差数列的前项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式，要采用设计变式题的教学手段.通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及如何去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实
2、际情境中去发现数列模型，促进学生对本节内容的认知结构的形成.教学重点 等差数列的前项和公式的理解、推导及应用.教学难点 灵活应用等差数列前项和公式解决一些简单的有关问题.教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标一、知识与技能掌握等差数列前项和公式及其获取思路；会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题.二、过程与方法通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.三、情感态度与价值观通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
3、，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.教学过程导入新课教师出示投影胶片1：印度泰姬陵( )是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入
4、探讨高斯算法的阶段)生 只要计算出1+2+3+100的结果就是这些宝石的总数.师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.教师出示投影胶片2：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+100=5 050.”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；50+51=101，所以10150=5 050.师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采
5、用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+100=50101=5 050.师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.师 问：数列1，2，3，100是什么数列？而
6、求这一百个数的和1+2+3+100相当于什么？生 这个数列是等差数列，1+2+3+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.师 对，这节课我们就来研究等差数列的前项的和的问题.推进新课合作探究师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?生 这是求“1+2+3+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形
7、倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是.师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+21，21+20+19+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到的正整数之和，即求1+2+3+(-1)+.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列的前项的和?生1 对于问题(2)，我这样来求：因为=1+2+3+，=+-1+2+1，再将两式相加，因为有等
8、差数列的通项的性质：若+=+，则+=+，所以.()生2 对于问题(2)，我是这样来求的：因为=1+(1+)+(1+2)+(1+3)+1+(-1)，所以=1+1+2+3+(-1)=1+,即=1+ .()教师精讲两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前项和公式.其中公式()是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)高2相类比，这里的上底是等差数列的首项1，下底是第项，高是项数,有利于我们的记忆.方法引导师 如果已知等差数列的首项
9、1，项数为，第项为，则求这数列的前项和用公式()来进行，若已知首项1，项数为，公差，则求这数列的前项和用公式()来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？生 每个公式中都是5个量.师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).师 当公差0时，等差数列的前项和可表示为的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.知识应用【例1】 (直接代公式)计算：(1)1+2+3+；(2)1+3+5+(2-1)；(3)2+4+6+2；(4)1-2+3-4+5-6+(2-1)-2.(让学生迅速熟悉公式，即
10、用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)(3)，并请一位同学回答.生 (1)1+2+3+=；(2)1+3+5+(2-1)= =2；(3)2+4+6+2= =(+1).师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)生 (4)中的数列共有2项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= 1+3+5+(2-1)-(2+4+6+2)=2-(+1)=-.生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-.师 很好！在解题时我们应仔细观察
11、，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例2】 （课本第49页例1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为1，公差为50，记为，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前项和的公式吗？分析：若要
12、确定其前项求和公式，则必须确定什么？生 必须要确定首项1与公差.师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的10与20，于是可从中获得两个关于1和的关系式，组成方程组便可从中求得.(解答见课本第50页)师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.合作探究师 请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生对本题加以理解)师 本题是给出了一个数列的前项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?生 从所给的和的公
13、式出发去求出通项.师 对的，通项与前项的和公式有何种关系?生 当=1时，1=1，而当1时，=-1.师 回答的真好!由的定义可知，当=1时，1=1；当2时，=- -1，即=1(=1),- -1(2).这种已知数列的来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项=2-，我们从中知它是等差数列，这时当=1也是满足的，但是不是所有已知求的问题都能使=1时，=-1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.生1 这题中当=1时，1=1=+；当2时，=- -1=2-+，由=1代入的结果为+，要使=1时也适合，必须有=0.生2 当=0时，这个数列是等差数列，当0时，这个数列不是等差
14、数列.生3 这里的0也是必要的，若=0，则当2时，=- -1=+，则变为常数列了，0也还是等差数列.师 如果一个数列的前项和公式是常数项为0，且是关于的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.课堂练习等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？(学生板演)解：设题中的等差数列为，前项和为,则1=-10,=(-6)-(-10)=4,=54,由公式可得-10+4=54.解之,得1=9,2=-3(舍去).所以等差数列-10，-6，-2，2前9项的和是54.(教师对学生的解答给出评价)课堂小结师
15、同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生 等差数列的前项和公式1：,等差数列的前项和公式2：.师 通过等差数列的前项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生 通过等差数列的前项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”.“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?生 如果一个数列的前项和公式中的常数项为0，且是关于的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前项和公式的结构特征上来认识等差数列.布置作业课本第52页习题2.3 组第2、3题.板书设计等差数列的前项和(一)公式： 推导过程 例
