1、第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解圆与圆的位置关系的种类(重点、易错点)2掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系.(重点、难点)通过圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为 、相离 外切 相交 内切 内含2圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含 图示 d 与
2、r1、r2的关系 dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2dr1r20d|r1r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断圆C1方程圆C2方程 消元 一元二次方程0 ，0 ，0 相交内切或外切外离或内含思考：将两个相交的非同心圆的方程 x2y2DixEiyFi0(i1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示 两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线B 圆 O1 的圆心坐标为(1，0)，半径长 r11；圆 O2 的圆心坐标为(0，2)，半径长 r22；1r2r1|O1O2|5r1r23，即两圆相交
3、1圆 O1：x2y22x0 和圆 O2：x2y24y0 的位置关系为()A.相离 B相交 C外切 D内切D 圆 C1 的圆心为(1，3)，圆 C2 的圆心为(0，0)，圆心距 d 10，于是 d 104r，但可能有 d|4r|或 d|4r|，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含2设 r0，两圆 C1：(x1)2(y3)2r2 与 C2：x2y216 不可能()A.相切B相交C.内切或内含或相交D外切或相离0 或2 5 圆心距 d a216，又 r11，r25.当两圆外切时 a2166，解得 a2 5.当两圆内切时 a2164，解得 a0.3两圆 x2y21 和(x4)2(ya)225
4、 相切，则实数 a 的值为_x3y0(x1)2(y3)220 化为一般式为：x2y22x6y100，又圆 x2y210，即 x2y2100，得：x3y0，即为直线 AB 的方程4已知两圆 x2y210 和(x1)2(y3)220 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是_合 作 探 究 释 疑 难 圆与圆的位置关系的判断【例 1】当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0 相交、相切、外离？解 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆 C1 的圆心为 C1(2，3)，半径长 r11；圆 C2
5、 的圆心为 C2(1，7)，半径长 r2 50k(k50)，从而|C1C2|（21）2（37）25.当 1 50k5，即 k34 时，两圆外切当|50k1|5，即 50k6，即 k14 时，两圆内切当|50k1|51 50k，即 14k34 时，两圆相交当 1 50k5 时，即 34k50 时，两圆外离判断圆与圆的位置关系的一般步骤：(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要).(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长 r1，r2.(3)求两圆的圆心距 d.(4)比较 d 与|r1r2|，r1r2 的大小关系(5)根据大小关系确定位置关系跟进训练1圆 A 的方程为 x2y2
6、2x2y70，圆 B 的方程为 x2y22x2y20，判断圆 A 和圆 B 是否相交若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由解 圆 A 的方程可写为(x1)2(y1)29，圆 B 的方程可写为(x1)2(y1)24，两圆心之间的距离满足 32|AB|（11）2（11）22 232，即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，两圆相交圆 A 的方程与圆 B 的方程左、右两边分别相减得4x4y50，即 4x4y50 为过两圆交点的直线的方程两圆相切问题【例 2】(1)以(3，4)为圆心，且与圆 x2y264 内切的圆的方程为_(2)圆 C1：(xm)2(y2)29 与圆 C2：
7、(x1)2(ym)24 外切，则 m 的值为_.思 路 探 究：两圆相切问题两圆的内切及外切结合图形进行求解(1)(x3)2(y4)29 或(x3)2(y4)2169(2)2 或5(1)设所求圆的半径为 r，则 32（4）2|8r|，所以 r3 或 r13，故所求圆的方程为(x3)2(y4)29 或(x3)2(y4)2169.(2)C1(m，2)，r13，C2(1,m)，r22，由题意得|C1C2|5，即(m1)2(m2)225，解得 m2 或 m5.处理两圆相切问题的两个步骤：(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论(2)转化思想，即
8、将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).跟进训练2求与圆 x2y22x0 外切且与直线 x 3y0 相切于点 M(3，3)的圆的方程解 已知圆的方程可化为(x1)2y21，则圆心为 C(1，0)，半径为 1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0).由题意，可得（a1）2b2r1，b 3a3 33 1，|a 3b|2r，解得a4，b0，r2或a0，b4 3，r6，即所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236.两圆相交的问题【例 3】求圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y22x2y10 的公共弦所在直线被圆 C3：
9、(x1)2(y1)2254 所截得的弦长.思 路 探 究：将圆C1与圆C2两方程作差求出公共弦所在直线方程求弦长解 设两圆的交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 的坐标是方程组x2y21，x2y22x2y10的解，两式相减得 xy10.因为 A，B 两点的坐标满足 xy10，所以 AB 所在直线方程为 xy10，即 C1，C2 的公共弦所在直线方程为 xy10，圆 C3 的圆心为(1，1)，其到直线 AB 的距离 d 12，由条件知 r2d2254 12234，所以直线 AB 被圆 C3 截得的弦长为 2 232 23.1本例条件不变，如何求圆 C1 与圆 C2 的公
10、共弦长？解 由题意将圆 C1 与圆 C2 的方程相减，可得圆 C1 和圆 C2 公共弦所在的直线 l 的方程为 xy10，对于圆 C1：x2y21，该圆的圆心到直线 xy10 的距离为 d|10101|1212 22，由条件知 r2d2122212，所以公共弦长为 2 22 2.2本例中若将圆 C3 的方程“(x1)2(y1)2254”改为“(x1)2(y1)24”，其他条件不变，又如何求解呢？解 由题意将圆 C1 与圆 C2 的方程相减，可得圆 C1 和圆 C2 公共弦所在的直线 l 的方程为 xy10.圆 C3 的圆心为(1，1)，其到直线l 的距离 d|11111|1212 22，由条件
11、知，r2d241272，所以弦长为 2 142 14.1两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.2公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解课 堂 小 结 提 素 养 1判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用(2)依据圆心距与两圆半径的和或两
12、圆半径的差的绝对值的大小关系2当两圆相交时，把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的公共弦所在的直线方程3求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长B 因为两圆的圆心距为 3，半径之和为 2，故两圆外离，所以内公切线的条数为 2.1圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2(y3)21 的内公切线有且仅有()A.1 条 B2 条 C3 条 D4 条C AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除 A，B，D.2圆 x2y24x6y0 和圆 x2y26x0 交于 A，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是()A.xy30 B2xy50C.3xy90 D4x3y701 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为 y1a，圆心(0，0)到直线的距离为 d1a 22（3）21，所以 a1.3若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦长为2 3，则 a_4已知以 C(4，3)为圆心的圆与圆 O：x2y21 相切，求圆 C的方程解 设圆 C 的半径为 r，圆心距为 d（40）2（30）25，当圆 C 与圆 O 外切时，r15，r4，当圆 C 与圆 O 内切时，r15，r6，圆的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)236.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
