1、第4讲 函数的奇偶性与周期性一、选择题1下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()Aylog2x(x0) Byxx3(xR)Cy3x(xR) Dy(xR,x0)解析:选项A,定义域不关于原点对称;选项C不是奇函数;选项D在(,0)和(0,)上是减函数答案:B2函数f(x)x3sin x1的图象()A关于点(1,0)对称 B关于点(0,1)对称C关于点(1,0)对称 D关于点(0,1)对称解析:令g(x)f(x)1x3sin x,则g(x)为奇函数,所以g(x)的图象关于原点(0,0)对称,当x0时,有f(x)10,此时f(x)1,所以对称点为(0,1)答案:B3(2010模拟精选)函
2、数f(x)x3sin x1(xR),若f(a)2,则f(a)的值为()A3 B0 C1 D2解析:f(a)a3sin a12,f(a)(a)3sin(a)1a3sin a1(a3sin a1)2220.答案:B4(2009山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x),且在区间0,2上是增函数,则()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)0,f(x)在2,0上也是增函数,且f(x)0,且f(x)为减函数同理f (x)在4,6为减函数且f (x)0.如图所示f (-25)= f (-1)0,f (80
3、)= f (0)=0,f (-25) f (80) f (11)答案:D二、填空题5已知函数f(x)a ,若f(x)为奇函数,则a_.解析:f(x)为奇函数,定义域为R,f(0)0a0a,经检验,当a时,f(x)为奇函数答案:6(2009北京西城一模)设a为常数,f(x)x24x3,若函数f(xa)为偶函数,则a_;ff(a)_.解析:由题意得f(xa)(xa)24(xa)3x2(2a4)xa24a3,因为f(xa)为偶函数,所以2a40,a2. ff(a)ff(2)f(1)8.答案:287(2010河南调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)log2(x1)若f(m)2
4、,则实数m的取值范围是_解析:令x0,f(x)log2(1x),f(x)为奇函数,故有f(x)log2(1x),f(m)2,1m4,故m3.答案:(,3)三、解答题8已知f(x)x()(x0)判断f(x)的奇偶性解: f(x)的定义域是(,0)(0,)f(x)x().f(x)f(x)故f(x)是偶函数9(2009哈尔滨模拟)定义在2,2上的偶函数g(x),当x0时,g(x)单调递减,若g(1m)g(m),求m的取值范围解:因为g(x)在x2,2上是偶函数所以由g(1m)g(m)可得,g(|1m|)|m|,且|1m|2.解得:1m.m的取值范围是.10(2010模拟精选)设函数f(x)是奇函数(
5、a,b,c都是整数),且f(1)2,f(2)3,f(x)在(1,)上单调递增(1)求a,b,c的值;(2)当x0时,f(x)的单调性如何?证明你的结论解:(1)由f(1)2得2,由f(2)3得3.函数f(x)是奇函数,函数f(x)的定义域关于原点对称又函数f(x)的定义域为x|xR且x,则0,c0,于是得f(x),且2,3,3,即0b,又bZ,b1,则a1.a1,b1,c0符合 f(x)在(1,)上单调递增(2)由(1)知f(x)x.已知函数f(x)是奇函数,根据奇函数的对称性,可知f(x)在(,1)上单调递增;以下讨论f(x)在区间1,0)上的单调性当1x1x20时,f(x1)f(x2)(x
6、1x2),显然x1x20,0x1x21,10,函数f(x)在1,0)上为减函数综上所述,函数f(x)在(,1)上是增函数,在1,0)上是减函数1函数f(x)的定义域为R,若f(x1)与f(x1)都是奇函数,则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数解析:由已知条件对xR都有f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)因此f(x3)f(x2)1f(x2)1f(x1)f(x1)f(x21)f(x3)因此函数f(x3)是奇函数答案:D2()定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x),且f(x)在1,0上是增函数,下列五个关于f(x)的命题中:f(x)是
7、周期函数;f(x)的图象关于x1对称;f(x)在0,1上是增函数;f(x)在1,2上是减函数;f(2)f(0)其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出)解析:对于,由f(x1)f(x)得f(x2)f(x1)1)f(x1)(f(x)f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,故正确;对于,由f(x)的周期为2可得f(x1)f(x1),由f(x)为偶函数,得f(x1)f(1x),所以f(1x)f(1x),即函数f(x)的图象关于x1对称,故正确;对于,由f(x)在1,0上是增函数,而且f(x)为偶函数,所以f(x)在0,1上是减函数,故错误;对于,由函数 f(x )的周期为2可得f(x)在1,2上是增函数,故错误;对于,由可得f(2)f(0),故正确综上所述,正确的命题有.答案:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m