1、1圆的方程、直线与圆的位置关系是每年高考的重点，且多出现在解答题中其中，圆的方程的求法以及弦长问题是考查的重中之重2椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质也是每年高考的热点，属必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题3圆锥曲线的综合应用由于其综合性强，难度较高，在历年的高考中出现的频率较低此类问题以解答题的形式出现，主要涉及直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系、弦长问题及定点、定值问题1直线方程的五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(2)斜截式：ykxb.(3)两点式：yy1y2y1 xx1x2x1(x1x2，y1y2)(4)截距式：xayb1(a0，b0)(5)一般式：AxBy
2、C0(A，B 不同时为 0)2三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：AB（x2x1）2（y2y1）2.(2)点到直线的距离：d|Ax0By0C|A2B2(其中点 P(x0，y0)，直线方程：AxByC0)(3)两平行线间的距离：d|C2C1|A2B2(其中两平行线方程分别为 l1：AxByC10，l2：AxByC20)3当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时(1)两直线平行 l1l2k1k2.(2)两直线垂直 l1l2k1k21.典例(1)(2015曲阜模拟)设 aR，则“a2”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的()A充
3、分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上运动，则 AB 的中点 M到原点的距离的最小值为()A 2B2 2C3 2D4 2(3)在 ABC 中，A(1，1)，B(m，m)(1m4)，C(4，2)，则当 ABC 的面积最大时，m()A.32B.94C.12D.14(4)过直线 l1：x2y30 与直线 l2：2x3y80 的交点，且到点 P(0，4)距离为 2的直线方程为_自主解答(1)若 a2，则直线 l1：2x2y10 与直线 l2：xy40 平行，若“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x
4、(a1)y40 平行”，a1 2a1，解得 a2 或a1，“a2”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的充分不必要条件(2)由题意知 AB 的中点 M 的集合为到直线 l1：xy70 和 l2：xy50 的距离都相等的直线，则点 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点 M 所在直线的方程为 l：xym0，根据平行线间的距离公式得，|m7|2|m5|2，即|m7|m5|，所以 m6，即 l：xy60，根据点到直线的距离公式，得点 M 到原点的距离的最小值为|6|2 3 2.(3)由两点间距离公式可得|AC|10，直线 AC 的方程为 x3y20，所以点
5、B 到直线 AC 的距离 d|m3 m2|10，所以 ABC 的面积 S12|AC|d12|m3m2|12m32214，又 1m4，所以 1 m0，表示以D2，E2 为圆心，D2E24F2为半径的圆典例(1)若圆 C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y 3)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y 3)24(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x2 的右侧，若圆 M 截直线 l1 所得的弦长为 2 3，且与直线 l2：2x 5y40 相切，则圆 M 的方程为_自主解答(1)由题意知圆 C 的半
6、径为 2，且圆心坐标可设为(2，b)，因此有（21）2（b0）22，解得 b 3，从而圆 C 的方程为(x2)2(y 3)24，故选D.(2)由 已 知，可 设 圆 M 的 圆 心 坐 标 为(a，0)，a 2，半 径 为r，得（a2）2（3）2r2，|2a4|45r，解得满足条件的一组解为a1，r2，所以圆 M 的方程为(x1)2y24.答案：(1)D(2)(x1)2y24探究 1 若将本例(2)中条件改为“圆心在 x2y0 上，与 y 轴的正半轴相切，截 x 轴所得弦长为 2 3”，如何求圆 M 的方程？解：圆心在直线 x2y0 上，可设圆心为(2a，a)圆 M 与 y 轴正半轴相切，a0
7、，半径 r2a.又圆 M 截 x 轴的弦长为 2 3，a2(3)2(2a)2，解得 a1(a1 舍去)圆 M 的圆心为(2，1)，半径 r2.圆的方程为(x2)2(y1)24.探究 2 若将本例(2)中条件改为“圆心在直线 yx 上，与直线 yx 及 xy40都相切”，如何求圆 M 的方程？解：由题意知 xy0 和 xy40 之间的距离为|4|22 2，所以 r 2；又因为 yx 与 xy0，xy40 均垂直，所以由 yx 和 xy0 联立得(0，0)，由 yx和 xy40 联立得(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，圆 M 的标准方程为(x1)2(y1)22.解决此类问题要根据所给条件选择适
8、当的方程形式解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数变式训练 圆心在直线 xy0 上且过两圆 x2y22x0，x2y22y0 的交点的圆的方程为()Ax2y2xy120Bx2y2xy120Cx2y2xy0Dx2y2xy0解析：选 C 由已知圆的方程可设所求圆的方程为 x2y22x(x2y22y)0(1)，即 x2y2 21x 21y0，圆心坐标为11，1.又圆心在直线 xy0 上，11 10，1，所求圆的方程为 x2y2xy0.解答直线与圆的位置关系问题
9、的两种方法(1)代数法将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离(2)几何法把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：dr相离典例 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，3)，直线 l：y2x4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使 MA2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围自主解答(1)由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和直线 yx1 的交点，解得点 C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过 A(0，3)的圆
10、 C 的切线方程为 ykx3，由题意，|3k1|k211，解得 k0 或34，故所求切线方程为 y3 或 3x4y120.(2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为(xa)2y2(a2)21.设点 M(x，y)，因为 MA2MO，所以 x2（y3）22 x2y2，化简得 x2y22y30，即 x2(y1)24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意得，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则 21CD21，即1 a2（2a3）23.由 5a212a80，得 aR；由 5a212a0，得 0a125.所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范
11、围为0，125.(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理变式训练1(2015江西八校联考)过点 P(2，3)作圆(x1)2y21 的两条切线，与圆相切于 A，B，则直线 AB 的方程为_解析：依题意圆(x1)2y21 圆心 M(
12、1，0)，P，A，M，B 四点共圆，其直径为|PM|10，圆心为32，32，四边形 PAMB 的外接圆方程为x322(y32)252，直线 AB 的方程为 x3y20.答案：x3y202(2015保定模拟)过点 M(1，2)的直线 l 与圆 C：(x3)2(y4)225 交于 A，B 两点，当ACB 最小时，直线 l 的方程是_解析：当 AB 垂直于直线 CM 时，ACB 最小(小边对小角原理，此时弦最短，故角最小)，设直线 l 的斜率为 k，则 k42311，得 k1，又直线 l 过 M(1，2)，所以 y2(x1)，整理得 xy30，故直线 l 的方程为 xy30.答案：xy303两个圆
13、C1：x2y22axa240(aR)与 C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条公切线，则 ab 的最小值为_解析：两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆 C1：(xa)2y24，圆 C2：x2(yb)21，所以 C1C2 a2b2213，即 a2b29.由ab22a2b22，得(ab)218，所以3 2ab3 2，当且仅当“ab”时取“”ab 的最小值为3 2.答案：3 2一、选择题1(2015安康模拟)“m2”是“直线 xym0 与圆 x2y22 相切”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 根据直线与圆相切，得|m|2 2，
14、m2，所以为充分不必要条件2若直线 ax2y10 与直线 xy20 互相垂直，那么 a 的值等于()A1 B13 C23 D2解析：选 D 直线 ax2y10 的斜率 k1a2，直线 xy20 的斜率 k21，因为两直线相互垂直，所以 k1k21，即a2(1)1，所以 a2，所以选 D.3(2015牡丹江模拟)过点 P(4，2)作圆 x2y24 的两条切线，切点分别为 A，B，O 为坐标原点，则 OAB 的外接圆方程是()A(x2)2(y1)25B(x4)2(y2)220C(x2)2(y1)25D(x4)2(y2)220解析：选 A 由题意知 P，A，B，O 四点共圆，所以 OAB 的外接圆是
15、以 PO 为直径的圆，圆心为(2，1)，半径为|PO|2 5，所以 OAB 的外接圆方程为(x2)2(y1)25，故选 A.4已知 P(x，y)是直线 kxy40(k0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2y22y0 的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为()A3 B.212C2 2D2解析：选 D 如图，把圆的方程化成标准形式得 x2(y1)21，所以圆心为(0，1)，半径为 r1，四边形 PACB 的面积 S2S PBC，所以若四边形 PACB的最小面积是 2，则 S PBC 的最小值为 1.而 S PBC12r|PB|，即|PB|的最小值为 2，
16、此时|PC|最小，为圆心到直线 kxy40 的距离 d，此时 d|5|k21 1222 5，即 k24，因为 k0，所以 k2.5(2015绵阳模拟)若圆(x3)2(y5)2r2 上有且只有两个点到直线 4x3y20 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是()A(4，6)B4，6 C(4，5)D(4，5解析：选 A 设直线 4x3ym0 与直线 4x3y20 间距等于 1，则有|m2|51，m3 或 m7.圆心(3，5)到直线 4x3y30 的距离等于 6，圆心(3，5)到直线 4x3y70 的距离等于 4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4，6)，选 A.二、填空题6圆 x2y22x2ya
17、0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a_解析：圆的标准方程为(x1)2(y1)22a，r22a，则圆心(1，1)到直线 xy20 的距离为|112|2 2.由 22(2)22a，得 a4.答案：47(2015哈尔滨模拟)设直线 l：ykx1 被圆 C：x2y22x30 截得的弦最短，则直线 l 的方程为_解析：因为直线 l 恒过定点(0，1)，由 x2y22x30 变形为(x1)2y24，易知点(0，1)在圆(x1)2y24 的内部，依题意，k10011，即 k1，所以直线 l 的方程为 yx1.答案：yx18(2015江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1，0)为圆心
18、且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：直线 mxy2m10 经过定点(2，1)当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径 r 满足 r2(12)2(01)22.答案：(x1)2y22三、解答题9(2015石家庄模拟)已知以点 A(1，2)为圆心的圆与直线 l1：x2y70 相切过点 B(2，0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点(1)求圆 A 的方程；(2)当|MN|2 19时，求直线 l 的方程解：(1)设圆 A 的半径为 R.因为圆 A 与直线 l1：x2y70 相切，所以 R|147|52 5.所以圆 A 的方程为(x1)2
19、(y2)220.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.由于|MN|2 19，于是|k22k|k212(19)2(2 5)2k34，此时，直线 l 的方程为 3x4y60.所以所求直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.10已知圆 C：x2y22x4y30.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点 P 的坐标解：(1)将圆 C
20、 配方，得(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 ykx，由|k2|1k2 2，得 k2 6，直线方程为 y(2 6)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 xya0，由|12a|22，得|a1|2，即 a1 或 a3.直线方程为 xy10 或 xy30.综上，圆的切线方程为 y(2 6)x 或 y(2 6)x 或 xy10 或 xy30.(2)由|PO|PM|，得 x21y21(x11)2(y12)22，整理得 2x14y130，即点 P 在直线 l：2x4y30 上当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，直线 POl，直线 PO 的方程为 2xy0
21、.解方程组2xy0，2x4y30，得点 P 的坐标为 310，35.11已知圆 M 的方程为 x2y22x2y60，以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切(1)求圆 O 的方程；(2)圆 O 与 x 轴交于 E，F 两点，圆 O 内的动点 D 使得|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，求的取值范围解：(1)圆 M 的方程可整理为(x1)2(y1)28，故圆心 M(1，1)，半径 R2 2.圆 O 的圆心为 O(0，0)，因为|MO|22 2，所以点 O 在圆 M 内，故圆 O 只能内切于圆 M.设圆 O 的半径为 r，因为圆 O 内切于圆 M，所以|MO|Rr，即 22 2r，解得
22、r 2.所以圆 O 的方程为 x2y22.(2)不妨设 E(m，0)，F(n，0)，且 mn.由x2y22，y0，解得x 2，y0或x 2，y0，故 E(2，0)，F(2，0)设 D(x，y)，由|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，得|DE|DF|DO|2，即（x 2）2y2（x 2）2y2x2y2，整理得 x2y21.而(2x，y)，(2x，y)，所以(2x)(2x)(y)(y)x2y222y21.由于点 D 在圆 O 内，故有x2y22，x2y21，得 0y212，所以12y210，即的取值范围为1，0)12(2015平顶山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 yx 与圆心在第
23、二象限的圆 C 相切于坐标原点 O，且圆 C 与圆 x2y22x2y60 的面积相等(1)求圆 C 的方程；(2)试探求圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使点 Q 到定点 F(4，0)的距离等于线段 OF的长？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)圆 x2y22x2y60 的方程可化为(x1)2(y1)28，圆 C 与圆 x2y22x2y60 的面积相等，两圆的半径相等，圆 C 的半径为 2 2.设圆 C 的圆心为 C(a，b)，则圆 C 的方程为(xa)2(yb)28，直线 yx 与圆 C 相切于原点 O，点 O 在圆 C 上，且 OC 垂直于直线 yx，于是有a2b2
24、8，ba1a2，b2或a2，b2.由于点 C(a，b)在第二象限，故 a0.圆 C 的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点 Q 满足题意，设 Q(x，y)，则有（x4）2y216，（x2）2（y2）28.解得x45，y125或x0，y0(舍去)存在点 Q45，125，使点 Q 到定点 F(4，0)的距离等于线段 OF 的长1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 y24 7x 的准线上，则双曲线的方程为()A.x221y2281 B.x228y22
25、11C.x23y241 D.x24y231(3)已知椭圆x24y2b21(0bb0)的离心率为 32.双曲线 x2y21 的渐近线与椭圆 C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为_解析：椭圆的离心率为 32，ca a2b2a 32，a2b，椭圆方程为 x24y24b2.双曲线 x2y21 的渐近线方程为 xy0，渐近线 xy0 与椭圆 x24y24b2 在第一象限的交点为2 55 b，2 55 b，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 55 b2 55 b4，b25，a24b220.椭圆 C 的方程为x220y251.答案：x220y2512(
26、2015赣州模拟)F1 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点 P 是双曲线右支上一点，若线段 PF1 与 y 轴的交点 M 恰为 PF1 的中点，且|OM|a(O 为坐标原点)，则 C 的离心率为()A.2B.3C2 D3解析：选 B M 是线段 PF1 的中点，OMPF2，|OM|a，设|PF2|2a，|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a2a2a4a，在直角三角形 F1PF2 中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即 16a24a24c2，即 3a2c2，则 c 3a，则离心率 eca 3aa 3，选 B.1椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系(1)在
27、椭圆中：a2b2c2，离心率为 eca1 ba2.(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为 eca1 ba2.2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系典例(1)(2015浙江高考)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(c，0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_(2)(2015山东高考)过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_自主解答(1)设椭圆的另一个焦点为 F1(c，0)，如图，连接 QF
28、1，QF，设 QF 与直线 ybcx 交于点M.由题意知 M 为线段 QF 的中点，且 OMFQ.又 O 为线段 F1F 的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在 Rt MOF 中，tanMOF|MF|OM|bc，|OF|c，可解得|OM|c2a，|MF|bca，故|QF|2|MF|2bca，|QF1|2|OM|2c2a.由椭圆的定义得|QF|QF1|2bca 2c2a 2a，整理得 bc，ab2c2 2c，故 eca 22.(2)如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为ba，又直线 l 过右焦点 F(c，0)，则直线 l 的方程为 yba(xc)因为点 P 的横坐标为
29、 2a，代入双曲线方程得4a2a2 y2b21，化简得y 3b 或 y 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为(2a，3b)，代入直线方程得 3bba(2ac)，化简可得离心率 eca2 3.答案：(1)22 (2)2 3解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等变式训练1(2015云南师大附中模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y24ax(a0)的焦点为 F，M 是抛物线 C 上一点，若 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积为 9，则 a()A2 B
30、4 C6 D8解析：选 A OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，圆面积为 9，圆的半径为 3，a2a3，a2，故选 A.2(2015长春二模)若 F(c，0)是双曲线x2a2y2b21(ab0)的右焦点，过 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 A、B 两点，O 为坐标原点，OAB 的面积为12a27，则该双曲线的离心率 e()A.53B.43C.54D.85解析：选 C 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，则 tan ba，tan 2 2aba2b2，因此 OAB 的面积可以表示为12aatan 2 a3ba2b212a27，解
31、得ba34，则 e54.直线与圆锥曲线位置关系与“”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如 y)得出方程 Ax2BxC0.若 A0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点若 A0，则：当 0 时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当 0 时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当 b0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D两点，且与同向(1)求 C2 的方程；(2)若|AC|BD|，求直线 l 的斜率自主解答(1)由 C1：x24y 知其焦点 F 的坐标为(0，1
32、)，因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点，所以 a2b21，又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6，C1 与 C2 都关于 y 轴对称，且 C1 的方程为 x24y，由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 6，32，所以 94a2 6b21，联立得 a29，b28，故 C2 的方程为y29x281.(2)如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因为与同向，且|AC|BD|，所以，从而 x3x1x4x2，即 x1x2x3x4，于是可由(x1x2)2(x3x4)2得(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线 l 的斜率为 k，则 l 的
33、方程为 ykx1.由ykx1，x24y得 x24kx40，而 x1，x2 是这个方程的两根，所以 x1x24k，x1x24，由ykx1，x28y291 得(98k2)x216kx640，而 x3，x4 是这个方程的两根，所以 x3x4 16k98k2，x3x46498k2，将代入，得 16(k21)162k2（98k2）2 46498k2，即 16(k21)1629（k21）（98k2）2，所以(98k2)2169，解得 k 64，即直线 l 的斜率为 64.探究 1 在本例条件下，是否存在直线 l，使以 CD 为直径的圆过坐标原点 O，若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由解：设直线
34、l 的方程为 ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，则由ykx1，x28y291，得(98k2)x216kx640.x1x2 16k98k2，x1x2 6498k2.又以 CD 为直径的圆恰好过原点 O，0，即 x1x2y1y20，x1x2(kx11)(kx21)0，即(1k2)x1x2k(x1x2)10，即64（1k2）98k2 16k298k210，即 64(1k2)16k298k2，72k255.故 k 不存在，即不存在直线 l 使以 CD 为直径的圆过坐标原点 O.探究 2 设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M.证明：直线 l 绕点 F 旋转时，MFD总是钝角三角
35、形证明：由 x24y 得 yx2，所以 C1 在点 A 处的切线方程为 yy1x12(xx1)，即 yx1x2 x214.令 y0 得 xx12，即 Mx12，0，所以x12，1.而(x1，y11)，于是x212y11x21410，因此AFM 是锐角，从而MFD180AFM 是钝角故直线 l 绕点 F 旋转时，MFD 总是钝角三角形解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解变式训练 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 2，且过点1，22，右焦点为 F2.设 A，B 是C 上的两个动点，线段
36、 AB 的中点 M 的横坐标为12，线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P，Q两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)求的取值范围解：(1)因为焦距为 2，所以 a2b21.因为椭圆 C 过点1，22，所以 1a2 12b21.故 a22，b21.所以椭圆 C 的方程为x22y21.(2)由题意，得当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 的方程为 x12，此时 P(2，0)，Q(2，0)，得1.当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的斜率为 k(k0)，M12，m(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x212y211，x222y221，得(x1x2)2(y1y2)y1y2x
37、1x20，则14mk0，故 4mk1.此时，直线 PQ 的斜率为 k14m，直线 PQ 的方程为 ym4mx12.即 y4mxm.联立y4mxm，x22y21消去 y，整理得(32m21)x216m2x2m220.设 P(x3，y3)，Q(x4，y4)，所以 x3x4 16m232m21，x3x4 2m2232m21.于是(x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m)(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m21（4m21）（16m2）32m21（116m2）（2m22）32m211m219m2132m21.由于 M12，m 在椭圆的内部，故 0m278，
38、令 t32m21，1t29，则 F2PF2Q19325132t.又 1t29，所以10，b0)的一条渐近线与直线 x3y10垂直，则双曲线的离心率等于()A.6 B.2 33 C.10 D.3解析：选 C 由于双曲线的一条渐近线与直线 x3y10 垂直，则双曲线的渐近线方程为 y3x，可得ba3，可得 b29a2，即 c2a29a2，亦即 c210a2，故离心率为 eca10.2椭圆 C：x24y231 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是()A.12，34B.38，34C.12，1D.34，1解析：选 B
39、 由题意知点 P 在第一象限，设 P 点横坐标为 x，则纵坐标为 y 32 4x2，由 PA2 的斜率得：1 32 2x2x2，即 232x2x 43，PA1 的斜率为 32 2x2x，所以 PA1 斜率的取值范围为38，34.3抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO 的面积为 4 3，则抛物线方程为()Ay26xBy28xCy216xDy2152 x解析：选 B 依题意，设 M(x，y)，|OF|p2，所以|MF|2p，xp22p，x3p2，y 3p，又 MFO 的面积为 4 3，所以12p2 3p4 3，p4，所以抛物线方程
40、为 y28x，选 B.4(2015上饶模拟)已知点 M(6，5)在双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)上，双曲线 C的焦距为 12，则它的渐近线方程为()Ay 52 xBy2 55 xCy23xDy32x解析：选 A 因为双曲线的焦距为 12，则 c6，将点 M 的坐标代入双曲线的标准方程，并联立方程组得36a225b21，a2b236，解得a4，b2 5，故渐近线方程为 y 52 x，故选 A.5(2015长沙模拟)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，离心率 e 2，右焦点 F(c，0)方程ax2bxc0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2y28的位置关系
41、是()A在圆外B在圆上C在圆内D不确定解析：选 C 由双曲线的性质可得 eca 2，c 2a，c22a2a2b2，ab，故方程 ax2bxc0 可化为 x2x 20，得 x1x21，x1x2 2，x21x22(x1x2)22x1x212 2b0)的左，右焦点，若在直线 xa2c 上存在点 P，使线段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是_解析：设Pa2c，y，线段F1P的中点Q的坐标为b22c，y2，当kQF2存在时，则kF1Pcya2c2，kQF2cyb22c2，由 kF1PkQF21，得 y2（a2c2）（2c2b2）c2，y20，但注意到 b22c20，即 2c2b20
42、，即 3c2a20，即 e213，故 33 e0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析：分别过点 A、B 作准线的垂线 AE、BD，分别交准线于点 E、D，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点 F 是AC 的中点，根据题意得 p32，抛物线的方程是 y23x.答案：y23x三、解答题9.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：y12
43、xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l 的方程解：(1)由题设知b 3，ca12，b2a2c2，解得a2，b 3，c1，椭圆的方程为x24y231.(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y21，圆心到直线 l 的距离 d2|m|5，由 d1 得|m|52.(*)|CD|2 1d22 145m2 2554m2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y12xm，x24y231得 x2mxm230，由根与系数的关系可得 x1x2m，x1x2m23.|AB|1122m24（m23）1524m2.由|AB|
44、CD|5 34 得4m254m21，解得 m 33，满足(*)直线 l 的方程为 y12x 33 或 y12x 33.10过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A 作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C，已知 613.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线 ykxm 与椭圆有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 相交于点 Q，若 x轴上存在一定点 M(1，0)，使得 PMQM，求椭圆的方程解：(1)A(a，0)，设直线方程为 y2(xa)，B(x1，y1)，令 x0，则 y2a，C(0，2a)，(x1a，y1)，(x1，2ay1)，613，x1a 613(x
45、1)，y1 613(2ay1)，整理得 x11319a，y11219a，点 B 在椭圆上，1319212192a2b21，b2a234，a2c2a234，即 1e234，e12.(2)b2a234，可设 b23t，a24t，椭圆的方程为 3x24y212t0，由3x24y212t0，ykxm，得(34k2)x28kmx4m212t0，动直线 ykxm 与椭圆有且只有一个公共点 P，0，即 64k2m24(34k2)(4m212t)0，整理得 m23t4k2t，设 P(x1，y1)，则有 x18km2（34k2）4km34k2，y1kx1m 3m34k2，P 4km34k2，3m34k2，又 M
46、(1，0)，Q(4，4km)，x 轴上存在一定点 M(1，0)，使得 PMQM，1 4km34k2，3m34k2(3，(4km)0 恒成立，整理得 34k2m2.34k23t4k2t 恒成立，故 t1.椭圆的方程为x24y231.11(2015唐山模拟)已知抛物线 y22px(p0)，过点 C(2，0)的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，坐标原点为 O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程解：(1)设 l：xmy2，代入 y22px 中，得 y22pmy4p0.(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22pm，y1y24
47、p，则 x1x2y21y224p24.因为12，所以 x1x2y1y212，即 44p12，得 p2，抛物线的方程为 y24x.(2)(1)中(*)式可化为 y24my80.y1y24m，y1y28.设 AB 的中点为 M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|1m2|y1y2|（1m2）（16m232），由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得 m23，m 3.所以，直线 l 的方程为 x 3y20 或 x 3y20.12(2015太原模拟)已知椭圆 E 的两焦点分别为(1，0)，(1，0)，且经过点1，22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过 P(2，0)的
48、直线 l 交 E 于 A，B 两点，且3，设 A，B 两点关于 x 轴的对称点分别是 C，D，求四边形 ACDB 的外接圆的方程解：(1)由题意知 c1，2a 22 22222，a 2，b a2c21，椭圆 E 的方程为x22y21.(2)设 l：xmy2，代入椭圆方程得(m22)y24my20，由 8m2160 得 m22.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2 4mm22，y1y22m22.由3，得 y23y1.由解得 m24，符合 m22.不妨取 m2，则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y2x23，则所求圆的圆心为13，0.又 B(0，1)，圆的半径 r 103.圆的方程
49、为x132y2109.求解范围、最值问题的五种方法解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围典例(2015山东高考)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，左、右焦点分别是 F1
50、，F2.以 F1 为圆心、以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心、以 1为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 E：x24a2 y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点过点 P 的直线 ykxm 交椭圆 E于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.求|OQ|OP|的值；求 ABQ 面积的最大值自主解答(1)由题意知 2a4，则 a2.又ca 32，a2c2b2，可得 b1，所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)由(1)知椭圆 E 的方程为x216y241.设 P(x0，y0)，|OQ|OP|，由题意知 Q(x0，y0)因为x204y201，又（x
51、0）216（y0）241，即24x204y20 1，所以 2，即|OQ|OP|2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由 0，可得 m2416k2.(*)则有 x1x2 8km14k2，x1x24m21614k2.所以|x1x2|4 16k24m214k2.因为直线 ykxm 与 y 轴交点的坐标为(0，m)，所以 OAB 的面积S12|m|x1x2|2 16k24m2|m|14k22（16k24m2）m214k22 4m214k2m214k2.设m214k2t.将 ykxm 代入椭圆 C 的方程，可得(14k2)
52、x28kmx4m240，由 0，可得 m214k2.(*)由(*)(*)可知 00 得 4m28(m26)0，即2 3m0，又 F(2，0)，即(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)y1y240.整理得 m(m3)0，即 m0.由可得 m 的取值范围是(2 3，3)(0，2 3)1定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点2定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与
53、参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值典例(2015洛阳模拟)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)上一点，A，B 是椭圆 E 的左、右顶点，直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k212.(1)求椭圆 E 的方程；(2)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)上点 N(x0，y0)处切线方程为x0 xa2 y0yb2 1.若 P 是直线 x2 上任意一点，从 P 向椭圆 E 作切线，切点分别为
54、C，D，求证直线 CD 恒过定点，并求出该定点坐标自主解答(1)由题意，2c2，c1，A(a，0)，B(a，0)，设 M(x，y)，k1k212，yxayxa12，即y2x2a212.M(x，y)在椭圆 E 上，x2a2y2b21，b21x2a2x2a2 12，b2a212，a22b2.又 a2b2c21，a22，b21.椭圆 E 的方程为x22y21.(2)设切点坐标为 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)，则切线方程分别为x1x2 y1y1，x2x2 y2y1.两切线均过点 P，2x12 ty11，2x22 ty21，即 x1ty11，x2ty21，直线 CD 的方程为 xty
55、1.对于任意实数 t，点(1，0)都适合这个方程，即直线 CD 恒过定点(1，0)(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m)变式训练(2015兰州模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的标准方程；
56、(2)设 O 为坐标原点，kOAkOBb2a2，判断 AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由解：(1)由题意得 c1，又 eca12，所以 a2，从而 b2a2c23，所以椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24y231，ykxm得(34k2)x28mkx4(m23)0，由(8mk)216(34k2)(m23)0 得 m20.由弦长公式得|AB|1k2|x1x2|1k248（4k2m23）（34k2）224（1k2）34k2.又点 O 到直线 l：ykxm 的距离 d|m|1k2，所 以 S AOB 12 d|AB|12
57、24（1k2）34k2|m|1k2 1224m234k2 32m234k2 3（34k2）34k2 3，故 AOB 的面积为定值 3.存在性问题的解题步骤典例 如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是 22，过点 P(0，1)的动直线 l 与椭圆相交于A，B 两点当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2.(1)求椭圆 E 的方程；(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得|QA|QB|PA|PB|恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由自主解答(1)由已知，点(2，1)在椭圆 E 上因此，2a2 1
58、b21，a2b2c2，ca 22.解得 a2，b 2.所以椭圆 E 的方程为x24y221.(2)当直线 l 与 x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C，D 两点如果存在定点 Q 满足条件，则有|QC|QD|PC|PD|1，则|QC|QD|.所以 Q 点在 y 轴上，可设 Q 点的坐标为(0，y0)当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M，N 两点，则 M，N 的坐标分别为(0，2)，(0，2)由|QM|QN|PM|PN|，有|y0 2|y0 2|2121，解得 y01 或 y02.所以，若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点坐标只可能为(0，2)下面证明：
59、对任意直线 l，均有|QA|QB|PA|PB|.当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 ykx1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立x24y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以 x1x24k2k21，x1x222k21.因此1x11x2x1x2x1x2 2k.易知，点 B 关于 y 轴对称的点 B的坐标为(x2，y2)又 kQAy12x1 kx11x1k1x1，kQBy22x2 kx21x2 k1x2k1x1，所以 kQAkQB，即 Q，A，B三点共线所以|QA|QB
60、|QA|QB|x1|x2|PA|PB|.故存在与 P 不同的定点 Q(0，2)，使得|QA|QB|PA|PB|恒成立探究 在本例条件下，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由解：当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立x24y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x24k2k21，x1x222k21.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1（24）k2（21）2k21 12k212，
61、所以，当 1 时，12k2123.此时，3 为定值当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即直线 MN.此时，213.故存在常数 1，使得为定值3.处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性若证明某结论不存在，也可采用反证法变式训练(2015大连模拟)设抛物线 C1：y24x 的准线与 x 轴交于点 F1，焦点为 F2.以 F1，F2 为焦点，离心率为12的椭圆记作 C2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线 L 经过椭圆 C2 的右焦点 F2，与抛物线 C1 交于 A1，A2 两点，
62、与椭圆 C2 交于 B1，B2 两点，当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时，求|A1A2|的长；(3)若 M 是椭圆上的动点，以 M 为圆心，MF2 为半径作M，是否存在定N，使得M 与N 恒相切？若存在，求出N 的方程，若不存在，请说明理由解：(1)椭圆方程为x24y231.(2)当直线 L 与 x 轴垂直时，B11，32，B21，32，又 F1(1，0)，此时0，所以以 B1B2 为直径的圆不经过 F1，不满足条件当直线 L 不与 x 轴垂直时，设 L：yk(x1)，由yk（x1），x24y231，得(34k2)x28k2x4k2120，因为焦点在椭圆内部，所以直线与椭圆恒有两个交点设
63、 B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，则 x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2.因为以 B1B2 为直径的圆经过 F1，所以0，又 F1(1，0)，所以(1x1)(1x2)y1y20，即(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k20，解得 k297.由y24x，yk（x1），得 k2x2(2k24)xk20.因为直线 L 与抛物线有两个交点，所以 k0.设 A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，则 x3x42k24k224k2，所以|A1A2|x3x4p24k22649.(3)存在定N，使得M 与N 恒相切，其方程为：(x1)2y216，圆心是左焦点 F1.由椭圆的定义
64、可知：|MF1|MF2|2a4，所以|MF1|4|MF2|，所以两圆相内切1(2015南昌模拟)如图，A，B 是焦点为 F 的抛物线 y24x 上的两动点，线段 AB 的中点 M 在定直线 xt(t0)上(1)求|FA|FB|的值；(2)求|AB|的最大值解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(t，m)，则 x1x22t，y1y22m.由抛物线的定义知|FA|x11，|FB|x21.所以|FA|FB|x1x222t2.(2)由y214x1，y224x2，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以x1x2y1y2m2.故可设直线 AB 的方程为m2(ym)xt，即 xm2ym2
65、2 t.联立xm2ym22 t，y24x，消去 x，得 y22my2m24t0.则 16t4m20，即 0m24t，y1y22m，y1y22m24t.所以|AB|1m24|y1y2|（4tm2）（4m2）m22（t1）24（t1）2，其中 0m24t.当 t1 时，因为 02t24t，所以当 m22t2 时，|AB|取最大值，即|AB|max2t2.当 0t1 时，因为 2t20，所以当 m20 时，|AB|取最大值，即|AB|max4 t.综上，|AB|max2t2，t1，4 t，0t0)及定点 N(3a，0)，点 P 是圆 M 上的动点，点G 在 MP 上，且满足|GP|GN|，G 点的轨
66、迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)若点 A(1，0)关于直线 xyt0(t0)的对称点在曲线 C 上，求 a 的取值范围解：(1)设 G(x，y)，|PG|GM|4a，且|PG|GN|，|GM|GN|4a2 3a，由椭圆定义得，曲线 C 的方程为 x24a2y2a21.(2)设 A(1，0)关于直线 xyt0(t0)的对称点为 A(m，n)，则nm1（1）1，m12n2t0，mt，nt1.A(t，t1)，A(t，t1)在曲线 C：x24a2y2a21 上，t24(t1)24a2，化简得 5t28t44a20(t0)，此方程有正根，令 f(t)5t28t44a2，其图象的对称轴为 t
67、450，(8)245(44a2)0.a 55 或 a 55，a0，a 55.故 a 的取值范围是55，.3已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为5 23.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知动直线 yk(x1)与椭圆 C 相交于 A，B 两点若线段 AB 中点的横坐标为12，求斜率 k 的值；已知点 M73，0，求证：为定值解：(1)x2a2y2b21(ab0)满足 a2b2c2，又ca 63，12b2c5 23，解得 a25，b253，则椭圆方程为x253y25 1.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)将 yk(x
68、1)代入x253y25 1，得(13k2)x26k2x3k250，48k2200，x1x2 6k23k21，AB 中点的横坐标为12，6k23k211，解得 k 33.由知 x1x2 6k23k21，x1x23k253k21，x173，y1 x273，y2x173 x273 y1y2x173 x273 k2(x11)(x21)(1k2)x1x273k2(x1x2)499 k2(1k2)3k253k2173k2 6k23k21 499 k23k416k253k21499 k249(定值)4(2015伊春模拟)如图，已知抛物线 C：x24y，过点 M(0，2)任作一直线与 C 相交于 A，B 两点
69、，过点 B作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)(1)证明：动点 D 在定直线上；(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y2 相交于点 N1，与(1)中的定直线相交于点 N2.证明：|MN2|2|MN1|2 为定值，并求此定值证明：(1)依题意可设 AB 方程为 ykx2，代入 x24y，得 x24(kx2)，即 x24kx80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x28，直线 AO 的方程为 yy1x1x；BD 的方程为 xx2.解得交点 D 的坐标为xx2，yy1x2x1.注意到 x1x28 及 x214y1，则有 yy1x1x2x
70、21 8y14y1 2，因此 D 点在定直线 y2(x0)上(2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 yaxb(a0)，代入 x24y 得 x24(axb)，即 x24ax4b0，由 0 得(4a)216b0，化简整理得 ba2.故切线 l 的方程可写为 yaxa2.分别令 y2，y2 得 N1，N2 的坐标为 N1(2aa，2)，N22aa，2，则|MN2|2|MN1|22aa2422aa28，即|MN2|2|MN1|2 为定值 8.5椭圆 M 的中心在原点 O，左、右焦点 F1，F2 在 x 轴上，抛物线 N 的顶点也在原点O，焦点为 F2，椭圆 M 与抛物线
71、N 的交点为 A(3，2 6)(1)求椭圆 M 与抛物线 N 的方程；(2)在抛物线 N 处于椭圆 M 内(不含边界)的一段弧上，是否存在点 B 使得 AF1B 的外接圆圆心在 x 轴上？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，设椭圆 M 的方程为x2a2y2b21(ab0)，抛物线 N 的方程为 y22px(p0)，点 A(3，2 6)在抛物线 N 上，(2 6)22p3p4，抛物线 N 的方程为 y28x，且 F2(2，0)，从而 F1(2，0)点 A(3，2 6)在椭圆 M 上，焦点为 F1(2，0)，F2(2，0)，椭圆的长轴长 2a|AF1|AF2|（32）
72、2（2 6）2（32）2（2 6）212，a6，b2a2c232，椭圆 M 的方程为x236y2321.(2)假设存在点 B，使得 AF1B 的外接圆圆心在 x 轴上，设该圆圆心为 G(x0，0)，则|GA|GF1|GB|，即点 G 在线段 AF1 的垂直平分线上，由|GA|GF1|，得（x03）2（2 6）2|x02|，解得 x02910，则外接圆半径为|GF1|x02|4910，AF1B 的外接圆方程为x29102y2492102，联立x29102y2492102，y28x（x0），解得 x3 或 x265(舍去)B(3，2 6)，A(3，2 6)与 B(3，2 6)关于 x 轴对称，即点
73、 B 在椭圆上，不满足题意，在抛物线 N 处于椭圆 M 内(不含边界)的一段弧上，不存在满足题意的点 B，使得 AF1B 的外接圆圆心在 x 轴上6(2015长春模拟)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，右焦点为 F(1，0)，A、B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，D 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点，且 ADB 面积的最大值为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在一定点 E(x0，0)(0 x0b0)，由已知可得(S ADB)max122abab 2，F(1，0)为椭圆右焦点，a2b21，由可得 a 2，b1，椭圆 C 的方程为x22y21.(2)过点 E 取两条分别垂直于 x 轴和
74、y 轴的弦 M1N1、M2N2，则，即21x2021（x0 2）21（x0 2）2，解得 x0 63，E 若存在，必为63，0，定值为 3，下证63，0 满足题意设过点 E63，0 的直线方程为 xty 63，代入椭圆 C 的方程中得：(t22)y22 63 ty430，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1y22 63 tt222 6t3（t22），y1y243（t22），1（1t2）y211（1t2）y2211t21y211y22 11t2（y1y2）22y1y2y21y22 11t22 6t3（t22）283（t22）43（t22）23.综上得定点为 E63，0，定值为 3.高
75、考大题专项练(五)解析几何A 组1已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，e12，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l与椭圆 C 交于点 A，B，点 A，B 的中点横坐标为14，且(其中 1)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求实数 的值解：(1)由条件可知：c1，a2，故 b2a2c23，椭圆 C 的标准方程是x24y231.(2)由，可知 A，B，F 三点共线，设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)若直线 ABx 轴，则 x1x21，不合题意当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时，设方程为 yk(x1)由yk（x1），x24y231消去 y 得(34k2)x28k
76、2x4k2120.64k44(4k23)(4k212)144(k21)0，因为x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23，所以 x1x2 8k24k2312，所以 k214.将 k214代入方程，得 4x22x110，解得 x13 54.又因为(1x1，y1)，(x21，y2)，(其中 1)，所以 1x1x213 52.2(2015宝鸡模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时，|AB|CD|3 2.(1)求椭圆的方程；(2)求由 A，B，C，D 四点构成
77、的四边形的面积的取值范围解：(1)由题意知，eca 22，则 a 2c，bc.|AB|CD|2a2b2a 2 2c 2c3 2，c1.椭圆的方程为x22y21.(2)当两条弦中有一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在，由题意知 S 四边形12|AB|CD|122 2 22.当两弦斜率均存在且不为 0 时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 yk(x1)，则直线 CD 的方程为 y1k(x1)将直线 AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得(12k2)x24k2x2k220，|AB|k21|x1x2|k212 2 k2112k22 2（k21）12k2.同理，|CD|2
78、21k2112k22 2（k21）k22.S四边形12|AB|CD|122 2（k21）12k22 2（k21）k224（k21）22k425k24k1k22k1k21222k1k21.2k1k2122k1k219，当且仅当 k1 时取等号，S 四边形169，2.综合与可知，S 四边形169，2.3(2015兰州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C(0，p)作直线与抛物线 x22py(p0)相交于 A、B 两点(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求 ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存
79、在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由解：(1)N 是 C(0，p)关于坐标原点的对称点，N(0，p)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)直线 AB 的方程为 ykxp，由x22py，ykxp，得 x22pkx2p20.由根与系数的关系得 x1x22pk，x1x22p2.于是 S ABNS BCNS ACN122p|x1x2|p（x1x2）24x1x2p4p2k28p22p2 k22，当 k0 时，(S ABN)min2 2p2.(2)假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 ya.设 AC 的中点为 O，l 与以 AC 为直径的圆相交于点 P、Q，PQ 的中点为 H，则 OHPQ，O点的坐
80、标为x12，y1p2.|OP|12|AC|12 x21（y1p）212 y21p2，|OH|ay1p212|2ay1p|，|PH|2|OP|2|OH|214(y21p2)14(2ay1p)2ap2 y1a(pa)，|PQ|2(2|PH|)24ap2 y1a（pa）.令 ap20，得 ap2，此时|PQ|p 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 yp2.B 组1(2015南昌模拟)已知圆 E：x2y12294经过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点 F1，F2，且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 F1，E，A 三点共线直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，且(0)(
81、1)求椭圆 C 的方程；(2)当 AMN 的面积取到最大值时，求直线 l 的方程解：(1)F1，E，A 三点共线，F1A 为圆 E 的直径，AF2F1F2.由 x2012294，得 x 2，c 2，|AF2|2|AF1|2|F1F2|2981，2a|AF1|AF2|4，a2.a2b2c2，b 2，椭圆 C 的方程为x24y221.(2)由题知，点 A 的坐标为(2，1)，(0)，直线的斜率为 22，故设直线 l 的方程为 y 22 xm，联立y 22 xm，x24y221，得 x2 2mxm220，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2 2m，x1x2m22，2m24m280，2m2
82、，曲线 C 是以 F1(1，0)、F2(1，0)为焦点，4 为长轴长的椭圆曲线 C 的方程为x24y231，即 3x24y212.直线 l 经过点(1，0)，斜率为 k，直线 l 的方程为 yk(x1)直线 l 与直线 x4 交于点 D，D(4，3k)设 A(x1，kx1k)，B(x2，kx2k)由3x24y212，yk（x1），得(34k2)x28k2x4k2120.x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2.由2得 2x2x14.由 2x2x14 和 x1x2 8k234k2得 x1434k2，x248k234k2.x1x24k21234k2，434k248k234k2 4k21
83、234k2，化简得 4k4k250，解得 k254或k210(舍去)k254.(2)由(1)知，A(x1，kx1k)，B(x2，kx2k)，x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2.(x1，kx1k)，(x2，kx2k)，x1x2(kx1k)(kx2k)(1k2)x1x2k2(x1x2)k25k21234k2 2.不存在实数 k，使 AOB 为锐角三角形3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 2，且过点2，62.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 A，B 分别是椭圆 E 的左、右顶点，直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点 P 是
84、椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线 AP 交 l 于点 M.()设直线 OM 的斜率为 k1，直线 BP 的斜率为 k2，求证：k1k2 为定值；()设过点 M，垂直 BP 的直线为 m，求证：直线 m 过定点，并求出定点的坐标解：(1)由题意得 2c2，所以 c1，则 a2b21，又 2a2 32b21，所以 2b45b230，解得 b23 或 b212(舍去)，则 a24，所以椭圆 E 的方程为x24y231.(2)()设 P(x1，y1)(y10)，M(2，y0)，则 k1y02，k2 y1x12，因为 A，P，M 三点共线，所以 y0 4y1x12，所以 k1k2y0y12（x12）
85、2y21x214，因为 P(x1，y1)在椭圆上，所以 y2134(4x21)，故 k1k2 2y21x21432为定值()由()知，直线 BP 的斜率为 k2 y1x12，所以直线 m 的斜率为 km2x1y1，则直线 m的方程为 yy02x1y1(x2)，即 y2x1y1(x2)y02x1y1 x2（2x1）y1 4y1x122x1y1 x2（x214）4y21（x12）y12x1y1x2（x214）123x21（x12）y12x1y1 x2x1y1 2x1y1(x1)，所以直线 m 过定点(1，0)专题复习检测卷(五)解析几何一、选择题1(2015广东高考)已知双曲线 C：x2a2y2b
86、21 的离心率 e54，且其右焦点为 F2(5，0)，则双曲线 C 的方程为()A.x24y231 B.x29y2161C.x216y291 D.x23y241解析：选 C eca54，F2(5，0)，c5，a4，b2c2a29，双曲线 C 的标准方程为x216y291.2已知圆 C1：(x1)2(y1)21，圆 C2 与圆 C1 关于直线 xy10 对称，则圆 C2的方程为()A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21解析：选 B 设圆心 C1(1，1)关于直线 xy10 的对称点为(a，b)，依题意得b1a11，a12 b12 10
87、，解得 a2，b2，所以圆 C2 的方程为(x2)2(y2)21.3若椭圆x24y2k 1 的离心率 e23，则实数 k 的取值是()A.209B.365C.209 或525D.209 或365解析：选 D 当 k4 时，有 e14k23，解得 k365；当 0k0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2的垂线与双曲线交于 B，C 两点若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A12B 22C1 D 2解析：选 C 由题意，得 A1(a，0)，A2(a，0)，F(c，0)，将 xc 代入双曲线方程，解得 yb2a.不妨设 Bc，b2a，Cc，b2a，则
88、kA1Bb2aca，kA2Cb2aca，根据题意，有b2acab2aca1，整理得ba1，所以该双曲线的渐近线的斜率为1.8(2015丰台模拟)抛物线 y24x 的焦点为 F，经过 F 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，与准线 l 交于点 B，且 AKl 于 K，如果|AF|BF|，那么 AKF 的面积是()A4 B3 3C4 3D8解析：选 C 如图，由条件知 AKF 是等边三角形，设 A(x，y)，则32（x1）24x，解得 x3 或 x13(舍去)，所以 S AKF1244 32 4 3.9设椭圆x24y231 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，若 PF
89、1F2 是直角三角形，则 PF1F2 的面积为()A3 B3 或32C32D6 或 3解析：选 C 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是 60，所以该点 P 不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时 PF1F2 的面积为122cb2a 32.10设 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P 为直线 x2a 上一点，若 PF1F2 是底角为 15的等腰三角形，则 C 的离心率为()A.312B.31 C.12D.32解析：选 B 如图，设直线 x2a 与 x 轴的交点为 M，由题意得F1F2P150，MF2P30.在直角三角形 MF2P 中，|F2M|
90、2ac，|PM|F2M|tan 302 33 a 33 c，|PF2|2|PM|4 33 a2 33 c，又|F1F2|2c|PF2|，故(31)c2a，eca231 31.11(2015赣州模拟)已知椭圆 E 的中心在原点，一个焦点为 F(1，0)，定点 A(1，1)在 E 的内部，若椭圆 E 上存在一点 P 使得|PA|PF|7，则椭圆 E 的方程可以是()A.x23y221 B.x24y231C.x28y271 D.x29y281解析：选 D 设椭圆的方程为x2a2y2b21，则 c1，则|PF|PF|2a，即|PF|2a|PF|，椭圆 E 上存在一点 P，满足|PA|PF|7，|PA|
91、PF|PA|2a|PF|7，即|PA|PF|72a，|AF|PA|PF|AF|，1|PA|PF|1，即172a1，解得 3a4，即 9a216，当 a29 时，b2a2c2918，故此时椭圆的方程为x29y281，故 E 的方程可以是x29y281.12抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|MN|AB|的最大值为()A 33B1 C2 33D2解析：选 A 过 A，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足为 Q，P，设|AF|a，|BF|b，则|AQ|AF|a，|BP|BF|b
92、，在梯形 ABPQ 中，2|MN|AQ|BP|ab.由余弦定理得|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab(ab)2ab2234(ab)2，即|AB|32(ab)，所以|MN|AB|12（ab）32（ab）33.二、填空题13(2015苏锡常镇联考)已知双曲线x2a2y2b21(a，b0)的离心率等于 2，它的焦点到渐近线的距离等于 1，则该双曲线的方程为_解析：由题可得 eca2，则 c2a，设其一焦点为 F(c，0)，渐近线方程为 bxay0，那么 dbcb2a2bcc b1，而 c24a2a2b2，解得 a213，那么所求的双曲线方程为 3x2y21.答案：3x2y
93、2114(2015重庆高考)若点 P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_解析：以原点 O 为圆心的圆过点 P(1，2)，圆的方程为 x2y25.kOP2，切线的斜率 k12.由点斜式可得切线方程为 y212(x1)，即 x2y50.答案：x2y5015(2015开封模拟)椭圆 C：x24y231 的左、右顶点分别为 M，N，点 P 在 C 上，且直线 PN 的斜率是14，则直线 PM 的斜率为_解析：设 P(x0，y0)，则x204y2031，直线 PM 的斜率 kPM y0 x02，直线 PN 的斜率 kPN y0 x02，可得 kPMkPN y20 x204
94、34，故 kPM34 1kPN3.答案：316已知抛物线 C：y22px(p0)的准线 L，过 M(1，0)且斜率为 3的直线与 L 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p_解析：过点 B 作准线 l 的垂线，垂足为 D，因为DAB6，所以 BD12ABBM，所以 M 为抛物线的焦点，所以p21，即 p2.答案：2三、解答题17已知圆 C 经过 P(4，2)，Q(1，3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，半径小于 5.(1)求直线 PQ 与圆 C 的方程；(2)若直线 lPQ，且 l 与圆 C 交于点 A，B，且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线 l 的方程解：(
95、1)直线 PQ 的方程为 xy20，设圆心 C(a，b)，半径为 r，由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y12x32，即 yx1，易知圆心在线段 PQ 的垂直平分线上，所以 ba1.又由圆 C 在 y 轴上截得的线段长为 4 3，知(a1)2(b3)212a2.由得 a1，b0 或 a5，b4.当 a1，b0 时，r213 满足题意，当 a5，b4 时，r237 不满足题意，故圆 C 的方程为(x1)2y213.(2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，mx1)，B(x2，mx2)，由题意可知 OAOB，即 OAOB0，所以 x1x2(mx1)(mx2)0，整理得 m2m(x1x2)2
96、x1x20，将 yxm 代入(x1)2y213，可得 2x22(m1)xm2120.x1x21m，x1x2m2122，4(m22m25)0，即 m2m(1m)m2120，m4 或 m3，满足 0，yx4 或 yx3.18设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，MC，以 M 为圆心的圆 M 与 l相切于点 Q，Q 的纵坐标为 3p，E(5，0)是圆 M 与 x 轴除 F 外的另一个交点(1)求抛物线 C 与圆 M 的方程；(2)已知直线 n：yk(x1)(k0)，n 与 C 交于 A，B 两点，n 与 l 交于点 D，且|FA|FD|，求 ABQ 的面积解：(1)由抛物线的定义
97、知，圆 M 经过焦点 Fp2，0，Qp2，3p，点 M 的纵坐标为 3p，又 MC，则 M3p2，3p，|MF|2p.由题意，M 是线段 EF 的垂直平分线上的点，故3p2 p252，解得 p2，故抛物线 C：y24x，圆 M：(x3)2(y2 3)216.(2)由yk（x1），x1得 y2k，则 D(1，2k)，由y24x，yk（x1）得 ky24y4k0(k0)，即 y22 1k2k或 y22 1k2k.|FA|FD|，则 A 的纵坐标为22 1k2k，且22 1k2k2k，解得 k 3.A(3，2 3)，B13，2 33，直线 n：y 3(x1)，Q(1，2 3)，则|AB|163，点
98、Q到直线 n 的距离 d2 3，ABQ 的面积 S12|AB|d16 33.19如图，A，B 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点，F 为其右焦点，2 是|AF|与|BF|的等差中项，3是|AF|与|BF|的等比中项(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的动点，直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴，过点 F 作直线 FQ 垂直于 AP，交直线 l 于点 Q.证明：Q，P，B 三点共线解：(1)不妨设椭圆 C 的右焦点为 F(c，0)，则由题意可得|AF|ac，|BF|ac，故（ac）（ac）2a4，（ac）（ac）a2c23，解得 a2，c
99、1，又 a2b2c2，所以 b 3，所以椭圆 C 的方程为x24y231.(2)法一：由(1)知直线 l 的方程为 x2，由题意易知直线 AP 的斜率存在且不为 0，设直线 AP 的方程为 yk(x2)(k0)，联立yk（x2），x24y231，消去 y 得(34k2)x216k2x16k2120，故 xPxAxP2 16k234k2，所以 xP68k234k2，yP 12k34k2，即 P68k234k2，12k34k2，又 QFAP，所以 kQF1k，故直线 QF 的方程为 y1k(x1)联立y1k（x1），x2，解得x2，y3k，故 Q2，3k，所以 kPQ12k34k23k68k234
100、k22 34k，kBQ3k022 34k，所以 kPQkBQ，即 Q，P，B 三点共线法二：设动点 P 的坐标为(x0，y0)，则 y00 且 x02.又点 P 在椭圆上，由(1)可得x204y2031，所以 y203（4x20）4.又 A(2，0)，F(1，0)，所以直线 AP 的斜率 kAP y0 x02，又 QFAP，所以 kQF 1kAPx02y0，故直线 QF 的方程为 yx02y0(x1)联立yx02y0（x1），x2，解得x2，y3（x02）y0，故点 Q 的坐标为(2，3（x02）y0)，所以直线 PQ 的斜率为 kPQy03（x02）y0 x02y203（x02）y0（x02
101、）.将代入，整理可得 kPQ3（x02）4y0，又直线 PB 的斜率为 kPB y0 x02，所以 kPQkPB3（x02）4y0 y0 x023（x204）4y204y0（x02）.将代入可得 kPQkPB0，即 kPQkPB，故 Q，P，B 三点共线20已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率 e 22，P 为椭圆上任一点，且 PF1F2 的最大面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设斜率为 22 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆恒过原点 O，求 OAB的面积解：(1)eca 22，设 P(x0，y0)，PF1F
102、2 的面积 S|y0|c，又|y0|b，所以最大面积为 bc1，则 bc1，a 2，所以椭圆 C 的方程为x22y21.(2)设直线 l 的方程为 y 22 xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y 22 xm，x22y22，消去 y 得 2x22 2mx2m220，则x1x2 2m，x1x2m21.由题意知x1x2y1y20，又 y1y222 x1m 22 x2m 12x1x2 22 m(x1x2)m2，所以32x1x2 22 m(x1x2)m232m2320，解得 m1，则|AB|1222（x1x2）24x1x2 3.因为原点到直线 l 的距离为|m|1222 63，所以 S AO
103、B12 3 63 22.21已知椭圆 C：x2a2y21(a1)的上顶点为 A，右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：(x3)2(y1)23 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且0，求证：直线 l 过定点，并求该定点的坐标解：(1)由题意知圆 M 的圆心坐标为(3，1)，半径 r 3.A(0，1)，F(c，0)(c a21)直线 AF 的方程为xcy1，即 xcyc0.由直线 AF 与圆 M 相切得|3cc|c21 3，解得 c22，a2c213.故椭圆 C 的方程为x23y21.(2)法一：由0 知 APAQ，从而直线 AP 与坐标
104、轴不垂直，故可设直线 AP 的方程为 ykx1，直线 AQ 的方程为 y1kx1，将 ykx1 代入椭圆 C 的方程，整理得(13k2)x26kx0，解得 x0 或 x 6k13k2，故点 P 的坐标为6k13k2，13k213k2.同理，点 Q 的坐标为6kk23，k23k23.所以直线 l 的斜率为k23k2313k213k26kk23 6k13k2k214k.则直线 l 的方程为 yk214k x 6kk23 k23k23，即 yk214k x12.所以直线 l 过定点0，12.法二：由0 知 APAQ，从而直线 PQ 与 x 轴不垂直，故可设直线 l 的方程为ykxt(t1)，联立yk
105、xt，x23y21整理得(13k2)x26ktx3(t21)0.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2 6kt13k2，x1x23（t21）13k2，(*)由(6kt)24(13k2)3(t21)0，得 3k2t21.由0，得0(x1，y11)(x2，y21)(1k2)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，将(*)代入，得 t12，直线 l 过定点0，12.22设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，过点 A 与AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q，且.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若过 A，Q，F2 三点的圆恰好与直线
106、 l：x 3y30 相切，求椭圆 C 的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在点 P(m，0)，使得以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 m的取值范围；如果不存在，说明理由解：(1)设 Q(x0，0)由 F2(c，0)，A(0，b)知(c，b)，(x0，b)，cx0b20，x0b2c，由于0，即 F1 是 F2Q 的中点，故b2c c2c，b23c2a2c2.故椭圆的离心率 e12.(2)由(1)知ca12，a2c，于是 F212a，0，Q32a，0，所以 AQF2 的外接圆圆心为12a，
107、0，半径 r12|F2Q|a，所以12a32a，解得 a2，c1，b 3，所求椭圆方程为x24 y23 1.(3)由(2)知 F2(1，0)，设直线 l：yk(x1)由yk（x1），x24 y23 1，得(34k2)x28k2x4k2120.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2 8k234k2，y1y2k(x1x22)(x1m，y1)(x2m，y2)(x1x22m，y1y2)，由于菱形对角线垂直，则()0，故 k(y1y2)x1x22m0，即 k2(x1x22)x1x22m0，所以 k28k234k22 8k234k22m0.由已知条件知 k0 且 kR，mk234k213k24，0m14.故存在满足题意的点 P，且 m 的取值范围是 m0，14.
