1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-1第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 圆锥曲线与方程 第二章 第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 在必修 2 中我们学习了直线及圆的方程，初步体会了数形结合的思想，本章我们主要学习椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，及其简单应用圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，它们有很多非常好的几何性质，这些几何性质在日常生活和社会生产中都有着重要而广泛的应用，因此学习这部分内容对于提高自身素质非常重要本章将在学习直线和圆的基础
2、上，进一步学习圆锥曲线及其方程，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用，并进一步体会数形结合这一重要的数学思想第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念第二章 第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课前自主预习第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 我国著名
3、的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过：数缺形来少直观，形缺数则难入微可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想在必修 2 解析几何初步中我们已经学过了直线和圆的方程，对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用.第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.直线方程的概念是怎样的？2在直线方程的概念中应注意哪些问题？答案：1.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方
4、程的直线第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2(1)在这个概念中，以方程的解为坐标的点都在直线上；直线上点的坐标都是方程的解，即坐标代入方程均成立只有这两点都具备了，直线就是方程的直线，方程就是直线的方程否则就不一定正确(2)方程与函数的区别在于函数确定了自变量与因变量，而方程则强调变量间互相制约的关系，某些方程不能表示函数，如垂直于 x 轴的直线.第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 一、曲线与方程1曲线的方程与方程的曲线的定义在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关
5、系：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)0的解；(2)以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上那么，曲线C叫做方程F(x，y)0的曲线，方程F(x，y)0叫做曲线C的方程第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 注意：(1)“曲线上点的坐标都是方程F(x，y)0的解”说明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点的坐标都适合这个方程(2)“以方程的解为坐标的点都在曲线C上”说明适合条件的点都在曲线C上只有同时具备上述两个条件，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B
6、版 数学 选修2-1 2从不同角度理解曲线与方程的概念(1)从集合角度来看，设A是曲线C上所有点构成的集合，B是所有以方程F(x，y)0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系(1)知AB，由关系(2)知BA，同时具备关系(1)与(2)，则有AB，于是建立了曲线与方程之间的等价关系(2)从充要条件的角度来看，由关系(1)可知，曲线C上点的坐标是方程F(x，y)0的解的充分条件，由关系(2)可知曲线C上点的坐标是方程F(x，y)0的解的必要条件；只有(1)(2)同时成立，我们才能说曲线C上点的坐标是方程F(x，y)0的解的充要条件第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版
7、 数学 选修2-1 3用集合的特征性质描述曲线如果曲线C的方程是F(x，y)0，则M(x，y)CF(x，y)0.因此，方程F(x，y)0可以作为描述曲线C的特征性质曲线C用集合的特征性质可描述为CM(x，y)|F(x，y)0第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方程x2xyx表示的曲线是()A一个点 B一条直线C两条直线D一个点和一条直线答案 C解析 x2xyx因式分解得x(xy)x，即x(xy1)0，即x0或xy10.导学号 64150212第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 二、两条曲线的
8、交点求两条曲线 C1：F(x，y)0 与 C2：G(x，y)0 的交点坐标，实际上是求方程组Fx，y0，Gx，y0的实数解注意：由曲线方程的定义可知，两曲线交点坐标即两曲线方程所构成的方程组的解于是求曲线交点坐标问题，可转化为解二元方程组的问题确定两曲线交点个数问题，可转化为讨论方程组解的个数问题第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1直线与曲线交点个数的判断直线与曲线的交点问题，一般通过联立两方程消元得到关于 x 或 y 的方程若是一元二次方程，则根据方程根的判别式来判断(有时也可利用数形结合来判断)(1)当 0 时，有两个交点；(2)当 0
9、，即 k 512时，直线与圆有两个不同的交点0，即 k 512时，直线与圆有两个相同的交点0，即 k0，所以x1x212，x1x232.第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 又因为 A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线 yx3 上，所以 y1x13，y2x23，于是 y2y1x2x1，所以|AB|x2x12y2y12 2x2x12 2x1x224x1x221224325 22.故所截线段的长为5 22.第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 曲线方程的简单应用已知方程(xa)2(yb)236
10、的曲线经过点A(0,0)和B(0，12)，求a，b的值思路分析 A、B两点都在曲线上故满足曲线的方程，代入方程解关于a、b的方程组即可导学号 64150219第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 点 A、B 都在方程(xa)2(yb)236 表示的曲线上，A、B 的坐标都是方程的解，故有0a20b2360a212b236，解得a0，b6.所以 a0，b6.方法总结 曲线的方程与方程的曲线的应用是解析几何推理证明的基础要充分抓住两者之间的关系第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方程 x2(
11、x21)y2(y21)所表示的曲线是 C，若点 M(m，2)与点 N(32，n)在曲线 C 上，求 m、n 的值解析 因为 M(m，2)、N(32，n)在曲线 C 上，所以它们的坐标都是方程的解所以 m2(m21)21，34(14)n2(n21)所以 m 2，n12或 n 32.导学号 64150220第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 分类讨论思想的应用方程|x|y|1 表示的曲线是()导学号 64150221第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析 对方程进行恒等变形，然后根据方程体
12、现的对称性、范围等结合图形分析解析 原方程可化为x0y0，xy1或x0，y0，xy1或x0，y0，xy1或x0，y0，xy1作出图形如图 D.第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 1.判断方程表示的曲线，要对方程适当变形，变形过程中要注意与原方程的等价性，常见的变形方法有因式分解、讨论、配方等方法另外特别要注意：可以通过对方程的分析得出曲线的范围、组成、与坐标轴的交点、单调性、对称性等特征信息，如果可能则做出它的图形(可以是草图)，结合图形分析2合理进行分类讨论解决带有绝对值符号的题目，首先要正确地分类，在统一的分类标准下，把不确定元
13、素进行分类讨论，如本例中x，y根据题意分了四种情况讨论第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 若直线 yxb 与曲线 y3 4xx2有公共点，则 b 的取值范围是()A1,12 2B12 2，12 2C12 2，3D1 2，3答案 C导学号 64150222第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解 析 由 y 3 4xx2，得(x 2)2 (y 3)2 4(1y3)，曲线 y3 4xx2是半圆，如图中实线所示当直线 yxb 与圆相切时，|23b|22，b12 2.由图可知 b12 2.b 的取值范
14、围是12 2，3.第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方程变形中不是恒等变换致误方程|x|y|xy|1 表示的曲线是_.错解 表示的曲线是一个正方形错因分析 处因对条件分析不清，不能把四种情况合理联立起来表示曲线，实际在每个象限内都是射线(或射线去掉端点)而不是线段，故并集应是四条直线导学号 64150223第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 正解 对于方程|x|y|xy|1，x0，y0时，xyxy1即(x1)(1y)0，也就是x1，y1，这时曲线表示x1，y1在第一象限的部分及x轴，y轴上
15、的点(1,0)和(0,1)x0，y0时，xyxy1即(x1)(y1)0，这时曲线表示x1，y1在第四象限的部分及y轴上的点(0，1)x0，y0时，xyxy1，即(x1)(y1)0，这时曲线表示x1，y1在第二象限的部分及x轴的点(1,0)第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 x0，y0时，xyxy1即(x1)(y1)0，这时曲线表示x1，y1在第三象限的部分故综上可知|x|y|xy|1表示的曲线为x1，y1四条直线.答案 四条直线思路分析 条件结论并向分析解决问题时多观察，多思考，要适时把条件和结论并向分析，同时可以从结论选项中找出差别，有利于解题，如本例中每种讨论的结果都要结合所对应的条件分析所对应的曲线.第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 曲线与方程坐标法了解曲线与方程的概念了解方程的曲线曲线的方程曲线的交点了解方程组的解第二章 2.1 2.1.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
