1、河北省五校2020-2021学年高二下学期数学期末联考试卷一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 A=(x,y)x,yN,yx ， B=(x,y)x+y=6 ，则 AB 中的元素个数为（ ） A.2B.3C.4D.52.设向量 a=(2sin2,12cos) ， b=(cos,12) ，则“ a/b ”是“ tan=24 ”成立的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设 P 是 ABC 边 BC 上的任意一点， Q 为 AP 上靠近 A 的三等分点，若 AQ=AB+AC ，则 += （ ） A.14B.13C.12D.14.已知函数 f
2、(x)=x+1,x01,x0 ，则不等式 f(x)x2-1 的解集为（ ） A.x|-2x2B.x|-2x1C.x|-2x1D.x|-2x25.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（ ） 2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年减少；2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；2020年与20
3、18年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%A.B.C.D.6.已知定义在 R 上的偶函数 f(x) 在 (-,0) 上单调递减，则（ ） A.f(log34)f(2-0.4)f(log123)B.f(log34)f(log123)f(2-0.4)C.f(log123)f(log34)f(2-0.4)D.f(2-0.4)f(log34)0,b0) 的上下焦点分别为 F1 ， F2 ，过点 F1 且垂直于 y 轴的直线与该双曲线的上支交于 A ， B 两点， AF2 ， BF2 分别交 x 轴于 P ， Q 两点，若 PQF2 的周长为12，则 ab 取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ）
4、 A.x3y=0B.xy=0C.3xy=0D.3x2y=0二、多选题（共4题；共20分）9.已知各项均为正数的等比数列 an ， Sn 是数列 an 的前 n 项和，若 a1=12 ， S3=78 ，则下列说法正确的是（ ） A.an12B.an12C.Sn0 ，圆 C 与 x 轴相切且半径为1，直线 l 过 (-2,0) 点且倾斜角为45，直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，则 ABC 的面积为_. 15.已知 为常数， xR ，函数 f(x)=sin(x-)-cosx 的最大值为 455 ，则 cos2 的值为_. 16.设 O 为坐标原点，抛物线 C:y=x24 焦点坐标为_，过 N
5、(0,2) 的直线与抛物线的第一象限的交点为 M ，若点 Q 满足 MN=4MQ ，求直线 OQ 斜率的最小值_. 四、解答题（共6题；共70分）17.ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 acosC+3asinC-b-c=0 . （1）求 A ； （2）若 a=23 ，且向量 m=(1,sinB) 与 n=(sinC,-2) 垂直，求 ABC 的面积. 18.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S6=63 ， a4 是 a2 与 a8 的等比中项. （1）求数列 an 的通项公式； （2）从 bn=an3n ， bn=1anan+2 这两个条
6、件中任选一个补充在下列问题中，并解答:数列 bn 满足 ， 其前 n 项和为 Tn ，求 Tn . 19.九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己出外），现在由甲发球. （1）求经过3次传球，球回到甲的手里的概率； （2）求经过 n(nN) 次传球，球回到甲手里的概率 Pn . 20.ABC 为等腰直角三角形， AB=BC=2 ， B=2,D,E ，分别为边 AB,AC 的中点，将三角形 ADE 沿 DE 折起，使 A 到达 P 点，且 PC=5 ， O 为 BD 中点. （1）求证： PO 平面 BCED . （2）求二面角 B-PE-C 的余弦值. 21.已知椭圆 C:x2a2+y2
7、b2=1(ab0) 过点 E(1,32) ， A1 ， A2 为椭圆的左右顶点，且直线 A1E ， A2E 的斜率的乘积为 -34 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过左焦点F的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点，线段 MN 的垂直平分线交直线 l 于点 P ，交直线 x=4 于点 Q ，求 |PQ|MN| 的最小值. 22.已知函数 f(x)=(x2-x)lnx ， x12 . （1）求函数 f(x) 的单调区间； （2）存在 x012 ，使得 (x03-x02)lnx0ax0-(x0-1)2-ex0 成立，求实数 a 的取值范围. 答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.已
8、知集合 A=(x,y)x,yN,yx ， B=(x,y)x+y=6 ，则 AB 中的元素个数为（ ） A.2B.3C.4D.5【答案】 B 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】 AB 中的元素必满足 x,yN ，且 x+y=6 ， AB 中的元素必在这七个元素中 (0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) ，yx ， (4,2),(5,1),(6,0) 为 AB 中的元素，故答案为：B. 【分析】根据集合的元素特征可得AB 中的元素必在这七个元素中(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) ，即可得出答案。2.设
9、向量 a=(2sin2,12cos) ， b=(cos,12) ，则“ a/b ”是“ tan=24 ”成立的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】若 a/b ， 122sin2-12coscos=0 ，所以 2sincos-12cos2=0 ， 所以 2cos(sin-24cos)=0 ，所以 cos=0 或 sin-24cos=0 ，即 cos=0 或 tan=24 ，所以“ a/b ”不能推出“ tan=24 ”，但“ tan=24 ”可以推出“ a/b ”，故“ a/
10、b ”是“ tan=24 ”成立的必要而不充分条件，故答案为：B. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二倍角公式，同角三角函数间的关系进行判断即可。3.设 P 是 ABC 边 BC 上的任意一点， Q 为 AP 上靠近 A 的三等分点，若 AQ=AB+AC ，则 += （ ） A.14B.13C.12D.1【答案】 B 【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】由题得 AP=3AQ ，又 AQ=AB+AC所以 13AP=AB+AC , AP=3AB+3AC因为 B,P,C 三点共线，所以 3+3=1 ， +=13故答案为：B 【分析】首先利用向量共线的充要条件求出AP=3A
11、B+3AC ， 进一步利用向量的线性运算求出结果，可得答案。4.已知函数 f(x)=x+1,x01,x0 ，则不等式 f(x)x2-1 的解集为（ ） A.x|-2x2B.x|-2x1C.x|-2x1D.x|-2x2【答案】 D 【考点】分段函数的应用 【解析】【解答】当 x0 时， f(x)=x+1 ，所以 x+1x2-1 ，所以 x2-x-20 ， 解得 -1x2 ，所以解集为 x|0x2 ，当 x0 时， f(x)=1 ，所以 1x2-1 ，所以 x22 ，解得 -2x2 ，所以解集为 x|-2x0 ，又 x|-2x0x|0x2=x|-2x2 ，所以不等式解集为 x|-2x2 ，故答案为
12、：D. 【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式，解出，即可得出答案。5.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（ ） 2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年减少；2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%A.B.C.D.【
13、答案】 A 【考点】频率分布直方图 【解析】【解答】由2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图可知： 对于，由条状图可知，2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故错误；对于，2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故正确；对于，2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2020年比2015年增长人数多，故错误；对于，2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为 1970-15101510100%30.5% ，故正确故答案为：A 【分析】根据条状图的信息逐项进行分析可得答案。
14、6.已知定义在 R 上的偶函数 f(x) 在 (-,0) 上单调递减，则（ ） A.f(log34)f(2-0.4)f(log123)B.f(log34)f(log123)f(2-0.4)C.f(log123)f(log34)f(2-0.4)D.f(2-0.4)f(log34)f(log123)【答案】 D 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】【解答】解：因为定义在 R 上的偶函数 f(x) 在 (-,0) 上单调递减， 所以 f(x) 在 (0,+) 上单调递增， f(log123)=f(-log23)=f(log23) ，因为 y=2x 在 R 上为增函数，且 -0.40 ，所以 02-
15、0.420=1 ，因为 32=log2232=log28log316=log341 ，所以 log23log341 ，所以 log23log3412-0.40 ，因为 f(x) 在 (0,+) 上单调递增，所以 f(log23)f(log34)f(2-0.4) ，即 f(2-0.4)f(log34)0,b0) 的上下焦点分别为 F1 ， F2 ，过点 F1 且垂直于 y 轴的直线与该双曲线的上支交于 A ， B 两点， AF2 ， BF2 分别交 x 轴于 P ， Q 两点，若 PQF2 的周长为12，则 ab 取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ） A.x3y=0B.xy=0C.3xy=0
16、D.3x2y=0【答案】 C 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】由题意，得 |AF1|+|BF1|=|AB|=2b2a ，且 P,Q 分别为 AF2,BF2 的中点,由双曲线定义，知 |AF2|-|AF1|=2a ，|BF2|-|BF1|=2a ，联立，得 |AF2|+|BF2|=4a+2b2a 因为 PQF2 的周长为12，所以 ABF2 的周长为24，即 4a+4b2a=24 ，亦即 b2=6a-a2 ，所以 (ab)2=6a3-a4 令 f(a)=6a3-a4 ，则 f(a)=18a2-4a3=4a(92-a) ，所以 f(a) 在 (0,92) 上单调递增，在 (
17、92,+) 上单调递减，所以当 a=92 时， f(a) 取得最大值，此时 b2=692-(92)2=274 ，所以渐近线为 y=3x ，即 3xy=0 .故答案为：C 【分析】由题意，结合中位线定理可得ABF2 的周长为24，利用双曲线的定义可得4a+4b2a=24 ，进而转化，利用导数求单调性和最值，即可得出渐近线方程。二、多选题（共4题；共20分）9.已知各项均为正数的等比数列 an ， Sn 是数列 an 的前 n 项和，若 a1=12 ， S3=78 ，则下列说法正确的是（ ） A.an12B.an12C.Sn0,q1) ，因为 a1=12 ， S3=78 ， 所以 S3=a1(1-
18、q3)1-q=12(1-q3)1-q=78 ，解得 q=12 或 q=-32 （舍去），所以 an=(12)n12 ，A符合题意，B不符合题意；Sn=a1(1-qn)1-q=12(1-(12)n)1-12=1-(12)n0,q1) ， 根据 a1=12 ， S3=78即可计算出q值，从而得到通项公式与前n项和公式即可对选项进行逐一判断，可得答案。10.已知 (3+x)(1-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ，则（ ） A.a0=3B.a4=1C.a1+a2+a3+a4+a5=-3D.a1+a3+a5=16【答案】 A,C 【考点】二项式定理 【解析】【解答】令 x=
19、0 ，可得 a0=3 ，A符合题意； (1-x)4 的展开式通项为 Tr+1=C4r14-r(-x)r=(-1)rC4rxr ，则 a4=3(-1)4C44+(-1)3C43=-1 ，B不符合题意；令 x=1 ，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=0 ，又 a0=3 ，则 a1+a2+a3+a4+a5=-3 ，C符合题意；令 x=-1 ，可得 a0-a1+a2-a3+a4-a5=32 ，又 a0+a1+a2+a3+a4+a5=0 ，两式相减可得 a1+a3+a5=-16 ，D不符合题意.故答案为：AC. 【分析】 令x=0 ，可求得a0=3 ，即可判断选项A；利用二项展开式的通项可求得a
20、4,即可判断选项B；令x=1 ， 结合选项A即可求解a1+a2+a3+a4+a5 ， 从而判断选项C;令x=-1 ， 结合选项C,即可求解a1+a3+a5 ， 从而判断选项D.11.（多选题）在如图所示的几何体中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， AA1 ， BG ， CC1 ， DD1 均与底面 ABCD 垂直，且 AA1=CC1=DD1=2BG=2 ，点 E ， F 分别为线段 BC ， CC1 的中点，则下列说法正确的是（ ） A.直线 A1G 与平面 AEF 平行B.三棱锥 G-ACD 的外接球的表面积是 3C.点 C1 到平面AEF的距离为 23D.若点 P 在线段 AD1 上运
21、动，则异面直线 EF 和 CP 所成角的取值范围是 (0,3【答案】 A,C 【考点】球的体积和表面积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】解：对于A：连接 AD1 ， FD1 ， FG ，依题意可知 EF/AD1 ，即 A,E,F,D1 四点共面，因为 A1D1/GF 且 A1D1=GF ，所以四边形 A1D1FG 为平行四边形，所以 A1G/D1F ，因为 A1G 平面 AEFD1 ， D1F 平面 AEFD1 ，所以 A1G/ 平面 AEFD1 ，即直线 A1G 与平面 AEF 平行，A符合题意； 对于B：三棱锥 G-ACD 的外接球即为四
22、棱锥 G-ABCD 的外接球，所以外接球的直径即为 DG ，所以 DG2=AB2+BC2+BG2=9 ，所以外接球的表面积为 9 ，B不符合题意；如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0) ， E(1,2,0) ， F(0,2,1) ， C1(0,2,2) ， C(0,2,0) ， D1(0,0,2) ，所以 AE=(-1,2,0) ， AF=(-2,2,1) ， AC1=(-2,2,2) ， EF=(-1,0,1) ，设面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z) ，所以 nAE=-x+2y=0nAF=-2x+2y+z=0 ，令 y=1 ，则 x=2 ， z=2 ，所以 n=(2,1,2)
23、，所以点 C1 到平面AEF的距离 d=|nAC1|n|=|-22+21+22|22+22+12=23 ，C符合题意；因为点 P 在线段 AD1 上运动， EF/AD1 ，所以异面直线 EF 和 CP 所成角即为 CP 与 AD1 所成的角， 显然当 P 在 AD1 的端点处时，所成角为 3 ，当 P 在 AD1 的中点时 CPAD1 ，即所成角为 2 ，所以 CP 与 AD1 所成的角的范围为 3,2 ，D不符合题意；故答案为：AC 【分析】由线面平行的判定定理证明A；棱锥 G-ACD 的外接球即为四棱锥 G-ABCD 的外接球，则外接球的直径即为 DG ， 利用勾股定理求出外接球的直径即可
24、判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离，由EF/AD1 ，异面直线 EF 和 CP 所成角即为 CP 与 AD1 所成的角，利用特殊位置即可判断D。12.已知定义在 1e,e 上的函数 f(x) 满足 f(x)=f(1x) ，且当 x1e,1 时， f(x)=xlnx+1 ，若方程 f(x)-13x-a=0 有两个不同的实数根，则实数 a 可以是（ ） A.1-e-12B.1-e-23C.1-43eD.1-1e【答案】 B,D 【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】解：因为 f(x)=f(1x) ，且当 x1e,1 时， f(x)=xlnx+1 ， 所以当 x1,e
25、 时， f(x)=f(1x)=-1xlnx+1 ，所以 f(x)=xlnx+1,x1e,1-1xlnx+1,x(1,e ，当 x1e,1 时， f(x)=1+lnx0 ，所以 f(x) 在 1e,1 上单调递增，当 x(1,e 时， f(x)=1x2(lnx-1)0 ，所以 f(x) 在 (1,e 上单调递减，因为方程 f(x)-13x-a=0 有两个不同的实数根，所以函数 f(x) 的图像与直线 y=13x+a 有两个不同的交点，作出函数 f(x) 的大致图像如图所示，当直线 y=13x+a 与 f(x) 的图像相切时，结合图像，设切点为 (x0,y0) ，由 f(x0)=1+lnx0=13
26、 ，可得 x0=e-23 ， y0=e-23lne-23+1=1-23e-23 ，代入 y=13x+a 得 1-23e-23=13e-23+a ，解得 a=1-e-23 ，当直线 y=13x+a 过 (1e,1-1e) 时， a=1-43e ，当直线 y=13x+a 过（1，1）时， a=23所以由图可知实数 a 的取值范围为 (1-43e,23)1-e-23 ，故答案为：BD 【分析】由 f(x)=f(1x) ， 求出函数f(x) 在 1e,e上的解析式，作出函数大致的图像，将方程根的问题转化为函数图像的交点问题，结合函数的图像即可求解a的取值范围，再结合选项可得答案。三、填空题（共4题；共
27、20分）13.已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 11-z=i ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第_象限. 【答案】 四 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】解：因为 11-z=i ，所以 1-z=1i ，即 z=1+i ，所以 z=1-i ，再复平面内所对应的点的坐标为 (1,-1) 位于第四象限， 故答案为：四 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z的共轭复数，得到其坐标即可。14.已知圆 C 的圆心 C(0,m) ，其中 m0 ，圆 C 与 x 轴相切且半径为1，直线 l 过 (-2,0) 点且倾斜角为45，直线 l 与圆 C 交于 A,B
28、 两点，则 ABC 的面积为_. 【答案】12【考点】直线与圆相交的性质 【解析】【解答】因为圆 C 的圆心 C(0,m) ，其中 m0 ，圆 C 与 x 轴相切且半径为1，所以 m=1 ，所以圆 C 的圆心 C(0,1) ， 直线l的方程为 x-y+2=0 ，圆心 C(0,1) 到直线l的距离为 d=|0-1+2|2=22 ，所以弦长 AB=212-(22)2=2 ，所以 ABC 的面积为 SABC=12222=12 ，故答案为： 12 . 【分析】求出直线l的方程为 x-y+2=0 ， 圆 C 的圆心 C(0,1)半径为1，根据点到直线的距离得d=|0-1+2|2=22 ， 直线与圆相交的
29、性质可求出AB=212-(22)2=2 ， 再根据面积公式可得答案。15.已知 为常数， xR ，函数 f(x)=sin(x-)-cosx 的最大值为 455 ，则 cos2 的值为_. 【答案】725【考点】三角函数中的恒等变换应用，二倍角的余弦公式 【解析】【解答】因为 f(x)=sin(x-)-cosx=cossinx-(sin+1)cosx=cos2+(sin+1)2sin(x-) ， 当 cos0 时， tan=sin+1cos ，当 cos=0 时， sin=1 ，此时 f(x)=0 或 f(x)=-2cosx ，均不满足最大值为 455 ，所以由上可知： cos0 ，所以 f(x
30、)max=cos2+(sin+1)2=455 ，所以 2+2sin=165 ，所以 sin=35 ，所以 cos2=1-2sin2=1-1825=725 ，故答案为： 725 . 【分析】利用三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用求出结果。16.设 O 为坐标原点，抛物线 C:y=x24 焦点坐标为_，过 N(0,2) 的直线与抛物线的第一象限的交点为 M ，若点 Q 满足 MN=4MQ ，求直线 OQ 斜率的最小值_. 【答案】(0,1)；63【考点】基本不等式，平面向量的综合题 【解析】【解答】由 y=x24 得 x2=4y ，所以其焦点坐标为 (0,1) ； 设 M(x,y) ， Q(
31、x0,y0) ，因为 M 位于第一象限，所以 x0 ， y0 ，又 MN=4MQ ，即 Q 在线段 MN 上，所以 -x=4(x0-x)2-y=4(y0-y) ， x00 ， y00 ，则 x=43x0y=23(2y0-1) ，代入 x2=4y 可得 169x02=83(2y0-1) ，则 y0=13x02+12 ，所以直线 OQ 斜率为 kOQ=y0x0=x03+12x02x0312x0=63 ，当且仅当 x03=12x0 ，即 x0=62 时，等号成立.故答案为： (0,1) ； 63 . 【分析】由 y=x24 得 x2=4y ，所以其焦点坐标为 (0,1) ；设 M(x,y) ， Q(
32、x0,y0) ，因为 M 位于第一象限，所以 x0 ， y0 ，又 MN=4MQ ，即 Q 在线段 MN 上，得-x=4(x0-x)2-y=4(y0-y) ， 代入 x2=4y 可得 169x02=83(2y0-1)直线 OQ 斜率为 kOQ=y0x0=x03+12x0 ， 根据基本不等式可得直线OQ斜率的最小值。四、解答题（共6题；共70分）17.ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 acosC+3asinC-b-c=0 . （1）求 A ； （2）若 a=23 ，且向量 m=(1,sinB) 与 n=(sinC,-2) 垂直，求 ABC 的面积. 【答案
33、】 （1）因为 acosC+3asinC-b-c=0 ， 所以 3sinC+cosC=b+ca ，整理得： 3sinC+cosC=sinB+sinCsinA ，所以 3sinCsinA+cosCsinA=sin(A+C)+sinC ，化简得： (3sinA-cosA)sinC=sinC ，所以 3sinA-cosA=1 ，故 sin(A-30)=12 ，由于 0Ab0) 过点 E(1,32) ， A1 ， A2 为椭圆的左右顶点，且直线 A1E ， A2E 的斜率的乘积为 -34 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过左焦点F的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点，线段 MN 的垂直平分
34、线交直线 l 于点 P ，交直线 x=4 于点 Q ，求 |PQ|MN| 的最小值. 【答案】 （1）依题意有， 1a2+94b2=1 ， 321+a321-a=-34 ， 解得 a2=4 ， b2=3 ，椭圆的方程为 x24+y23=1 ；（2）由题意知直线 l 的斜率不为0，设其方程为 x=my-1 ， 设点 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，联立方程 x24+y23=1x=my-1 ，得 (3m2+4)y2-6my-9=0得到， y1+y2=6m3m2+4 ， y1y2=-93m2+4由弦长公式 |MN|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=12(m2+1)3m2+4 ，又 y
35、P=y12+y22=3m3m2+4 ， xP=-43m2+4 ，|PQ|=1+m2|4-xp|=12m2+203m2+41+m2 ，|PQ|MN|=3m2+531+m2 ，令 t=m2+1 ， t1 ，上式 =3t2+23t=t+23t ，设 f(x)=x+23x ，则 f(x) 在 1,+) 上是增函数，所以 t=1 取得最小值 53 .则 |PQ|MN| 的最小值是 53 .【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 (1)由椭圆C过点E(1,32) ，得 1a2+94b2=1， 直线A1E ， A2E的斜率的乘积为-34 ， 解得a2=4 ， b2=3 ，可得椭圆
36、C的方程； (2)由(1)可知F(1,0)， 设其方程为x=my-1 ， 设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得|MN|,由中点坐标公式可得 yP=y12+y22=3m3m2+4 ， xP=-43m2+4 进而可得|PQ|,再计算 |PQ|MN|即可得出答案. 22.已知函数 f(x)=(x2-x)lnx ， x12 . （1）求函数 f(x) 的单调区间； （2）存在 x012 ，使得 (x03-x02)lnx0ax0-(x0-1)2-ex0 成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】 （1）f(x)=(2x-1)lnx+x-1 ， x12 . 当 x(12,
37、1) 时， 2x-10 ， lnx0 ， (2x-1)lnx0 ，而且 x-10 ，所以 f(x)0 ， lnx0 ， (2x-1)lnx0 ，而且 x-10 ，所以 f(x)0 ， f(x) 单调递增.故 f(x) 在 (12,1) 上单调递减；在 (1,+) 上单调递增；（2）存在 x12 ，使得 (x3-x2)lnxax-(x-1)2-ex 成立， 即存在 x12 ， (x2-x)lnxa-(x-2+1x)-exx ，即存在 x12 ， (x2-x)lnx+x+1x+exxa+2 .设 g(x)=x+1x ， h(x)=exx ，则 F(x)=f(x)+g(x)+h(x)g(x)=1-1
38、x2 ，所以 g(x) 在 (12,1) 上单调递减，在 (1,+) 上递增，h(x)=xex-exx2=ex(x-1)x2 ，所以 h(x) 也在 (12,1) 上单调递减，在 (1,+) 上递增，结合本题第（1）问， f(x) 也在 (12,1) 上单调递减，在 (1,+) 上递增，则函数 F(x)=f(x)+g(x)+h(x)=(x2-x)lnx+x+1x+exx在 (12,1) 上单调递减，在 (1,+) 上递增，所以 F(x)F(x)=2+e ，所以只需 2+ea+2 ，即 ae .【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为存在 x012 ，使得 (x2-x)lnx+x+1x+exxa+2成立， 设g(x)=x+1x ， h(x)=exx ， 求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的取值范围即可.
