1、理科数学试卷 第 1 页（共 6 页）理科数学试卷 第 2 页（共 6 页）理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：（共 60 分）1已知集合 2,1,0,1,2A=，|(1)(2)0Bxxx=+，则 AB=A 1,0 B0,1 C 1,0,1 D0,1,2 2若 a 为实数，且(2)(2)4ai aii+=，则 a=A-1 B0 C1 D2 3.已知向量(1,)(3,2)amb=，=，且()abb+，则 m=（A）8 （B）6 （C）6 （D）8
2、 4已知等比数列na满足 a1=3，a1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=A21 B42 C63 D84 5双曲线22221(0,0)xyabab=的离心率为3，则其渐近线方程为 A2yx=B3yx=C22yx=D32yx=6在ABC中，5cos 25C=，1BC=，5AC=，则 AB=A 4 2 B30 C29 D 2 5 7.若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A.()26kxk=Z B.()26kxk=+Z C.()212Zkxk=D.()212Zkxk=+8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想
3、是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A 112 B 114 C 115 D 118 9在长方体1111ABCDABC D中，1ABBC=，13AA=，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A 15 B56 C55 D22 10.若3cos 45=，则sin 2=A.725 B.15 C.15 D.725 11.已知1F，2F 是双曲线 E：22221xyab=的左，右焦点，点 M 在 E 上，1MF 与 x 轴垂直，sin2113MF F=,则 E 的离心率为 A.2 B.32 C.3
4、 D.2 12已知()f x 是定义域为(,)+的奇函数，满足(1)(1)fxfx=+若(1)2f=，则(1)(2)(3)(50)ffff+=A 50 B0 C2 D50 二、填空题（共 20 分）13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D=14曲线2ln(1)yx=+在点(0,0)处的切线方程为_ 15若,x y 满足约束条件250,230,50,xyxyx+则 zxy=+的最大值为_ 16.等差数列 na的前n 项和为nS，33a=，410S=，则11nkkS=三、解答题(共 70 分)理科数学试卷 第 3 页（共 6
5、页）理科数学试卷 第 4 页（共 6 页）17（本小题满分 12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足2a=，cos(2)cosaBcbA=（1）求角 A 的大小；（2）求 ABC 周长的最大值 18（本小题满分 12 分）已知四棱锥 SABCD中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD=，5,7SASDSB=，点 E 是棱 AD 的中点，点 F 在棱 SC 上，且 SFSC=，SA/平面 BEF （）求实数 的值；（）求二面角 SBEF的余弦值 19（本小题满分 12 分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结
6、果如图 1 所示 图 1 更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知识测试得分 x 和创新能力得分 y，所得数据如下表所示 x 31 33 35 38 39 42 45 45 47 49 52 54 57 57 60 y 6 6 7 9 9 9 10 12 12 12 13 15 16 18 19 x 63 65 65 68 71 71 73 75 77 80 80 80 83 83 84 y 21 24 25 27 31 33 36 40 42 44 46 49 51 57 54 x 84 85 86 87 90 90 91 92 93 95 y 59
7、 62 64 68 71 75 80 88 83 90 根据这些数据，可以作成图 2 所示的散点图 图 2（1）通过计算说明，能否有 95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关 附：（2）从测试结果为“优秀”的青少年中，随机抽取 2 人，用 X 表示抽得的人中，知识测试得分和创新能力得分都超过 70 分的人数，求(1)P X=（3）根据前述表格中的数据，可以计算出 y 关于 x 的回归方程为 1.2747.92yx=：根据回归方程计算：当50,70 x时，y 的取值范围 在图 2 中作出回归直线方程，并尝试给出描述 y 与 x 关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）241
8、63224010203040良好优秀男女01020304050607080901000 10203040506070809010022(),()()()()n adbcKab cd ac bd=+2()0.0500.0100.001.3.8416.63510.828P KkkFEDCBAS理科数学试卷 第 5 页（共 6 页）理科数学试卷 第 6 页（共 6 页）20.（本小题满分 12 分）已知(2,0)A，(2,0)B，点C 是动点，且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为34.（1）求动点C 的轨迹方程；（2）设直线l 与（）中轨迹相切于点 P，与直线4x=相交于点Q，且(1,0)F，求
9、证：90PFQ=.21.（本小题满分 12 分）已知函数()baxxxexfx+=2，曲线()xfy=在点()()0,0 f处的切线方程为 0324=yx (1)求ba,的值；(2)证明:()xxfln.22【选修 44：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为31212xtyt=(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为4cos=(I)求直线l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；(II)设点()1,0P，直线l 与曲线 C 相交于 A，B，求 11PAPB+的值.23选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)已知函数()123f xx
10、x=+(I)解关于 x 的不等式()4f x；(II)若()20f xmm恒成立，求实数m 的取值范围 理科数学试卷 第 1 页（共 8 页）理科数学试卷 第 2 页（共 8 页）zyxFEDCBASG包钢四中最后一次模拟考试参考答案：1.A 2.B 3.D 4.B 5A 6A 7.B 8C 9C 10.D 11.A 12.C 13.1.96 14 159 16.112,1ninnnNSn=+三、解答题 17（1）解法 1：由已知，得 coscos2 cosaBbAcA+=由正弦定理，得sincossincos2sincosABBACA+=1 分即sin()2sincosABCA+=2 分 s
11、in2sincosCCA=4 分因为sin0C，所以1cos2A=5 分因为0A ，所以3A=6 分解法 2：由已知根据余弦定理，得()222222222acbbcaacbacbc+=1 分即222bcabc+=3 分所以2221cos22bcaAbc+=5 分因为0A ，所以3A=6 分（2）解法 1：由余弦定理2222cosabcbcA=+，得224bcbc+=+，7 分即2()34bcbc+=+8 分因为22bcbc+，9 分所以223()()44bcbc+即4bc+（当且仅当2bc=时等号成立）11 分所以6abc+故 ABC 周长abc+的最大值为6 12 分解法 2：因为2sins
12、insinabcRABC=，且2a=，3A=，所以4 3 sin3bB=，4 3 sin3cC=8 分所以()4 32sinsin3abcBC+=+4 322sinsin33BB=+9 分24sin6B=+10 分因为203B，所以当3B=时，abc+取得最大值6 故 ABC 周长abc+的最大值为6 12 分 18【解析】（）连接 AC，设 ACBEG=，则平面 SAC平面 EFBFG=，/SA平面 EFB，/SAFG，GEAGBC，12AGAEGCBC=，1123SFAGSFSCFCGC=，13=；（）5,2SASDSEAD SE=，又2,60ABADBAD=，3BE=222SEBESB+
13、=，SEBE，SE平面 ABCD，以,EA EB ES 所 在 直 线 分 别 为 x 轴，y 轴，z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则(1,0,0),(0,3,0),(0,0,2)ABS，平面SEB 的法向量(1,0,0)mEA=，设平面 EFB 的法向量(,)nx y z=，则(,)(0,3,0)00nEBx y zy=，2yx=理科数学试卷 第 3 页（共 8 页）理科数学试卷 第 4 页（共 8 页）(,)(1,0,2)02nGFnASx y zxz=，令1z=，得(2,0,1)n=，2 5cos,5|m nm nmn=，即所求二面角的余弦值是 2 55（12 分）19（12
14、 分）（1）由题意可知 22(2432 1624)(24 24 16 32)(2432)(1624)(24 16)(3224)+=+960.0781 225=2 分 又因为1 95%5%=，而且查表可得 2(3.841)0.05P =，因为0.0783.841，因此没有 95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关 3 分（2）因为测试结果为“优秀”的青少年共有 40 人，且知识测试得分和创新能力得分都超过 70 分的人只有 6 人，因此 11346240C C17(1)C65P X=6 分（3）1 因 为 1.27 5047.9215.58=，1.27 7047.9240.98=，所 以 y
15、的 取 值 范 围 是15.58 40.98,9 分 2图如下描述 y 与 x 关系的更好的方案之一是：借助非线性函数进行描述 12 分 20.解：（1）设(,)C x y，则依题意得34ACBCkk=，又(2,0)A，(2,0)B，所以有 3(0)224yyyxx=+，整理得221(0)43xyy+=，即为所求轨迹方程.5 分 （2）设直线l：ykxm=+，与223412xy+=联立得 2234()12xkxm+=，即222(3 4)84120kxkmxm+=，依题意222(8)4(3 4)(412)0kmkm=+=，即2234km+=，8 分 122834kmxxk+=+，得122434k
16、mxxk=+，2243(,)3434kmmPkk+，而2234km+=，得43(,)kPmm，又(4,4)Qkm+，10 分 又(1,0)F，则43(1,)(3,4)0kFP FQkmmm=+=.知 FPFQ，即90PFQ=.理科数学试卷 第 5 页（共 8 页）理科数学试卷 第 6 页（共 8 页）21.（1）解：()()axexxfx+=21，由题意有()()=+=230210bfaf，解得23,1=ba 4 分（2）证明：（方法一）由（1）知，()232+=xxxexfx.设()xxxxexhxln2+=则只需证明()23xh()()xxexxhx1121+=()+=xexx121，设(
17、)xexgx12+=则()012+=xexgx，()xg在()+,0上单调递增 0424141+=eg，0323131+=eg31,410 x，使得0 x001g(x)e20 x=+=7 分 且当()0,0 xx时，()0 xg，当()+,0 xx时，()0 xg 当()0,0 xx时，()0 xh，()xh单调递减 当()+,0 xx时，()0 xh，()xh单调递增 8 分()()=0minxhxh00200ln0 xxxexx+，由01200=+xex，得2100=xex，()+=21000 xxxh0020ln xxx+0020ln1xxx+=，10 分 设()xxxxln12+=，3
18、1,41x，()xxx112=()()xxx112+=当31,41x时，()0 x，()x在31,41单调递减，()()=00 xxh23131=+31ln131233ln97+=，因此()23xh 12 分（方法二）先证当0 x时，()232+=xxxexfx232 x，即证02+xxxex 设()xxxexgx+=2，0 x则()()121+=xexxgx，且()00=g()()022+=xexxg，()xg在)+,0单调递增，()()00=gxg()xg在)+,0单调递增，则当时，8 分（也可直接分析02+xxxex01+xex显然成立）再证xxln232 设()xxxhln232=，则()xxxxh1212=，令()0=xh，得21=x 且当21,0 x时，()0 xh，()xh单调递减；当+,21x时，()0 xh，()xh单调递增.()xxxhln232=02ln2121+=h，即xxln232 又()232232+=xxxxexfx，()xxfln12 分 0 x()()002=+=gxxxexgx232232+xxxxex理科数学试卷 第 7 页（共 8 页）理科数学试卷 第 8 页（共 8 页）法三：要证不等式等价于xln x3ex1x2x+令xF(x)ex1=+，ln x3G(x)x2x=+，分别求最值.
