1、A10.平面向量基础一、基础知识1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数量.2.向量的基本运算.平行四边形法则,三角形法则.3.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使得我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.二、典型例题与基本方法1.利用三角形法则或平行四边形法则求作向量的和(1)如图,已知向量,求作向量+. (2)若,求的取值范围.2.化简 3.已知正方形的边长为1,则等于 4.设是平面内的四个点,.证明：若,则三点共线,反之亦然.5.已知向量,若,则 6.为基底向量,已知
2、向量若三点共线,则的值是 7.如图,四边形是边长为1的正方形,延长至,使得.动点从点出发,按 沿梯形运动一周回到点,.则的取值范围为 8.已知直角梯形中,是腰上的动点,则的最小值为 9.在平面直角坐标系中,为原点,动点满足,则的最大值是 10.给定两个长度为的平面向量和,它们的夹角为点在以为圆心的圆弧上变动.若,其中,则的最大值是 11.平行四边形中,是平行四边形内一点,且若,则的最大值为 12.中,设,且,点为与的交点,将表示成,的线性组合.13.已知是的外心,若求的取值范围.B10.练习 姓名： 1.(1)已知向量,求作.(2)若.求的最大值和最小值.2.若为的外心,且,则的内角等于 3.
3、已知向量,若与平行,则 4.设向量试用表示则 5.已知平面向量,且,则 6.在扇形中,为弧上的一个动点.若,则的取值范围是 7.已知点是内一点,若则的面积与的面积的比值 8.如图,正方形中,是的中点,若,求的值.A10.平面向量基础一、基础知识1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数量.2.向量的基本运算.平行四边形法则,三角形法则.3.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使得我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.二、典型例题与基本方法1.利用三角形法则或平行四边形法则求作
4、向量的和(1)如图,已知向量,求作向量+. (2)若,求的取值范围.解：(1)法1如图,在平面内任取一点,作,.由向量加法的平行四边形法则得.法2如图,在平面内任取一点,作,则有向量加法的三角形法则有.(2)由向量加法的几何意义(即三角形法则)知：,故,所以的取值范围是.当共线同向时取得最大值7,当共线反向时取得最小值1.2.化简 解：法1法23.已知正方形的边长为1,则等于 解：4.设是平面内的四个点,.证明：若,则三点共线,反之亦然.证明：若,由及得,所以三点共线.若三点共线,则存在非零常数使得即,令,知.当三点共线时.5.已知向量,若,则 解：56.为基底向量,已知向量若三点共线,则的值
5、是 解：27.如图,四边形是边长为1的正方形,延长至,使得.动点从点出发,按 沿梯形运动一周回到点,.则的取值范围为 解：设若在线段上,则若在线段上,则所以于是若在线段上,则所以于是若在线段上,则于是所以的取值范围为8.已知直角梯形中,是腰上的动点,则的最小值为 解：59.在平面直角坐标系中,为原点,动点满足,则的最大值是 解：10.给定两个长度为的平面向量和,它们的夹角为点在以为圆心的圆弧上变动.若,其中,则的最大值是 解：设交与.则设于是所以则的最大值是11.平行四边形中,是平行四边形内一点,且若,则的最大值为 解：212.中,设,且,点为与的交点,若表示成,的线性组合.解：设,则,所以且,从而,所以.13.已知是的外心,若求的取值范围.解：在优弧上,数形结合知道的取值范围为B10.练习 姓名： 1.(1)已知向量,求作.(2)若.求的最大值和最小值.解：(1)略 (2) 4,6.2.若为的外心,且,则的内角等于 解：.3. 已知向量,若与平行,则 解：,又,则.4.设向量试用表示则 解：设则得解得则5.已知平面向量,且,则 解：56.在扇形中,为弧上的一个动点.若,则的取值范围是 解：7.已知点是内一点,若则的面积与的面积的比值 解：8.如图,正方形中,是的中点,若,求的值.解：；所以 所以由平面向量基本定理得.
