1、成都外国语学校高2024届2022-2023学年度12月月考理科数学一单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.【详解】改量词：改为，否结论：否定为，所以，的否定形式为：，.故选：A.2. 同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）A. 至少有1枚正面和最多有1枚正面B. 最多1枚正面和恰有2枚正面C. 至多1枚正面和至少有2枚正面D. 至少有2枚正面和恰有1枚正面【答案】C【解析】【分析】分别列举
2、出至少有1枚正面和最多有1枚正面，最多1枚正面和恰有2枚正面，至多1枚正面和至少有2枚正面以及至少有2枚正面和恰有1枚正面的情况，利用定义排除可得选项【详解】同时掷3枚硬币，至少有1枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，最多有1枚正面包括一正两反，三反，两种情况，故A不正确，最多有1枚正面包括一正两反，三反与恰有2枚正面是互斥的但不是对立事件，故B不正确，至多1枚正面一正两反，三反，至少有2枚正面包括2正和三正，故C正确，至少有2枚正面包括2正和三正，与恰有1枚正面是互斥事件，故D不正确，故选：C【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的定义，考查列举法的应用，属于基础题3. 已知双曲线的离
3、心率，且其虚轴长为8，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意建立的方程，求出即可得到结果【详解】根据题意得到：，得，故方程为：故选：D【点睛】方法点睛：求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用4. 已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【答案】D【解析】【分析】根据条形统计图可分别计算出甲、乙的平均数、中
4、位数、极差，从而判断出的正误；根据成绩的分散程度可判断的正误.【详解】甲的成绩的平均数为：乙的成绩的平均数为：甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故正确；甲的成绩的中位数为：；乙的成绩的中位数为：甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故正确；由条形统计图得甲成绩相对分散，乙的成绩相对稳定，甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故正确；甲的成绩的极差为：；乙的成绩的极差为：甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故不正确本题正确选项：【点睛】本题考查根据条形统计图判断平均数、中位数、极差和方差的问题，属于基础题.5. 已知的三个顶点分别为，则边上的中线长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
5、【分析】求得的中点坐标，利用两点间的距离公式即可求得答案.【详解】由题意，可得的中点坐标为，所以边上的中线长为，故选：B.6. 现从某学校名同学中用随机数表法随机抽取人参加一项活动.将这名同学编号为、，要求从下表第行第列的数字开始向右读，则第个被抽到的编号为（ ）16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95
6、 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用随机数表法列举出样本的前个个体的编号，即可得解.【详解】从随机数表第2行第5列开始，从左到右依次选取三个数字，去掉其中重复及大于450的数，样本的前个个体的编号依次为、.故选：B.7. 已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】当m=1时，两直线方程
7、分别为直线l1：x+y1=0，l2：x+y2=0满足l1l2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y1=0，和2x2=0，不满足条件当m0时，则l1l2，由得m23m+2=0得m=1或m=2，由得m2，则m=1，即“m=1”是“l1l2”充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.8. 已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，
8、【答案】C【解析】【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.【详解】由题知，所以，的平均数为，的方差分别.故选：C.9. 柜子里有红，白，黑三双不同的手套，从中随机选2只，则取出的手套成双的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用组合求出所有的情况数及符合要求的情况数，再利用古典概型求解即可.【详解】任取两只手套有种方法，若两只手套成双,有种方法，则取出的手套成双的概率为故选：B.10. 已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切,且时,线段长度
9、最小,然后求即可.【详解】由圆得圆心,半径.因为直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆包含圆.当长度最小时,两圆内切,设中点为,则此时,所以.故选：A11. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x、y点，则甲先到乙不需要等待须
10、满足 ，乙先到甲不需要等待须满足，作出不等式组 表示的可行域如图（阴影部分）：正方形的面积为 ，阴影部分面积为 ，故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率 ，故选：B12. 是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定与的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.【详解】由得，以、为一组邻边的平行四边形的以点M为起点的对角线对应的向量与共线，由知，平分，因此这个平行四边形是菱形，有，又，于是得，令椭圆的半焦距为c，在中，由余弦定理得：，即，则有，解得，所以椭圆的离心率
11、为.故选：D二填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 2020年是新冠疫苗接种高峰期，接种重点人群是年龄在18-59岁的健康人员.某单位300名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取30名职工作为样本了解新冠疫苗的接种情况，则40岁以下年龄段应抽取_人.【答案】15【解析】【分析】根据扇形统计图得到40岁以下年龄段所占比例，从而得到应抽取的人数.【详解】从扇形统计图可看出40岁以下年龄段所占比例为，故从中抽取30名职工作为样本，40岁以下年龄段应抽取人数为.故答案为：1514. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则实数的值是_【答案】4【解析】【分析】由抛物线定义及点M到焦
12、点的距离求得p，把点M代入抛物线方程即可求.【详解】抛物线准线方程为，由抛物线定义知，解得.把代入得.故答案为：4.15. 已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】化简直线为，得出直线过定点， 根据点的长度，进而求得点到直线的距离的取值范围.【详解】把直线化为，联立方程组，解得，即直线过定点，又由，且，所以直线与不垂直，所以点到直线的距离的最大值为，即点到直线的距离的取值范围为故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及两点间的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.16. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得阿基米德被称为亚历山大时
13、期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点AB的距离之比为(0，1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：x2+y2=1和点，点B(4，2)，M为圆O上的动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_【答案】【解析】【分析】设M(x，y)，令2|MA|=|MC|，根据圆x2+y2=1是关于点AC的阿波罗尼斯圆，且，求得点C坐标，再连接BC，由直线段最短求解.整理得：【详解】设M(x，y)，令2|MA|=|MC|，则，由题知圆x2+y2=1是关于点AC的阿波罗尼斯圆，且，设点C(m，n)，则，
14、整理得：，比较两方程可得：，即m=-2，n=0，所以点C(-2，0)，如图所示：当点M位于图中M1M2的位置时，2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小为.故答案为：三解答题：本大题共6个小题，第一题10分，其余各题12分17. 已知命题方程：表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】求出当命题为真命题时的取值范围，以及当命题为真命题时的取值范围，分析可知、中一真一假，分真假、假真两种情况讨论，综合可得出实数的取值范围.【详解】解：若命题为真命题，则，解得；若命题为真命题，则，解得.因为“”为假命题，“”为真命题
15、，则、中一真一假，若真假，则，则；若假真，则，可得.综上所述，实数的取值范围是.18. 双曲线的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线方程；（2）过点的直线与双曲线交于异支两点，求点的轨迹方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用渐近线方程以及焦点到直线的距离即可求解.（2）首先设出直线方程，与椭圆联立后，设出，利用向量的坐标运算以及韦达定理即可求解轨迹方程，最后确定好范围即可.【小问1详解】由渐近线为知，又焦点到渐近线的距离为，即到直线的距离，所以，联立，解得，则双曲线方程为.【小问2详解】因为直线与双曲线交于异支两点，所以直线的斜率必存在，且经过点，可设直线，
16、与双曲线联立得：，设，则有解得，由知，两式相除得，即代入得，又，所以，所以点的轨迹方程为.19. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得其频率分布直方图如图所示.（1）估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小
17、于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？【答案】（1）720人 （2） （3）该校需要增加初中学生课外阅读时间.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可得阅读时间在小时内的频率，进而可求人数，（2）根据分层抽样的抽样比计算抽取的初高中生的人数，进而根据列举法求解个数，由古典概型的概率计算公式即可求解,（3）根据频率分布直方图计算阅读的平均数，即可求解.【小问1详解】初中生中，阅读时间在小时内的频率为，所有的初中生中，阅读时间在小时内的学生约有人；同理，高中生中，阅读时间在小时内的频率为，学生人数约有人，该校所有学生中，阅读时间在小
18、时内的学生人数约有人.【小问2详解】由分层抽样知，抽取的初中生有名，高中生有名，记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名初中生”为事件，初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人；高中生中，阅读时间不足10个小时学生频率为，样本人数为人.记这3名初中生为、，这2名高中生为、，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种，即：，；而事件的结果有7种，它们是：，；至少抽到名初中生的概率为；【小问3详解】60天内，初中生平均每人阅读时间为（小时），国家标准下60天内初中生每人需阅读（小时），因为，该校需要增加初中学生课外阅读时间.
19、20. 现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如表所示：月份12345678物流成本8383.58086.58984.57986.5利润114116106122132114132根据最小二乘法公式求得线性回归方程为.（1）若9月份物流成本是90万元，预测9月份利润；（2）经再次核实后发现8月份真正利润应该为116万元，重新预测9月份的利润.附：，.，.【答案】（1）136.2万元 （2）131.2万元【解析】【分析】(1)直接利用回归方程预测求解；(2)根据题意，结合已知数据利用最小二乘法公式求解即可.【小问
20、1详解】9月份利润：万元.【小问2详解】由已知数据可得：，因为点在回归直线上，所以，所以,因为8月份的真正利润应该为116万元，此时，又，所以，所以数据核实后的新的线性回归方程为，令，得万元.所以重新预测9月份的利润为万元.21. 已知抛物线C：焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点（1）求p的值；（2）是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由【答案】（1） （2）存在；，【解析】【分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A的坐标带入抛物线的方程即可求出结果；（2）设出直线的方程与抛物线联立，进
21、而结合根与系数的关系得到的表达式，从而可得，因此解方程组即可求出结果.【小问1详解】因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得【小问2详解】设，可知直线l斜率存在；设l：，联立方程得：，所以，所以，又：，令，解之得：，即，此时【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式22. 已知椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点.（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）记与的面积分别为，求的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意分别计算的坐标，进而根据的直线方程可得，进而可得直线的方程；（2）设，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，进而可得，令，再根据基本不等式求最大值即可.【小问1详解】由题意可得，当垂直于x轴时，则的纵坐标为，所以，直线的方程为：，联立，解得或，则，直线的方程为，即；【小问2详解】设，设直线的方程为，其中，联立，消去x并整理可得，由韦达定理可得，又，则，同理可得.，令，当且仅当，即时取等号.最大值为.
