1、第12讲圆锥曲线的定义、方程、几何性质题型1圆锥曲线的定义、标准方程(对应学生用书第40页)核心知识储备圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M.典题试解寻法【典题1】(考查圆锥曲线标准方程的求解)设双曲线与椭圆1相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是()A.1B1C.1D1思路分析依据已知条件，得出双曲线的焦点坐标和双曲线过点(，4)，利用定义法、待定系数法或共焦点曲线系方程求解即可解析法一：(定义法)椭圆1的焦点坐
2、标分别是(0,3)，(0，3)根据双曲线的定义知，2a|4，解得a2，又b2c2a25，所以所求双曲线的标准方程为1.故选A.法二：(待定系数法)椭圆1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，3)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则a2b29.又点(，4)在双曲线上，所以1.由解得a24，b25.故所求双曲线的标准方程为1.故选A.法三：(共焦点的曲线系方程)设双曲线的方程为1(2736)，由于双曲线过点(，4)，故1，解得32或0(舍去)故所求双曲线的标准方程为1.故选A.答案A【典题2】(考圆锥曲线定义的应用)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的
3、一个交点，若4，则|QF|()【导学号：07804086】A.B3C. D2解析如图所示，因为4，所以，过点Q作QMl垂足为M，则MQx轴，所以，所以|MQ|3，由抛物线定义知|QF|QM|3.答案B【典题3】(考查圆锥曲线的轨迹问题)(2017福建泉州二模)在ABC中，O是BC的中点，|BC|3，ABC的周长为63，若点T在线段AO上，且|AT|2|TO|，建立合适的平面直角坐标系，求点T的轨迹E的方程解以O为坐标原点，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.依题意，得B，C.由|AB|AC|BC|63，得|AB|AC|6，故|AB|AC|6|BC|，所以A的轨迹是以B
4、，C为焦点，长轴长为6的椭圆(除去长轴端点)所以点A的轨迹方程为1(x3)设A(x0，y0)，T(x，y)，依题意，所以(x，y)(x0，y0)，即代入A的轨迹方程1(x3)，得1(x1)，所以点T的轨迹E的方程为x22y21(x1)类题通法1.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0).2.转化法利用抛物线的定义，
5、将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.对点即时训练1已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若AOB的面积为，则抛物线的准线方程为()Ax2Bx2Cx1Dx1D因为e2，所以c2a，ba，双曲线的渐近线方程为yx.又抛物线的准线方程为x，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A，B，在AOB中，|AB|p，点O到AB的距离为，所以p，所以p2，所以抛物线的准线方程为x1，故选D.2设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|的值为() 【导学号：07804087】A8B10C12D1
6、5D因为P是椭圆1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，所以|PF1|PF2|8，|F1F2|4.因为9，所以|cosF1PF29.因为|2|2|22|cosF1PF2(|)22|2|cosF1PF2，所以642|1816.所以|15.故选D.题型强化集训(见专题限时集训T1、T2、T8、T9、T10、T11、T13)题型2圆锥曲线的几何性质(对应学生用书第41页)核心知识储备1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系典题试解寻法【典
7、题1】(考查椭圆、双曲线的几何性质)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆1(ab0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为()A.BC.D思路分析1(ab0)双曲线的方程双曲线的渐近线椭圆的离心率解析设椭圆的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，则由题意可知双曲线的方程为1，其渐近线方程为yx.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以由椭圆的对称性可知，渐近线的方程为yx，即bc，所以ac，故椭圆的离心率e，故选C.答案C【典题2】(考查抛物线的几何性质)已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点
8、的连线交C1于点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p() 【导学号：07804088】A.BC.D思路分析先由抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标得出直线方程，再对抛物线方程求导，设点M的坐标为(x0，y0)，代入即可求得过点M的切线方程的斜率，结合C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线以及点M在抛物线上可得点M的坐标，把点M的坐标代入直线方程，求解即可解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为1.易知双曲线的渐近线方程为 yx.对函数yx2求导，得yx.设M(x0，y0)，则x0，即x0p，代入抛物线方程得y0p，即M.由于点M
9、在直线1上，所以p1，解得p.故选C.答案C类题通法确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.提醒：求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到.对点即时训练1已知椭圆1(ab0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是()A.BC.DD设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则即所以(x1x2
10、)(xx)，所以x1x2.又ax1a，ax2a，x1x2，所以2ax1x22a，则2a，即，所以e2.又0e1，所以e1.2已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为的直线l过F2且与双曲线交于M，N两点，且F1MN是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为_yx由题意知，F2(c,0)，c，设M(c，yM)，由1得yb2，|yM|.因为F1MN是等边三角形，所以2c|yM|，即，即c2a2ac0，得，c23a2，又a2b2c2，所以b22a2，双曲线的渐近线方程为yx，故双曲线的渐近线方程为yx.题型强化集训(见专题限时集训T3、T4、T5、T6、T7、T12、T14)三年真
11、题| 验收复习效果(对应学生用书第42页)1(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1B.1C.1D1B由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.2(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)A若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且nm2，此时n不存在故选A.3(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交
12、C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()【导学号：07804089】A2B4C6D8B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.4(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A.BC.DA由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上
13、，y1，即x22y，22y3y0，y0.故选A.5(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.BC.DA由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A.6(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.6如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.
