1、叙州区二中2023年春期高一期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数(是虚数单位)，则复数的共轭复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，然后再求出其共轭复数在复平面内对应的点的坐标判断即可.【详解】，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，考查逻辑思维
2、能力和计算能力，属于常考题.2. 某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛，若得到的样本中高二的学生数量比高一多人、比高三少人，且全校高一、高三学生数之比为，则样本容量为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题可设样本中高二的学生数量为，然后根据全校高一、高三学生数之比为得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】设样本中高二的学生数量为，则样本中高一的学生数量为，样本中高三的学生数量为，因为全校高一、高三学生数之比为，所以，解得，则样本容量为，故选：D.3. 是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，
3、在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位：)的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）A. 从这10天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是B. 从5日到9日，日均值逐渐降低C. 这10天中日均值的平均数是49.3D. 这10天的日均值的中位数是【答案】D【解析】【分析】借助于图表数据，对A、B、C、D一一验证即可.对于A：用古典概型计算公式进行计算；对于B：从折线图直接看出；对于C：直接计算平均值即可；对于D：直接求出中位数；【详解】对于A：从图表可以看出，“空气质量为一级”的有：3日、8日、9日、10日，故概率,故A正确；对于B：
4、从5日到9日，折线图逐日下降，故日均值逐渐降低，故B正确；对于C：这10天中日均值的平均数是，故C正确；对于D：这10天的数据从小到大依次为：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82，故中位数为，故D错误；故选：D4. 给定数据：10，12，17，25，50，75，则其第30百分位数第50百分位数分别为（ ）A. 11，17B. 11，21C. 12，17D. 12，21【答案】D【解析】【分析】利用百分位数的定义求解【详解】解：因为，所以第30百分位数12第50百分位数，故选：D5. 在中,若，则A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】依题意，由正弦定理即可求
5、得得值.【详解】由正弦定理得，.故选B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，属于基础题6. 已知中，分别是，的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形法则求解即可.【详解】依题意，故故选A【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.7. 若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义结合正弦的二倍角公式计算即可【详解】由题意，故选：C.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函
6、数定义是解题关键8. 在中，角所对的边分别为，已知下列条件，只有一个解的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】首先根据正弦定理得到，比较与的大小关系即可判定A，B错误，再根据大边对大角即可判定C错误，根据勾股定理即可判定D正确.【详解】对于A，因为，所以，有两个解，故A错误.对于B，因为，所以，无解，故B错误.对于C，因为，所以，即，所以无解，故C错误.对于D，为直角三角形，故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理判断为解题的关键，属于简单题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得
7、5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法错误的是（ ）A. 零向量没有方向B. 共线向量是同一条直线上的向量C. 若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据零向量和共线向量的定义即可判断A,B，由共线定理可判断C，根据向量数量积的性质即可判断D.【详解】对A,零向量的方向规定为任意方向，故错误，对B,共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误，对C,根据共线定理可知，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误，对D，故正确，故选：ABC10. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中
8、随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）A. B. 事件B与事件相互独立C. 事件B与事件相互独立D. ，互斥【答案】AD【解析】【分析】先画出树状图，然后求得， ，的值，得A正确；利用 判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确.【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此，A正确；又，因此，B错误；同理可以求得，C错误；，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科
9、素养，属基础题.11. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）A. 在区间上单调递增B. 是的一个周期C. 的值域为D. 的图象关于轴对称【答案】CD【解析】【分析】代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为，所以，所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；对于B：，所以不是的一个周期，故B错误；对于C：，所以的周期为，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上：的值域为，故C正确；对于
10、D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，故选：CD【点睛】解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.12. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）A. 的取值范围是B. 点经过的外心C. 点所在轨迹的长度为2D. 的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.【详解】由，又斜边，则，则，A正确；若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是
11、的外心，B正确，C错误；由上，则，又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.第II卷 非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出【详解】数据的平均数为，方差为，所以，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是故答案为：14. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得
12、山顶P的仰角为，则山高_m.（结果用d、表示）【答案】【解析】【分析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得【详解】设山高，则，延长交于，如图，则，因此，中由正弦定理得，所以，故答案为：15. 的值_.【答案】1【解析】【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.【详解】解： .故答案为:1.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.16. 已知点P为的内心，若，则_【答案】【解析】【分析】根据余弦定理可求,进而根据切线长定理可求，进而根据数量积的运算以及几何意义即可
13、求解.【详解】在，由余弦定理得,设分别是边上的切点，设，则，所以，由得，即，同理由,联立以及即可解得：，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在三角形中，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P（1）将向量用向量表示；（2）若，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据垂直关系，建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算以及共线的坐标运算，即可求解，（2）用基地向量表示,根据数量积的运算即可求解.【小问1详解】由，以分别为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，设，故，进而,因为,所以得：，解得，故，由,故【小问2详解】由（1）
14、知，又,故18. 某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，的组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值；（2）估计这组数据的平均数；（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.【答案】（1） （2）77 （3）【解析】【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图得，解得，所以图中值是0.020.小问2详解】由频率分布直方
15、图得这组数据的平均数：，所以这组数据的平均数为77.【小问3详解】数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，记名男生分别为，名女生分别为，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：，共个不同结果，它们等可能，其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，所以人中恰有名女生的概率为为.19. 在中，设角，的对边分别为，已知向量，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出【小问1详解】由可得，所以，而，所以
16、【小问2详解】由得，而，即，解得，所以，故的面积为20. 如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点F为侧棱上一点（1）若，求证：平面；（2）若，求证：平面平面【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1），的交点为O，连接，由菱形及中位线性质有，再由线面平行的判定可证结论；（2）由题意及线面垂直的性质有、，再由线面垂直的判定和性质得，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.【小问1详解】设，的交点为O，连接，因为底面为菱形，且O为中点，所以，又平面，平面，故平面【小问2详解】因为底面为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又
17、平面，故平面平面.21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求B；（2）已知，D为边上的一点，若，求的长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；（2）由余弦定理求得，再用正弦定理计算【小问1详解】，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以【小问2详解】因为，根据余弦定理得，在中，由正弦定理知，22. 在四棱锥中，平面 平面 ，底面为梯形，且，（1）求证：；（2）求二面角_的余弦值；从 ， ， 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答（3）若 是棱 的中点，求证：对于棱 上任意一点 ， 与
18、 都不平行【答案】（1）证明见解析； （2）答案见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可证线线垂直.（2）根据二面角的几何求法，先利用面面垂直，得线面垂直，进而可找到二面角的平面角，然后借助三角的边角关系即可求解.（3）根据空间中过一点只能作出一条直线与已知直线平行，即可求解.【小问1详解】证明：平面 平面平面平面，平面，,平面 ，又平面 ， 【小问2详解】若选，过点作 交 的延长线于点 平面 平面，平面平面，平面 ，平面 ，过 作交 的延长线于点 ， ， ，连接 ， 平面 ，平面， ，平面 ，平面，AB平面POE，又平面POE， ， 就是二面角
19、的平面角由题意得，即二面角的余弦值为若选，过点P作POCD交CD的延长线于点O，连接BD平面PCD平面ABCD，平面平面，平面PCD，PO平面ABCD，过点O作OMBD交BD的延长线于点M，连接PM，PO平面ABCD，平面ABCD，POBD，平面POM，平面POM，BD平面POM，又平面POM，BDPM，PMO为二面角的平面角的补角，易算得，二面角的余弦值为若选，过点P作POCD交CD的延长线于点O平面PCD平面ABCD，平面平面，平面PCD，PO平面ABCD，过点O作OHBC交BC于点H，连接PH，PO平面ABCD，平面ABCD，又，平面POH，平面POH，BC平面POH，又平面POH，BCPH，PHO为二面角的平面角，易算得，二面角的余弦值为【小问3详解】证明：连接AC，取AC的中点K，连接MK，则若棱BC上存在点F，使，则由基本事实4可得，显然矛盾，故对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行
