1、镇江市实验高级中学张强观察下列数列：（1）6，3，0，3，6，9，（2）1，11，21，31，41，（3）1，1，1，1，请同学们仔细观察，看看以上三个数列有什么共同的特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数。我们给具有这种特征的数列一个名字-等差数列定义：如果一个数列从第 _ 项起，每一项与它的 _ _的差等于 _ 一常数 d，这个数列叫做 _，d 为此数列的 _。二前一项同等差数列公差问题1：由数列的前几项（有限项）按定义作差都为同一常数，能否说明此数列为等差数列？不能问题2：公差d一定是由项减项所得。后前问题3：判断数列为等差数列的方法：a n a n 1=d(n
2、 2)或 a n+1 a n=d (n 1)等差数列的通项公式如何求？设等差数列 a n 的公差为 d，则有 a n a n 1=_a 2 a 1=_a 3 a 2=_a 4 a 3=_+)ddddn1个 a n a 1=(n1)d 递推求和法 设等差数列 a n 的公差为 d，则有 a 2=a 1+_da 3=a 2+_=a 1+_ d2da 4=a 3+_=a 1+_ d3da n=a n 1+_=a 1+_d（n-1)d即：a n=a 1+（n-1)d 猜想论证法 等差数列的通项公式：若等差数列 a n 的首项为 a 1，公差为 d，则通项公式为a n=a 1+(n1)d，n N+等差数
3、列中，a n 是 n 的 _，图象特点 _一次函数直线上的一些有规律的点或 a n 是常数函数，公差为 d=_0例1.(1)求等差数列8,5,2,的第20项.(2)401是不是等差数列 5,9,13,的项?如果是,是第几项?解:(1)由a 1=1，公差 d=3,n=20,a20=8+(20 1)(3)=49(2)由a 1=1，公差 d=4,得数列的通项公式为 a n=5 4(n1)由 401=5 4(n1)n=100即 401是这个数列的第 100项例2、在等差数列 a n 中,已知a5=10,a12=31，求a1、d、a20、an.解：a5=10，a12=31，则 a1+4d=10 a1+1
4、1d=31 a1=2d=3an=a1+(n 1)d=3n 5a20=a1+(20 1)d=55例3 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。解：设 a n 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。由已知条件，可知：a 1=33，a 12=110，n=12 a 12=a1+(12 1)d，即10=33+11 d解得d=7因此，a 2=40，a 3=47 答：梯子例4已知数列 a n 的通项公式a n=pn+q，其中 p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定 a n 是不是等差数列，只要看a n a n 1(n 2)是不是一个与n无关的常数。解：当n 2时a n a n 1=pn+q p（n 1）+q=p 这是一个与n无关的常数，所以数列 a n 是等差数列，首项为p+q，公差为p。注：（1）若p=0，则 a n 为公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，（2）若p0，则a n 是关于n的一次函数，图象特点是表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差。（3）数列 a n 为等差数列的充要条件是其通项a n=pn+q（p、q是常数）
