1、镇江市实验高级中学张强观察下列数列:(1)6,3,0,3,6,9,(2)1,11,21,31,41,(3)1,1,1,1,请同学们仔细观察,看看以上三个数列有什么共同的特征?共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数。我们给具有这种特征的数列一个名字-等差数列定义:如果一个数列从第 _ 项起,每一项与它的 _ _的差等于 _ 一常数 d,这个数列叫做 _,d 为此数列的 _。二前一项同等差数列公差问题1:由数列的前几项(有限项)按定义作差都为同一常数,能否说明此数列为等差数列?不能问题2:公差d一定是由项减项所得。后前问题3:判断数列为等差数列的方法:a n a n 1=d(n
2、 2)或 a n+1 a n=d (n 1)等差数列的通项公式如何求?设等差数列 a n 的公差为 d,则有 a n a n 1=_a 2 a 1=_a 3 a 2=_a 4 a 3=_+)ddddn1个 a n a 1=(n1)d 递推求和法 设等差数列 a n 的公差为 d,则有 a 2=a 1+_da 3=a 2+_=a 1+_ d2da 4=a 3+_=a 1+_ d3da n=a n 1+_=a 1+_d(n-1)d即:a n=a 1+(n-1)d 猜想论证法 等差数列的通项公式:若等差数列 a n 的首项为 a 1,公差为 d,则通项公式为a n=a 1+(n1)d,n N+等差数
3、列中,a n 是 n 的 _,图象特点 _一次函数直线上的一些有规律的点或 a n 是常数函数,公差为 d=_0例1.(1)求等差数列8,5,2,的第20项.(2)401是不是等差数列 5,9,13,的项?如果是,是第几项?解:(1)由a 1=1,公差 d=3,n=20,a20=8+(20 1)(3)=49(2)由a 1=1,公差 d=4,得数列的通项公式为 a n=5 4(n1)由 401=5 4(n1)n=100即 401是这个数列的第 100项例2、在等差数列 a n 中,已知a5=10,a12=31,求a1、d、a20、an.解:a5=10,a12=31,则 a1+4d=10 a1+1
4、1d=31 a1=2d=3an=a1+(n 1)d=3n 5a20=a1+(20 1)d=55例3 梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度。解:设 a n 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。由已知条件,可知:a 1=33,a 12=110,n=12 a 12=a1+(12 1)d,即10=33+11 d解得d=7因此,a 2=40,a 3=47 答:梯子例4已知数列 a n 的通项公式a n=pn+q,其中 p、q是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?分析:由等差数列的定义,要判定 a n 是不是等差数列,只要看a n a n 1(n 2)是不是一个与n无关的常数。解:当n 2时a n a n 1=pn+q p(n 1)+q=p 这是一个与n无关的常数,所以数列 a n 是等差数列,首项为p+q,公差为p。注:(1)若p=0,则 a n 为公差为0的等差数列,即为常数列q,q,q,(2)若p0,则a n 是关于n的一次函数,图象特点是表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差。(3)数列 a n 为等差数列的充要条件是其通项a n=pn+q(p、q是常数)