1、 仁寿一中南校区2022级高二下12月阶段性模拟测试第卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1“”是“直线和直线平行”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当时，两直线分别为：，两直线斜率相等，则平行且不重合若两直线平行且不重合，则或，综上所述，是两直线平行的充分不必要条件故选：A2.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（ ）A3.2米B3.4米C4
2、米D3.6米答案:D 【解析】由题意可知，则，由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知米，所以米，米，该椭球的高为米3.圆上的点到直线距离的取值范围是（）.ABCD【答案】A【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，故选：A.4已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（）ABC-4D4【答案】A【解析】设弦与椭圆交于，斜率为，则，相减得到，即，解得.故选：A.5.已知点，则直线，的位置关系是（）A平行B相交C重合D异面【答案】D【解析】因为点，所以，因为不存在实数，使得，所以、不共线，所以直线，不平行，不重合，故
3、选项A、D不正确；假设、三个向量共面，设，则，此方程组无解，可得、三个向量不共面，所以直线，不相交，所以直线，异面，故选：D.6.在平面直角坐标系xOy中，点，若直线：上存在点M，使得，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】设，由，可得，整理得，因为直线：与圆有公共点，所以，即，解得或所以的取值范围为.故选：B.7已知抛物线C：，点M在C上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为，则（）A44B4C4或44D1或4【答案】B【解析】不妨设，由，知设，则，故，故.故选：B8已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的
4、离心率为（）ABCD【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，连接，如图所示，又因为，所以，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，又因为为直角三角形，所以，即：，所以，即.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）ABCD【答案】BCD【解析】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即当直线的截距不为0时，设直线的方程为，则，解得或，当时，可得直线的方程为，即；若时，
5、可得则直线的方程为，即故选：BCD.10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中所有正确的命题是（）A.三棱锥AD1PC的体积是 B.DP平面AB1D1C.平面PB1D与平面ACD1所成的二面角为60D.异面直线A1P与AD1所成角的范围是【答案】AB【解析】对A，三棱锥AD1PC的体积三棱锥CAD1P的体积1，A正确；对B，由正方体的性质与面面平行的判定定理可得：平面DBC1平面AB1D1，DP平面AB1D1，B正确对C由正方体的性质可得：DB1平面ACD1，平面PB1D与平面ACD1所成的二面角为90C不正确；对D：AD1BC1，连接A1C1
6、，A1B，可得A1BC1为等边三角形，可得A1P与BC1所成角的范围是，D不正确故选AB11.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（）A的蒙日圆的方程为B对直线上任意点，C记点到直线的距离为，则的最小值为D若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为【答案】AD【详解】对于A，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，在蒙日圆上，蒙日圆方程为：；由得：，的蒙日圆方程为：，A正确；对于B，由方程知：过，又满足
7、蒙日圆方程，在圆上，过，当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，B错误；对于C，在椭圆上，；当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，又到直线的距离，C错误；对于D，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，矩形的对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为，则，矩形的面积（当且仅当时取等号），即矩形面积的最大值为，D正确.故选：AD.12.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点
8、与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（）AC的准线方程为 BC若点，则 D设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上【答案】AD【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，设直线，联立方程组，整理得，可得，所以，所以B错误；若点，则，所以，所以，所以，所以C错误；又由直线，联立方程组，解得，由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.故选：AD. 第卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答
9、案填在答题卡上13已知双曲线的离心率为2，则 【答案】【解析】由可得，利用离心率为，可得，解得.故答案为：14.如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为 【答案】【解析】在直角梯形中，因为B为OA的中点，所以，连接，易证四边形为矩形，所以，所以为异面直线与所成的角，在直角三角形中，所以；连接OC，在直角三角形OBC中，由，得；在直角三角形中，所以.15. 已知点在曲线上运动，则的最大值为_【答案】【解析】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图， 在上半圆上，表示点与连线的斜率，由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，
10、设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即，因此，解得（由图舍去），所以的最大值为.故答案为：16. 已知斜率为k的直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点满足，则 【答案】5【解析】由题意知，抛物线的准线为，即，得，所以抛物线的方程为，其焦点为.因为直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为.因为，所以M在以AB为直径的圆上.设点，联立方程组两式相减可得.设AB的中点为，则.因为点在直线上，所以，所以点是以AB为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知，圆Q的半径，因为，所以，解得，所以弦长.法二（秒杀解）利用结论（直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，以AB为
11、直径的圆与抛物线C的准线上相切于点M，则）则,丨AB丨=(结论:丨AB丨= x+ x+P=(为直线AB的倾斜角) )四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.已知直线l1：2x+y+30，l2：x2y0(1) 求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程【答案】(1)2xy+30，P（2，1）；(2) 3x+4y+100或x2.【解析】(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，直线l3的方程为2xy+30，由解得P（2
12、，1）(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1k（x+2），即kxy+2k10，原点O（0，0）到直线m距离为，解得，直线m方程为3x+4y+100，当直线m的斜率不存在时，直线x2满足题意，综上直线m的方程为3x+4y+100或x218.（12分）九章算术中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，.（1）设，用，表示；（2）若，求.解：（1）连接，（图略）.因为为的中点，所以所以.（2）因为，所以.因为平面，平面，所以，.又，所以，即.19.在平面直角坐标系内有三个定点，记的外接圆为E.(1)求圆E的方程；(2)若直线与圆E没有公共点，求m的取
13、值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）设圆的方程为：，代入A、B、C三点坐标可得：，解之得，所以圆的方程为：；（2）由（1）知，即圆心，半径为，由题意可知E到的距离或，即.20.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，为的中点，为上的一点，且与平面所成角的正弦值为（1）证明：平面平面；（2）试确定的值，并求出平面与平面所成二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）；平面与平面所成二面角的正弦值为【解析】（1）取中点，连接，为中点，；，；四边形为菱形，为等边三角形，又分别为中点，即；，平面，平面，平面，平面平面.（2）连接，由（1）知：为等边三角形，；以为坐标原点，正方向为轴，可建立如
14、图所示空间直角坐标系，则，；设，则，轴平面，平面的一个法向量，解得：（舍）或，即，；由得：，设平面的法向量，则，令，解得：，；轴平面，平面的一个法向量，即平面与平面所成二面角的正弦值为.21. 已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若，求直线的方程【答案】（1） （2）或或【解析】（1）由题知，所以双曲线的渐近线方程为（2）双曲线的右焦点坐标为，由题知，直线AB的斜率不为0，设直线方程为，代入双曲线中，化简可得：，设,则则线段中点的坐标为，直线方程为 （i）当时，点恰好为焦点，此时存在点或，使得此时直线方程为 （ii）当时，令可得，可得点的坐标为，由于所以，由，即，也即：化简可得，解出， 由于直线要交双曲线右支于两点，所以，即，故舍去可得直线的方程为 综上：直线方程为或或 22.已知椭圆的焦距为，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由.【答案】(1)(2)是，理由见解析【详解】（1）由，得到，又椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，联立，消整理得，所以，又，所以为定值.
