1、课时分层作业(二十)空间向量与空间角(建议用时：60分钟)一、选择题1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为()A30B150C30或150 D以上均不对Al1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为应选A2已知二面角l的两个半平面与的法向量分别为a，b，若a，b，则二面角l的大小为()A BC或 D或C由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向，因此二面角l的大小为或，故选C3如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A BC DD以D为坐标原点
2、，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB1，则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为4已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A BC DB作AO平面BCD于点O，则O是BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设AB2，则O(0,0,0)，A，C，E，cos，CE与平面BCD的夹角的正弦值为5如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形
3、，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()ABC DD如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz设PAADAC1，则BD，所以O(0,0,0)，B，F，C，易知为平面BDF的一个法向量，由，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，故二面角CBFD的正切值为二、填空题6若直线l的方向向量a(2,3,1)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_由题意，得直线l与平面所成角的正弦值为7已知点E，F分别在正方体ABC
4、DA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，E，F，所以，则即取x1，则y1，z3故n2(1，1,3)所以cosn1，n2所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan 8如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设BC1，
5、则A，B，C，D，所以，设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则，所以，取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为三、解答题9如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CACBCDBD2，ABAD(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解(1)证明：因为BODO，ABAD，所以AOBD因为BODO，BCCD，所以COBD在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，所以AO2CO2AC2，所以AOC90，即AOOC因为BDOCO，所以AO平面BCD(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1
6、,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为10如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解(1)证明：连接A1E因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直
7、角坐标系Exyz不妨设AC4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0，得EFBC(2)设直线EF与平面A1BC所成角为由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)由得取n(1，1)，故sin |cos，n|，所以cos 因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A BC
8、DA以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设CACBa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0，1)，E，G，(0，a,1)点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2，(2，2,2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量又cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值为2如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为，且cos ，则()A1 B C DC不妨设BC1，AB，则记a，b，c，则ba，cb，根据题意，|a|
9、c|1，|b|，abbcca0，b22，而|，|，|cos，|，得故选C3在空间中，已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_平面xOy的法向量为n(0,0,1)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则即3x4yaz，取z1，则u而cosn，u，又a0，a4如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD且PDAD1，AB2，点E是线段AB上一点，当二面角PECD为时，AE_2设AEa(0a2)，以点D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则D(0,0,0)，E(1，
10、a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，则(1，a，1)，(0,2，1)，设平面PEC的法向量为m(x，y，z)，则，即，令y1，可得x2a，z2，则m(2a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为(0,0,1)，则|cosm，|，解得a2或2(舍去)，所以AE25如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值解(1)证明：由题设可得ABDCBD，从而ADCD又ACD是直角三角形，所以ADC90取AC的中点O，连
11、接DO，BO，则DOAC，DOAO又因为ABC是正三角形，故BOAC，所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90所以平面ACD平面ABC(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E，故(1,0,1)，(2,0,0)，设n(x，y，z)是平面DAE的法向量，则即可取n设m是平面AEC的法向量，则同理可取m(0，1，)，则cosn，m所以二面角DAEC的余弦值为
