1、第二章 函数、导数及其应用 第十节函数模型及其应用第二章 函数、导数及其应用 主干知识梳理 一、几种常见的函数模型 函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)第二章 函数、导数及其应用 指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)第二章 函数、导数及其应用 二、三种增长型函数模型的图象与性质函数yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增
2、长速度相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与平行随x增大逐渐表现为与平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴第二章 函数、导数及其应用 基础自测自评1(教材习题改编)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)h(x)g(x)B 由图象知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)第二章 函数、导数及其应用 2一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t
3、(h)的函数关系用图象表示为图中的()B 由题意h205t，0t4.结合图象知应选B.第二章 函数、导数及其应用 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)12x22x20(万元)一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36 万件 B18 万件C22 万件D9 万件B 利润 L(x)20 xC(x)12(x18)2142，当 x18 时，L(x)有最大值第二章 函数、导数及其应用 4一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0 xm)的函数，其
4、关系式yf(x)可写成_解析 依题意有ya(1p%)x(0 xm)答案 ya(1p%)x(0 xm)第二章 函数、导数及其应用 5有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计)第二章 函数、导数及其应用 解析 设矩形的长为 x m，宽为200 x4 m，则 Sx200 x414(x2200 x)当 x100 时，Smax2 500 m2.答案 2 500 m2第二章 函数、导数及其应用 关键要点点拨第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 2解函数应用题
5、常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数；的限制条件第二章 函数、导数及其应用 典题导入为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品一次函数与二次函数模型第二章 函数、导数及其应用 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利
6、，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？第二章 函数、导数及其应用 听课记录 设该单位每月获利为 S，则 S100 xy100 x12x2200 x80 00012x2300 x80 00012(x300)235 000，因为 400 x600，所以当 x400 时，S 有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损第二章 函数、导数及其应用 规律方法 1在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解2有些问
7、题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决3在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练1一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残料最少？第二章 函数、导数及其应用 解析 如图，剪出的矩形为 CDEF，设 CDx，CFy，则 AF40y.AFEACB，AFACFEBC，即40y40 x60.第二章 函数、导数及其应用 y4023x.剩下的残料面积为 S126040 x
8、y23x240 x1 200 23(x30)2600.0 x4时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.第二章 函数、导数及其应用 所以 y14.4x，0 x45，20.4x4.8，4543.(2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增，当 x0，45 时，yf45 26.4；当 x45，43 时，yf43 26.4；第二章 函数、导数及其应用 当 x43，时，令 24x9.626.4，解得 x1.5.所以甲户用水量为 5x51.57.5 吨，付费 S141.83.5317.70 元；乙户用水量为 3
9、x4.5 吨，付费 S241.80.538.70 元第二章 函数、导数及其应用 典题导入一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 22.指数函数模型第二章 函数、导数及其应用(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？第二章 函数、导数及其应用 听课记录(1)设每年降低的百分比为 x(0 x1)则 a(1x)1012a，即(1x)1012，解得 x112110.(2)设经过 m 年剩
10、余面积为原来的 22，则 a(1x)m 22 a，即12m101212，m1012，解得 m5.故到今年为止，已砍伐了 5 年第二章 函数、导数及其应用(3)设从今年开始，以后砍了 n 年，则 n 年后剩余面积为 22 a(1x)n.令 22 a(1x)n14a，即(1x)n 24，12n101232，n1032，解得 n15.故今后最多还能砍伐 15 年第二章 函数、导数及其应用 规律方法增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式解题时，往往用到对数运算和开方运算，
11、要注意用已知给定的值对应求解第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练3某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线第二章 函数、导数及其应用(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间第二章 函数、导数及其应用 解析(1)由图象，设 ykt （0t1），12ta（t1），当 t1 时，由 y4 得 k4，由121a4 得 a3.所以 y4t （0t1），12t3（t1）.第二章 函数、导数
12、及其应用(2)由 y0.25 得0t1，4t0.25 或t1，12t30.25，解得 116t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5 1167916(小时)第二章 函数、导数及其应用(2014长沙十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.【创新探究】函数的实际应用问题第二章 函数、导数及其应用(1)请分析函数 y x1502 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模
13、型 y10 x3ax2 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 a 的值第二章 函数、导数及其应用【思路导析】利用给出函数模型结合题意，转化为 f(x)x5或 g(x)x5是否恒成立问题【解析】(1)对于函数模型 yf(x)x1502，当 x10，1 000时，f(x)为增函数，f(x)maxf(1 000)1 000150 2203 29，第二章 函数、导数及其应用 所以 f(x)9 恒成立，但当 x10 时，f(10)1152105，即 f(x)x5不恒成立，故函数模型 y x1502 不符合公司要求 第二章 函数、导数及其应用(2)对于函数模型 yg(x)10 x3ax2，即 g(x)10
14、3a20 x2，当 3a200，即 a203 时递增，为使 g(x)9 对于 x10，1 000恒成立，即要 g(1 000)9，3a181 000，即 a9823，为使 g(x)x5对于 x10，1 000恒成立，第二章 函数、导数及其应用 即要10 x3ax2 x5，即 x248x15a0 恒成立，即(x24)215a5760(x10，1 000)恒成立，又 2410，1 000，故只需 15a5760 即可，所以 a1925.综上，a1925，故最小的正整数 a 的值为 39.第二章 函数、导数及其应用【高手支招】解函数应用题的一般程序是：第一步：理清题意；分析题目中的条件与结论，理顺数
15、量关系，弄清所求问题；第二步：数学建模；结合题意及问题，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求解模型；求解数学模型，得到数学结论；第四步：问题回答；将上步中解决得到的结论还原到实际问题中，作出回答 第二章 函数、导数及其应用 体验高考(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何
16、值时该蓄水池的体积最大第二章 函数、导数及其应用 解析(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元 又据题意 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因 r0，又由 h0 可得 r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0，5 3)第二章 函数、导数及其应用(2)因 V(r)5(300r4r3)，故 V(r)5(30012r2)令 V(r)0，解得 r15，r25(因 r25 不在定义域内，舍去)当 r(0，5)时，V(r)0，故 V(r)在(0，5)上为增函数；当 r(5，5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数 由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大第二章 函数、导数及其应用 课时作业
