1、长春市2023届高三质量监测（四）数学本试卷共4页考试结束后，将答题卡交回注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集
2、合，则（ ）A1B2C3D42函数的图象可能是（ ）ABCD3已知复数，则复数（ ）AB10CD24某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（ ）A3.54小时B3.64小时C3.67小时D3.72小时5设，曲线，则下列说法正确的为（ ）A曲线C表示双曲线的概率为B曲线C表示椭圆的概率为C曲线C表示圆的概率为D曲线C表示两条直线的概率为6我国古代数学家僧一行应用“
3、九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ）倍A1BCD7如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，连接，交于P点，若，则（ ）ABCD8已知正方体的棱长为1，点M，N分别为线段，上的动点，点T在平面内，则的最小值是（ ）ABCD1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多个选项是符合题目要求的9若的
4、展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）AB展开式中各项系数和为C展开式中常数项为D展开式中各二项式系数和为10有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80，乙批种子10粒，能发芽的占70，则下列说法正确的有（ ）A从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是B从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是C从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是D如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为11下列命题中正确的是（ ）A已知随机变量，且满足，则B已知一组数据：7，8，4，7，2，4，5，8，6，4，则这组数据的第60百分位数是6C已知随机变量，则D某学校有A，
5、B两家餐厅，某同学第1天午餐时间随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，如果第一天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去B餐厅的概率为0.312已知正项数列的前n项和为，且有，则下列结论正确的是（ ）AB数列为等差数列CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知，则a，b，c的大小关系为_14若，则的最小值为_15已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是_16已知圆C的圆心在抛物线上运动，且圆C过定点，圆C被x轴所截得的弦为，设，则的取值范围是_四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题
6、满分10分）已知函数的最小值为（1）求函数的最大值；（2）把函数的图像向右平移个单位，可得函数的图像，且函数在上为增函数，求的最大值18（本小题满分12分）已知数列是公差为正数的等差数列，且，（1）求的通项公式；（2）求证：19（本小题满分12分）现有两个口袋，A口袋中有m个球，一部分是红球，另一部分是白球，从中取出一个球恰好是白球的概率为，B口袋中有6个球，4个红球，2个白球若将两个口袋混合在一起，从中取出一个球，恰好是白球的概率为（1）若甲从B口袋中每次有放回地取一个球，直到取到白球停止，则恰好第三次后停止的概率；（2）甲乙两人进行游戏，由第三人从两个口袋中各取一个球，若同色甲胜，否则乙胜
7、，通过计算说明这个游戏对两人是否公平；（3）从B口袋中一次取3个球，取到一个白球得2分，取到一个红球得1分，求得分的期望20（本小题满分12分）在三棱锥，底面是边长为4的正三角形，平面平面，且（1）若，求证：平面平面；（2）若底面，垂足为O，求平面与平面夹角的余弦值21（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形面积为（1）求椭圆方程；（2）若直线交椭圆于，且，求证为定值22（本小题满分12分）函数（1）求证：；（2）若方程恰有两个根，求证：长春市2023届高三质量监测（四）参考答案与评分标准数学一、单项选择题：12345678BABBBACB二、多项选择题：9101112AB
8、CACDACDCD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13148 15 16四、解答题：17（本小题满分10分）（1），因为的最小值为，所以，从而得最大值为2（2），在上为增函数，的最大值为418（本小题满分12分）解：（1）设的公差为，解得或（舍），（2），即证19（本小题满分12分）（1）设A口袋中有n个白球，则，解得，设事件表示从B口袋中第i次取出的是红球，有，设事件C表示从B口袋中有放回的各取1球恰好第3次后停止，则（2）设事件表示从A口袋中取出一个球是红球，表示从B口袋中取出一个球是红球，事件E表示第三人从两个口袋中各取一球是同色球，有，
9、所以游戏不公平（3）设X表示从B口袋中一次取3个球的得分，则X的可取值为3，4，5，有，从而20（本小题满分12分）解：（1）在中做于D，则，中，则，则，即，中，即二面角的大小为，故平面平面（2）过点P做于H，由平面平面，且平面平面可知，平面，又平面，则点H即为点O以O为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，建立空间坐标系，则，,平面中，平面中，即平面与平面夹角的余弦值为21（本小题满分12分）解：（1）由椭圆的离心率为，可设，则四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为，即，即椭圆的方程为：（2），联立直线与椭圆消去y可得，可得，而，为定值22（本小题满分12分）解：（1）令，解得或，故当时，在减，又，（2）是方程一个根，时，恰1根，令，设，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，在单调递增，单调递减，单调递增，又，只需，设，由，因此
