1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系必备知识自主学习导思1.什么是空间直角坐标系？2怎样确定空间直角坐标系中点的坐标？3怎样求两点间的距离？1.空间直角坐标系定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy135
2、，yOz90图示说明一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面，它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向，我们也称这样的坐标系为右手系非右手系对点的坐标、距离和角的求值有影响吗？提示：非右手系会影响点的坐标，不影响距离和角的求值，只要计算准确，结果是相同的，但高考中对非右手系没有中间的步骤分，即如果结果对了也得满分，结果错误就是零分，所以建议同学严格按照右手系建立坐标系2空间中一点的坐标空间一点P的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，
3、z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标3空间两点间的距离公式(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离|OP|(2)任意两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)间的距离|PQ|1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c).()(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c).()(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c).()(4)在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(
4、a，0，c).()提示：(1).Ox轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.(2).在yOz平面上的点的横坐标一定是零(3).在Oz轴上的点的横、纵坐标均为零(4).在zOx平面上的点的纵坐标为零2点P(1，2，0)位于()Ay轴上 Bz轴上CxOy平面上 DxOz平面上【解析】选C.点P(1，2，0)位于xOy平面上3在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，m)，若|AB|，则m的值为_.【解析】|AB|，所以(3m)2100，3m10，所以m7或13.答案：7或13关键能力合作学习类型一空间中点的坐标的确定(直观想象)【典例】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分
5、别是D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CGCD，点H为C1G的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出E，F，G，H的坐标【思路导引】要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标【解析】建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.由点F作FMAD，FNDC，由平面几何知FM，FN，则F点坐标为.点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD，故G点坐标为.由点H作HKCG于点K，由于H为C1G的中点，故HK，CK.所以DK.故H点坐标为. 确定点的坐标的方法(1)建立空间直角坐标系的原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
6、充分利用几何图形的对称性(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标长方体ABCDABCD如图所示，长，宽，高分别为|AB|4 cm，|AD|3 cm，|AA|5 cm，点N是线段CC的中点分别以AB，AD，AA所在的直线为x轴、y轴、z轴，以1 cm为单位长，建立空间直角坐标系(1)求A，B，C，D，A，B，C，D的坐标；(2)求N的坐标【解析】(1)A，B，C，D都在平面xOy内，点的竖坐标都为0，它们在x轴、y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0，0)，(4，0)，(4
7、，3)，(0，3)，因此空间坐标分别是A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，3，0).A，B，C，D同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z轴的交点A在z轴上的坐标是5，故这四点的z的坐标都是5.从这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A，B，C，D四点，故A，B，C，D的x，y坐标分别与A，B，C，D相同，由此可知它们的空间坐标分别是A(0，0，5)，B(4，0，5)，C(4，3，5)，D(0，3，5).(2)点N是线段CC的中点，有向线段CN的方向与z轴正方向相同，|CN|2.5，因此N的z坐标为2.5，C在xOy平面内的平面坐标为(4，3)，这就是N的x，y坐标，
8、故N的空间坐标为(4，3，2.5).类型二求空间对称点的坐标(直观想象)【典例】在空间直角坐标系中，已知点P(2，1，4).(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)对称的点的坐标【思路导引】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标【解析】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(2，1，4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(2，1，4).(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点
9、M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3的坐标为(6，3，12). 空间点的对称规律(1)口诀：求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆(2)任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(x，y，z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(x，y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；关于zOx平面对称的点是P7(x，y，z).1在空间直角坐标系中，点(2，1
10、，4)关于x轴对称的点的坐标是()A(2，1，4) B(2，1，4)C(2，1，4) D(2，1，4)【解析】选B.点(2，1，4)关于x轴对称的点的坐标是(2，1，4).2点(1，1，2)关于yOz平面的对称点的坐标是_【解析】点(1，1，2)关于yOz平面的对称点的坐标是(1，1，2).答案：(1，1，2)3在空间直角坐标系中，点M(2，4，3)在zOx平面上的射影为M点，则M关于原点对称点的坐标是_【解析】M在zOx平面上的射影为M(2，0，3)，所以M关于原点对称点的坐标为(2，0，3).答案：(2，0，3)类型三空间两点间的距离(数学运算)【典例】如图所示，在长方体ABCDA1B1C
11、1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，点N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度【思路导引】先建立空间直角坐标系，求出点M，N的坐标，然后利用两点间的距离公式求解【解析】如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，因为|DD1|CC1|AA1|2，所以C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，因为N为CD1的中点，所以N.M是A1C1的三等分点且靠近A1点，所以M(1，1，2).由两点间的距离公式，得|MN|. 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的步骤如图所示
12、，在直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度【解析】以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为|C1C|CB|CA|2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，所以|DE|，|EF|.课堂检测素养达标1在空间直角坐标系Oxyz中，点(3，4，5)关于z轴对称的点的坐标是()A(3，4，5) B(3，4，5)C(3，4
13、，5) D(3，4，5)【解析】选B.在空间直角坐标系中，点关于哪个轴对称时，哪个坐标不变，其余坐标变为原来的相反数，所以点(3，4，5)关于z轴对称的点的坐标是(3，4，5).2空间直角坐标系中，点M(2，5，8)关于xOy平面对称的点N的坐标为()A(2，5，8) B(2，5，8)C(2，5，8) D(2，5，8)【解析】选C.点M(2，5，8)关于xOy平面对称的点N的坐标为(2，5，8).3在空间直角坐标系中，点P(1，3，4)到x轴的距离是()A5 B C D【解析】选A.点P在x轴上的射影Q的坐标为(1，0，0)，所以点P到x轴的距离为|PQ|5.4设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|_【解析】因为AB的中点M，C(0，1，0)，所以|CM|.答案：5若点A(1，2，3)关于y轴的对称点为B，则AB的长为_【解析】因为A(1，2，3)关于y轴的对称点B(1，2，3)，所以|AB|2.答案：2关闭Word文档返回原板块
