1、 长春外国语学校2021-2022学年第二学期第一次月考高一年级数学试卷第卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式和两角和差余弦公式可化简已知原式为，由此可得结果.【详解】原式.故选：B.2. 在中，则（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】中，可得.故选：C.3. 已知平面直角坐标系中两个点坐标，点是中点，则（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】B【解析】【分析】先
2、求出点的坐标，从而可求出的坐标，进而可求出其模【详解】因为，点是中点，所以，所以，所以，故选：B4. 一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据题意知水平速度为50m/s，然后由 求解.【详解】解：如图所示：由题意知：，所以，故选：C5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】D【解析】【分析】先由，解得，再由求解即可.【详解】，解得，故选：D.6. 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D.
3、【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据已知条件用表示，结合共线定理的推论即可求得参数值.【详解】因为，又，则，故因为三点共线，故可得，解得.故选：A.7. 在中，是三角形内一点，如果满足，则点的轨迹一定经过的（ ）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心【7题答案】【答案】A【解析】【分析】根据的含义，结合数乘运算的几何意义，即可判断和选择.【详解】表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，故表示起点为，终点在的平分线上的向量，又，与共起点，且为同向的向量，则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心.故选：A.8. 如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的
4、弦图设计的已知图中正方形的边长为2，则小正方形的面积为（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据设计图的几何特点，结合已知条件，求得小正方形的边长，再根据同角三角函数关系，以及正弦的二倍角公式，即可求得小正方形的面积.【详解】根据设计图的几何特点可知：，在中，故小正方形的边长为，故小正方形的面积为.故选：.二、多选题：本题共2小题，每小题5分9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知平面上的任意两个向量，不等式成立B. 若是平面上不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件C. 若非零向量，满足，则，夹角为D. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向
5、量上的投影向量为3【9题答案】【答案】BC【解析】【分析】利用向量的定义判断A；利用共线向量的定义判断B；求出判断C；求出投影向量判断D作答.【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，A不正确；对于B，因是平面上不共线的四点，有，且，则四边形为平行四边形，反之，四边形为平行四边形，即有，与方向相同，则有，所以当是不共线的四点时，“”是“四边形为平行四边形”的充要条件，B正确；对于C，由两边平方得，即，而，为非零向量，有，夹角为，C正确；对于D，依题意，向量在向量上投影向量为，D不正确.故选：BC10. 在中，角 ， 所对的边分别为 ，下列说法错误的是（ ）A. 若，则 B. 若
6、 ，则 C. 若，则为锐角三角形D. 若，则为等边三角形【10题答案】【答案】AC【解析】【分析】A. 得到，所以选项A错误；可以推导选项BD正确；C. 得到是锐角，但是角不清楚，所以不能得到为锐角三角形，所以选项C错误.【详解】解：A. 若，则，所以选项A错误；B. 若 ，则 所以选项B正确；C. 若，是锐角，但是角不清楚，所以不能得到为锐角三角形，所以选项C错误；D. 若，则,所以为等边三角形，所以选项D正确.故选：AC第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分11. 在中，所对的边分别为，若，则角_【11题答案】【答案】#【解析】【分析】由正弦定理求得，结合，求得，进而求得的值.【详解】在
7、中，因为，由正弦定理得，可得，因，所以，所以，所以.故答案为：.12. =_.【12题答案】【答案】【解析】【分析】利用两角和的正切公式即可求解.【详解】 故答案为：【点睛】本题考查了两角和的正切公式，需熟记公式并灵活应用，属于基础题.13. 已知平面上两个不共线向量，且，若A，B，D三点共线，则实数的值为_【13题答案】【答案】【解析】【分析】先求，由平面向量共线定理得，最后建立方程求解即可.【详解】由题，由A，B，D三点共线，则，可解得，故答案为：14. 在中，边上的高，则_【14题答案】【答案】#【解析】【分析】根据题中的条件画出平面图形，再结合图形求解三角形的各边，最后运用余弦定理求解
8、出答案.【详解】根据题意可画图形如下：图中，中，中，中，根据余弦定理得，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，每小题10分15. 已知平面向量，（1）若为与的夹角，求的值；（2）若与垂直，求实数的值【1516题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求出向量与的坐标，再根据向量夹角坐标公式求解即可；（2）先求出向量与的坐标，再根据向量垂直坐标公式求解即可【小问1详解】由，得又，所以；【小问2详解】由，又与垂直，所以，解得16. 求值（1）已知，求的值；（2）已知，求的值【1617题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）分别将和完全平方相加即可；（2）构造，计算求解即可.
9、【小问1详解】，两式相加得，又，所以，所以，即.【小问2详解】.17. 在中，角 ， 所对的边分别为 ，已知（1）求角；（2）若，求的面积【1718题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可；（2）由题知，进而结合已知得，即，再求面积即可【小问1详解】解：因为，所以，因为，所以.【小问2详解】解：因为，所以，因为，所以，解得，所以的面积.18. 如图，已知是平面直角坐标系的原点，（1）求坐标；（2）若四边形为平行四边形，求点坐标【1819题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）过点作垂直轴于点，在中，即可求出的值，进而求得点坐标，再根据，求出点坐标
10、，由此即可求出坐标.（2）如下图作出辅助线，根据直角三角形的特点，可求出点的坐标，再设点，根据题意可知，由此即可求出点坐标【小问1详解】解：过点作垂直轴于点，如下图所示：因为，所以，又，所以在中，又，所以，所以【小问2详解】解：过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，如下图所示： 在中，所以，在中，所以，即所以，即，设点， 因为四边形为平行四边形，所以，又所以，解得，所以点坐标为.19. 已知平面向量，函数（1）求函数的解析式，并求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值，并求出取最大值时的的值【1920题答案】【答案】（1），最小正周期为 （2）当时，函数最大值为.【解析】【分析】（1）结合向量运算和三角恒等变换的公式，化简得到，利用公式求得函数的最小正周期；（2）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由题意，向量，可得且，所以函数，可得函数的最小正周期为.【小问2详解】解：由（1）知，因为，可得，当时，即时，函数取得最大值，最大值为.
