1、专题3.4双曲线的简单几何性质知识点一 双曲线的几何性质标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质焦点焦距范围,或或对称性关于坐标轴、原点对称顶点轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率渐近线知识点二 等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1已知是双曲线的两个焦点，若双曲线的左右顶点和原点把线段四等分，则该双曲线的焦距为（）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据题意列出方程组进行求解即可.【详解】因为是双曲线的两个焦点，若双曲线的左右顶点和原点把线段四等分，所以，即，即，又因
2、为，解得，所以c=2，所以该双曲线的焦距为.故选：D2双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（）A9B9CD【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由双曲线，可得，且，因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得，即，解得.故选：C.3已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，则双曲线的实轴长为（）A2B4C6D8【答案】A【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【详解】把代入中，得，即，因为，所以，又，所以，解得，舍去，则.故选：A4如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转
3、所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（）AB24C32D【答案】D【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径.【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以.设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为.故选：D5若实数m满足，则曲线与曲线的（）A离心率相等B焦距相等C实轴长相等D虚轴长相等【答案】B【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.【详解】因为，所以，所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；因为，所以离心率不相等，故A错误；因为，所以
4、实轴长不相等，故C错误；因为，所以虚轴长不相等，故D错误.故选：B.6等轴双曲线的焦距为 .【答案】【分析】根据等轴双曲线定义得到，进而求出，得到焦距.【详解】由题意得，故，故，焦距为.故答案为：7已知椭圆的左、右焦点分别为，是上任意一点，的面积的最大值为，的焦距为2，则双曲线的实轴长为 【答案】4【分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解，进而可求解.【详解】由于的面积为，由题意知所以故双曲线的方程为，则的实轴长为4故答案为：4重难点2已知方程求双曲线的渐近线8双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】C【分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.【详解】由题意可得：双曲线渐近线斜率为，则其
5、渐近线方程为：故选：C9已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】B【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出作答.【详解】由点在双曲线上，得，则，即，整理得，解得或，当时，此时方程无解，当时，而，解得，所以该双曲线的渐近线方程为.故选：B10双曲线的两条渐近线的夹角为（）ABCD【答案】C【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的渐近线的方程为，所以两渐近线的夹角为.故选：C.11在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】B【分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得的值
6、，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线，可得其标准方程为，所以，则双曲线的渐近线方程为.故选：B.12已知双曲线的一个焦点是，点到的渐近线的距离为，则（）A与有关B与无关C与有关D与无关【答案】BC【分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标，再利用点到直线距离即可求出，便可得出结论.【详解】设双曲线的焦距为，不妨取右焦点的坐标为，如下图所示：双曲线的渐近线方程是，即0，所以，所以与无关，与有关.故选：BC.13双曲线的渐近线方程为，则 【答案】3【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】的渐近线方程为，所以，故答案为：314已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 .【答案】【分
7、析】根据双曲线的渐近线方程结合条件可得，进而求出双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，所以有，故双曲线，所以双曲线的离心率为.故答案为：重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（）ABCD【答案】C【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.【详解】由题意双曲线的焦点在轴上，则，又，则，故C的标准方程为.故选：C16若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（）ABCD【答案】A【分析】根据条件列关于a，b，c的方程组求解即可.【详解】设双曲线的标准方程为，由已知得，
8、解得，所以双曲线的标准方程为故选：A.17已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（）ABCD【答案】D【分析】由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程.【详解】右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为，所以，即的方程为.故选：D18求双曲线以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是（）ABCD【答案】A【分析】根据椭圆方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【详解】在椭圆中，椭圆的焦点坐标为，左右顶点坐标分别为，则双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，且双曲线的焦点在轴上，所以，所以双曲线的方程为：故选：A.19已知
9、双曲线：（，）的实轴长为4，离心率为若点是双曲线位于第一象限内的一点，则（）A2B1CD【答案】B【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程，代入点坐标，由此求得的值.【详解】法一：双曲线的几何性质由题知，解得，所以双曲线：又点是双曲线位于第一象限内的一点，所以（），解得.法二： 由题知，解得，所以双曲线：又点是双曲线位于第一象限内的一点，所以（），解得.故选：B20双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，则为（）ABCD【答案】A【分析】根据渐近线方程、实轴长求得，由此求得.【详解】依题意，解得.故选：A21如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为，那么此双曲线的标准方程为 【
10、答案】【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案.【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在轴，所以设等轴双曲线方程为，所以，解得，所以双曲线标准方程为，故答案为：.重难点4求共渐近线的双曲线方程22若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 【答案】【分析】设双曲线C的方程为，根据双曲线经过的点求得，从而求得双曲线的标准方程.【详解】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，可设双曲线C的方程为，又C过点，所以，整理得双曲线C的标准方程是故答案为：23与双曲线渐近线相同，且一个焦点坐标是的双曲线的标准方程是 【答案】【分析】设所求双曲线的方程为，由题意
11、有且，解出即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，由焦点坐标是，可设所求双曲线的方程为，得，双曲线渐近线的方程为，由题意有，解得，所以双曲线的方程为.故答案为：.24若双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程为 .【答案】【分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.【详解】由方程，则其渐近线方程为，由椭圆，则其焦点为，由题意可知，双曲线的标准方程设为，则，解得，则双曲线的标准方程为，故答案为：.25双曲线，写出一个与双曲线有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 【答案】（答案不唯一）【分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性
12、质进行求解即可.【详解】与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程可设为，当时，得到双曲线方程为，显然该双曲线与双曲线有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：26求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程.【答案】【分析】利用待定系数法即可得到所求双曲线的标准方程.【详解】与双曲线有相同的渐近线的双曲线可设为又所求双曲线过点，则，则则所求双曲线的方程为，即.27已知双曲线E与双曲线共渐近线，且过点，若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.【答案】【分析】设双曲线E的方程为，代入点可得双曲线E的标准方程，从而得到双曲线双曲线M的标准方程.【详解】由题意，设双曲线E的
13、方程为，点在双曲线E上，双曲线E的标准方程为，又双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，双曲线M的标准方程为.28已知双曲线的两个焦点分别为，且过点.(1)求双曲线C的虚轴长；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由双曲线的定义可知，又，求得即可（2）设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为，将点的坐标代入上述方程得即可【详解】（1）由题意，易知，且.在中，由双曲线的定义可知，即.双曲线C的两个焦点分别为，.又，故双曲线C的虚轴长为（2）由（1）知双曲线C的方程为.设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为将点的坐标代入上述方程，得故所求双
14、曲线的标准方程为重难点5根据齐次式关系求渐近线方程29过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】D【分析】由题可设，分别表示出，逐步转化，即可求得本题答案.【详解】因为直线过原点，所以关于原点对称，设，因为与轴垂直，所以，设，则，而所以，所以，所以渐近线方程为.故选：D30双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（）AB或CD或【答案】B【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【详
15、解】设，显然线段的中点坐标为，因为四边形为平行四边形，所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为，因此点坐标为，因为直线OC，AB的斜率之积为3，所以，因为点A，B均在E上，所以，两式相减得：，所以两条渐近线方程的倾斜角为或，故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.31已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（）ABCD【答案】B【分析】由离心率求得即得渐近线方程【详解】，故选：B32设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，且，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】B【分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到，再根据，即可求解双曲线渐近线的斜率.【
16、详解】作于点，如图所示，因为，所以为的中点，由双曲线的定义知|，所以，故，因为，所以，即，得，所以，得，故双曲线的渐近线方程为，即.故选：B33已知F为双曲线C：（，）的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B若，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCD【答案】B【分析】分别求出点A,B的坐标，利用线段相等建立方程求出即可得解.【详解】由题意得，双曲线C的渐近线方程为设点A，B的纵坐标依次为，因为，所以，所以因为，所以因为，所以，得，所以，故，双曲线C的渐近线方程为，即，故选：B34如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐
17、近线方程为 .【答案】【分析】利用点在双曲线上及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.【详解】设，则，解得，.在中，则.由双曲线的定义，得.由得.，即.双曲线的渐近线方程为.故答案为：.35过双曲线的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若为等边三角形，则W的渐近线方程为 ，W的离心率为 【答案】 /【分析】根据图形则得到，再利用离心率公式即可.【详解】双曲线渐近线方程为，因为是等边三角形，则，则渐近线方程为，即，故答案为：；.重难点6求双曲线的离心率36设是双曲线的左右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为
18、（）ABCD【答案】A【分析】根据题意，先求得焦点到渐近线的距离为，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，结合和离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线，可得，渐近线方程为，如图所示，则焦点到渐近线的距离为，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，即，所以，又由，所以，可得，所以双曲线的离心率为.故选：A.37已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，且，则的离心率为（）ABCD【答案】B【分析】设，联立方程组求得，根据，得到，求得，再由在双曲线上，化简得到，结合，化简得到，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线：的渐近线方程为.设，联立方程组，解得.因为，所以，即，可得
19、.又因为点在双曲线上，所以，将代入，可得，由，所以，所以，即，化简得，则，所以双曲线的离心率为.故选：B.38设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【详解】因为直线与圆切于点，则，又，所以，所以为的中点，而为中点，于是，有，且，则，令双曲线焦距为，由，得，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A39已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（）ABC2D3【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】双曲线的右
20、焦点,设点关于一条渐近线的对称点为，由题意知，解得.又知，解得，所以，即，所以双曲线C的离心率是故选：C.40若，双曲线：与双曲线：的离心率分别为，则（）A的最小值为B的最小值为C的最大值为D的最大值为【答案】B【分析】由双曲线方程，把离心率表示出来，再利用基本不等式求得最小值.【详解】由题意可得，则，由基本不等式，即，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：B.41已知双曲线，过其上焦点的直线与圆相切于点A，并与双曲线的一条渐近线交于点不重合）若，则双曲线的离心率为 【答案】/【分析】设出过上焦点的直线方程为，由圆心到直线距离等于半径得到，再分别联立直线与圆，直线与渐近线，求出，根据比例
21、关系得到方程，得到的关系式，求出离心率.【详解】由题意得，渐近线方程，设过其上焦点的直线方程为，则圆心到直线的距离为，解得，不妨取负值，如图所示，故过其上焦点的直线方程为，联立与可得，解得，联立与，可得，此时，重合，舍去，联立与，可得，此时不重合，满足要求，因为，所以，故，化简得，又，故，即，解得，双曲线的离心率为.故答案为：42已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为 【答案】/【分析】设直线方程为与双曲线方程联立，根据求解.【详解】解：如图所示：设直线方程为与双曲线方程联立，解得，因为，所以，即，即，解得，故答案为：43已知双曲线的右顶点为A，左、
22、右焦点分别为，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且，直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 【答案】2【分析】根据题意，设点P的坐标为，根据，求得点P的坐标为，再由的斜率为，得到，化简得到离心率的方程，即可求解.【详解】由双曲线，可得渐近线方程为，设点P的坐标为，且，因为，即，解得，即，所以点P的坐标为，又因为直线的斜率为，所以，可得，两边平方得，即，两边同时除以，可得，即，解得或（舍去）故答案为：.重难点7求双曲线离心率的取值范围44过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出的坐
23、标，写出向量，根据ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，令，得，可设由对称性，不妨设，可得，由题意知三点不共线，所以ADB为钝角，即为，将代入化简得，由，可得，又，解得，则，综上，离心率的取值范围为故选：D.45已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（）ABC2D【答案】D【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，于是，因此，当且仅当时取等号，则，即，离心率，所以双曲线离心率的最小值为.故选：D46已知双曲线（，）的离心率为，若
24、直线与无公共点，则e的取值范围是 .【答案】【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于的不等关系，即可求得离心率范围.【详解】因为双曲线（，）的渐近线为，因为，要使直线与E无公共点，则，所以，所以双曲线的离心力的范围所以满足条件的离心率的范围是，故答案为：47已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】设，根据列式，根据的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限，到渐近线的距离为，即，设，则，由得，故，.故选:C48双曲线的左焦点为，为双曲线右支上一
25、点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】双曲线的右焦点，等价于，所以，由不等式可求双曲线离心率的取值范围.【详解】取双曲线的右焦点，由双曲线定义，如图所示，故存在点使得等价为存在点使得，所以，当且仅当三点共线时等号成立，则，由，解得，而，故离心率.故选：B49如图为陕西博物馆收藏的国宝唐金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的部分的旋转体若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为 【答案】【分析】，设，计算，
26、根据均值不等式计算得到，得到离心率范围.【详解】，设，故，故等号不成立，故，即.故答案为：.50已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为 【答案】【分析】与轴交点，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有 且，可求离心率的取值范围.【详解】设与轴交点，连接， 由对称性可知，如图所示，又，又，在中， ， ，由，且三角形的内角和为， ，即，则 综上， 故答案为： 重难点8根据离心率求参数51已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率
27、的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，则，双曲线的半实轴长为，则，又双曲线的离心率的取值范围为，所以，所以，所以，即该椭圆的焦距的取值范围是.故选：B.52设双曲线的上、下焦点分别为，离心率为是上一点，且若的面积为4，则（）A8B4C2D1【答案】D【分析】由双曲线的离心率为可得，又因为若的面积为4，设在双曲线的上半支，则有，整理化简得，结合，即可求得的值.【详解】解：因为双曲线的离心率为，所以，即有，又因为，的面
28、积为4，由对称性，设在双曲线的上半支，则有，所以，即，由可得，所以，解得.故选：D.53设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为 【答案】【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可【详解】因为表示双曲线的方程，所以有，因此，因为，所以由，即k的取值范围为，故答案为：.54已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，若C的离心率为，则的值为 【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.【详解】由及双曲线的定义可得，所以，因为，在中，由余弦定理可得，即，所以，即，解得或（舍去）.故答案为：355已知双曲线的左右焦点分别是，P是双曲线右支上一点，O为坐标原点，过点O作
29、的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率，存在实数m满足，则 .【答案】【分析】由题意，可得相似三角形，根据相似三角形性质，建立等量关系，结合离心率的公式，建立方程，可得答案.【详解】当时，代入双曲线可得，由可得，由题易得.由相似三角形的性质可知，则，整理得.，解得.故答案为：.56已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围【详解】当双曲线实轴在轴上时，解得，此时，所以，解得，所以，当双曲线实轴在轴上时，解得，不符合题意.综上，解得.故选：A57点P是双曲线C：右支上一点，分别是双曲线C的
30、左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（）ABC1D【答案】D【分析】设出内切圆的半径，表示出，由得，结合双曲线的定义及离心率即可求解.【详解】设内切圆的半径为，则，由可得，化简得，又，故.故选：D.重难点9双曲线的实际应用58某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A西偏北45方向，距离340mB东偏南45方向，距离340mC西偏北45方向，距离170mD东偏
31、南45方向，距离170m【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【详解】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系设分别是西、东、北观测点，则 设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故，由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上，依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即 故 .故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处故选：A.59如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远现要在曲线上选一处M建一座码头，向
32、B、C两地转运货物经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A万元B万元C万元D万元【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ的方程，再结合两点间距离公式求解作答.【详解】以线段AB的中点O为原点，射线OB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，令点为曲线PQ上任意一点，则，因此曲线PQ是以点A，B为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为，显然点C在曲线PQ含焦点B的区域内，设，有，修建这两条公路的总费用，当且仅当时取等号，由，且，解得，即时，所以修建这两条公路的总费用最低是万元.故选：B【点睛】思路点睛：
33、圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解.60如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是 （结果精确到）【答案】【分析】以双曲线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，分析可知点在双曲线上，求出实数的值，再将代入双曲线方程，求出的值，即可得解.【详解】以双曲线的对称轴为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设双曲线方程为，顶点为，将点的坐标代入双曲线方程得，解得，水面下降米后，即，代入双曲线方程得，解得，宽度为.故答案为：.61如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过
34、与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则 .【答案】/0.375【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，由，依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，两式相减得，将装置中的去掉，则有，所以故答案为：62如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕
35、着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 【答案】【分析】设双曲线的标准方程为，得到，设点，代入双曲线的方程，求得，求得渐近线方程，即可求解.【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为，因为最小直径为，可得，即，又因为尊高，上口直径为，底部直径为， 设点，所以且，解得，即，可得双曲线的渐近线为，所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为.故答案为：.63（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延
36、长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A射线所在直线的斜率为，则B当时，C当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D若点坐标为，直线与相切，则【答案】ABD【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.C选项，由双曲线定义可判断.D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；选项B，由双曲线的定义知，若，则，因为，所以，解得，即B正确；选项C：，即C错误；选项D，因为平分，由角分线定理知，所以，又，所以，解得，即D正确.故选：ABD.64如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则双曲线E的离心率为 【答案】/【分析】设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率.【详解】如图，由，可得，在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，根据可得，解得，所以，故在中，即，故，故双曲线E的离心率为故答案为：.
