1、山西省运城市高中联合体2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合一元二次不等式的解法、指数函数的性质可得或，再由集合交集的概念即可得解.【详解】因为或，所以.故选：A【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及指数不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题.2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的乘法运算法则可得，再由复数相等的条件即可得解.【详解】因为，所以，所
2、以即.故选：C【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的条件，考查了运算求解能力，属于基础题.3. 若函数为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇函数求出，根据分段函数的关系求解即可.【详解】函数为奇函数当时，则故，故选：C【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用以及分段函数的应用，属于基础题.4. 展开式中项的系数为（ ）A. B. C. 15D. 5【答案】B【解析】【分析】求出的展开式的的系数和的系数，即得解.【详解】设的通项为，当时，的系数为；当时，的系数为.所以展开式中项的系数为，故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识
3、的理解掌握水平和计算能力.5. 若，则|（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合平面向量线性运算法则、数量积的运算可得，再利用即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6. 若表示不超过的最大整数，如，则函数称为取整函数，又称高斯函数.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据流程图写出每次循环的运行结果即可求解.【详解】第一次执行循环：，满足条件；第二次执行循环：，满足条件；第三次执行循环：，满足条件；第四次执行循环：，满
4、足条件；第五次执行循环：，不再满足条件，结束循环，输出的的值为，故选：D.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，考查了基本运算能力，属于基础题.7. 已知正方体的棱长为，点为棱中点，则过点与垂直的平面截正方体所得的截面面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出截面图形，计算正六边形的面积，即可得答案；【详解】过点与垂直的平面被正方体截得的截面是以中点为顶点，边长为的正六边形，平面，面平面平面，平面，且面积为，故选：C.【点睛】本题考查正方体中的截面面积问题，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意平行性质的运用.8. 已知直线l与直线垂直，且与x轴关于双曲线的一条渐近
5、线对称，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. 或2D. 或【答案】C【解析】【分析】利用题目条件，可求出或，根据，即可求出双曲线C的离心率【详解】由直线l与直线垂直，可得直线l的斜率为，倾斜角为，由直线l与x轴关于双曲线C的一条渐近线对称，得双曲线C的一条渐近线的倾斜角为或，斜率为或，即或，由双曲线C的离心率，得或2，故选：C【点睛】本题考查利用双曲线的几何性质求离心率问题，属于基础题.9. 设，且，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为 所以 故选A10. 已知曲线的抛物线及抛物线组成，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形
6、周长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，是曲线上关于轴对称的两点，结合抛物线的对称性建立四边形周长模型，再由抛物线的定义得到，然后由直线段最短求解.【详解】设抛物线的焦点为，则四边形的周长:，当共线时取等号，故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质以及四边形周长最值问题，属于中档题.11. 已知在上是增函数，且在有最小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，且在上是增函数，可得，求出的第一部分范围，再根据在有最小值，可得，求出的第二部分范围，然后即可求出的取值范围【详解】由，可得，结合，由在上是增函数，
7、可得，所以，当时，由在有最小值，可得，则，综上，故选：B【点睛】本题考查正弦函数的单调区间问题，属于基础题.12. 若对任意，恒成立，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，转化条件为对任意恒成立，设，求导后求得的最小值即可得解.【详解】设，则对任意恒成立，设，则，且，设，则，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，所以的最小值为，即的最小值为，所以.故选：C【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了构造新函数的能力与运算求解能力，关键是对条件的合理转化，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知x，y满足约束条件，则的最大值
8、为_【答案】【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在轴上的截距最小值即可【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，设，则，作直线，平移得到，当直线经过点时，z取得最大值.联立，解得，故故答案为：【点睛】本题主要考查简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.14. 棱长为3的正方体封闭薄壁容器内有一个高为2，底面半径为1的圆柱水平移动，在移动过程中，该圆柱的一个底面恒在平面内，则该圆柱不能到达的区域的体积为_【答案】【解析】【分析】根据正方体和圆柱的体积公式，结合题意进行求解即可.【详解】该圆柱到达的区域为一个柱体，
9、该柱体的底面积，高为2，体积为，所以该圆柱不能到达的区域的体积为故答案为：【点睛】本题考查了正方体、圆柱体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.15. 已知中，的平分线交于D，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据题意有，设，利用面积公式和基本不等式得到，再利用余弦定理可得结果.【详解】设，由得，整理得：所以，由余弦定理得，当时取等号所以的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题.16. 已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，若，则m的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用赋值法证明函数是偶函数，再证明函数在上是减函数，最后构造函数
10、，利用在上是减函数，解不等式，即可得到答案；【详解】中，取得，取得，取，得，所以是偶函数，设，则，所以，所以在上是减函数，设，则在上是减函数，所以且，所以m的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、偶函数的性质及不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的应用.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 已知等差数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【
11、答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意结合等差数列的通项公式、前n项和公式可得，解得，后，再由等差数列通项公式即可得解；（2）由题意结合等差数列前n项和公式可得，进而可得，再由分组求和法、裂项相消法即可得解.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，得，解得，所以；（2）由（1）得，所以，所以【点睛】本题考查了等差数列通项公式、前n项和公式的基本量运算，考查了分组求和法与裂项相消法求数列前n项和的应用，属于中档题.18. 采购经理指数（PM）是衡量一个国家制造业的“体检表”，是衡量制造业在生产、新订单、商品价格、存货、雇员、订单交货新出口订单和进口等八个方面状况的
12、指数，图为2018年9月2019年9月我国制造业的采购经理指数（单位：%）（1）求2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的平均数（精确到0.1）；（2）从2018年10月2019年9月这12个月任意选取4个月，记采购经理指数与上个月相比有所回升的月份个数为X，求X的分布列与期望【答案】（1）49.7；（2）分布列详见解析，期望为【解析】【分析】（1）利用平均数的定义求解即可；（2）X的取值为0，1，2，3,4，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望.【详解】（1）2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的平均数为（2）2018年10月2019年9月这12个月中，采购经理指数与上个月相
13、比有所回升的依次为2019年1月、3月、7月、9月，共4个，所以X的取值依次为0，1，2，3，4，所以X的分布列为X01234P期望为：【点睛】本题考查折线统计图，考查求X的分布列和数学期望正确计算是关键.19. 如图，四边形为平行四边形，且，点E，F为平面外两点，且，（1）证明：；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】分析】（1）证明平面，再利用线面垂直的定义，即可得到线线垂直；（2）证明直线，两两互相垂直，分别以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得，再利用向量的夹角公式计算，即可得到答案；【详解】解：（1）设与相交于点G，连接，由题意可得四边形为菱形
14、，所以，在和中，所以，所以，所以，因为，所以平面，因为平面，所以（2）如图，在平面内，过G作的垂线，交于点，由（1）可知，平面平面，所以平面，故直线，两两互相垂直，分别以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为，则，所以，异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直、异面直线所成角的向量法求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20. 已知椭圆的离心率为，圆经过椭圆C的左、右焦点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A，B，D，E是椭圆C上不同四点（其中点D在第一象限），且，直线，关于直线对称，求直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据离
15、心率可得，根据圆经过椭圆C的左、右焦点，可得，进而可得方程；（2）根据对称性可得，设出方程，结合韦达定理和对称性求出的坐标，进而得到的斜率，结合直线平行可求直线的方程【详解】（1）设，由题意得，由圆经过椭圆C的左，右焦点，得，所以，所以椭圆C的标准方程为（2）由题意可得，且直线的斜率存在，设，把与椭圆方程联立，得所以，所以，由直线，关于直线对称，可得直线的斜率为用代替k，得，又，所以直线的方程为，即【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆，椭圆方程求解的关键是构建关于的等式，直线与椭圆关系通常结合韦达定理来处理，侧重考查数学运算的核心素养.21. 已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数
16、底数）（1）求函数的递增区间；（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求得函数导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由题意，问题转化为，令，即证，根据函数的单调性，即可作出证明【详解】（1）易知，若，由解得，函数的递增区间为；若，则1+0-0+极大值极小值函数的递增区间为和；若，则，函数递增区间为；若，则1+0-0+极大值极小值函数的递增区间为和；综上，若，的递增区间为；若，的递增区间为和；若，函数的递增区间为； 若，函数的递增区间为和.（2）函数为上的增函数，即，注意到，故，不妨设，欲证，只需证，只需证，即证，即证，令，只需
17、证， ，下证，即证，由熟知的不等式可知，当时，即， ，易知当时，即单调递增，即，从而得证.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于不等式的证明问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若曲线关于直线对称，求的值；（2）若，
18、为曲线上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）0；（2）1【解析】【分析】（1）曲线的直角坐标方程为，得到曲线是一个圆，满足条件的圆的圆心在直线上；（2）设，则，则求得最大值即可.【详解】（1）直线的参数方程为，消去参数得直线的普通方程为.由，得曲线的直角坐标方程为，即，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，所以.（2）由点，在圆上，且，不妨设，则，的面积为，当且仅当，即时等号成立面积的最大值为.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，以及求三角形的面积，属于中档题.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，求证：.【答案】（1）或；（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，再对分类讨论解不等式即可.（2）首先根据函数的单调性得到，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1），当时，由，解得；当时，由得；当时，由得.综上可得不等式的解集为或.（2）由，可知：当时，为减函数，当时，为增函数.所以当时，取到最小值，所以，即.因为，当，时取等号.即证：.【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查不等式的证明，熟练掌握柯西不等式为解题的关键，属于中档题.
