1、第三章 三角函数、解三角形 第八节 正弦定理和余弦定理的应用 第三章 三角函数、解三角形 主干知识梳理 一、实际问题中的有关概念1仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)第三章 三角函数、解三角形 2方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)3方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)(1)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向第三章 三角函数、解三角形(3)南偏西等其他方向角类似第三章 三角函数、解三角形 4坡度：(1)定义：坡面与水平面所成的二面角的度数
2、(如图4，角为坡角)(2)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)第三章 三角函数、解三角形 二、解三角形应用题的一般步骤1审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；2根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；3选择正弦定理或余弦定理求解；4将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求第三章 三角函数、解三角形 基础自测自评1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()A BC90D180B第三章 三角函数、解三角形 2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B
3、北偏西15C北偏东10D北偏西10第三章 三角函数、解三角形 B 如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.第三章 三角函数、解三角形 3(教材习题改编)如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 A、B 两点的距离为()A50 2 m B50 3 mC25 2 m D.25 22 m第三章 三角函数、解三角形 A 由正弦定理得 ABACsin ACBsin B50 221250 2(m)第三章 三角函数、解三角形 4(2014泰州模拟)一船向正北航行
4、，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行_海里第三章 三角函数、解三角形 解析 如图，由题意知在ABC 中，ACB756015，B15，ACAB8.在 RtAOC 中，OCACsin 304.这艘船每小时航行4128 海里 答案 8第三章 三角函数、解三角形 5如图，某人在斜坡上仰视对面山顶上的一座铁塔 AB，发现在 P 点处的视角APB 的正切值为 211，若铁塔所在的山高为 OA220 米，OC200 米，观测者所在斜坡 CP 的直线距离为60 5米，斜坡与水平面的夹角为，且 tan 12
5、，据此推测，塔高 AB 约为_米(点 P 与 O、A、B、C 在同一竖直平面内)第三章 三角函数、解三角形 解析 如图，过点 P 分别作 OC、OB 的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，PC60 5，tan 12，CM120，PMON60，ANOAON160，PNOMOCCM320，tan APNANPN12.第三章 三角函数、解三角形 在 RtPNB 中，tan BPNtan(APNBPA)tan APNtan BPA1tan APNtan BPA 12 211112 211 34.第三章 三角函数、解三角形 又 tan BPNBNPN，BN240，ABBNAN80.答案 80第三章 三
6、角函数、解三角形 关键要点点拨解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解第三章 三角函数、解三角形 典题导入(2014肇庆模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一点C，从C点可以观察到点A，B；找到一点D，从D点可以观察到点A、C；找到一点E，从E点可以观察到
7、点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米测量距离问题第三章 三角函数、解三角形(1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)在 CDE 中，DCE3609015105150，S CDE12DCCEsin 15012sin 30121214(平方百米)(2)连接 AB，依题意知，在 Rt ACD 中，ACDCtanADC1tan 60 3，在 BCE 中，CBE180BCECEB1801054530，第三章 三角函数、解三角形 由正弦定理BCsin CEBCEsinCBE，得 BCCEsinC
8、BEsinCEB1sin 30sin 45 2.cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 4512 22 32 22 6 24，第三章 三角函数、解三角形 在 ABC 中，由余弦定理 AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得 AB2(3)2(2)22 3 2 6 242 3，AB 2 3(百米)第三章 三角函数、解三角形 规律方法求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理第三章 三角函数、解三
9、角形 跟踪训练1如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB105，CBA45，且AB100 m.(1)求sin CAB的值；(2)求该河段的宽度第三章 三角函数、解三角形 解析(1)sin CABsin 105 sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45 32 22 12 22 6 24.(2)因为CAB105，CBA45，所以ACB180CABCBA30.由正弦定理，第三章 三角函数、解三角形 得ABsin ACBBCsin CAB，则 BCABsin 105sin 30 50(6 2)m.如图所示
10、，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，则 CD 的长就是该河段的宽度在 RtBDC 中，第三章 三角函数、解三角形 CDBCsin 45 50(6 2)22 50(31)m.所以该河段的宽度为 50(31)m.第三章 三角函数、解三角形 典题导入如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为，山坡对于地平面的坡角为.(1)求BC的长；(2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度测量高度问题第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)在 ABC 中，ACB，根据正弦定理得BCsin B
11、ACABsin ACB，所以 BClsin sin（）.(2)由(1)知 BClsin sin（）24sin 15sin 3012(6 2)米第三章 三角函数、解三角形 在 BCD 中，BDC2623，sin BDC 32，根据正弦定理得BCsin BDCCDsin CBD，所以 CD248 3米第三章 三角函数、解三角形 规律方法求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用第三章 三角函数
12、、解三角形 跟踪训练2(2014郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C 三地位于同一水平面上，在 C处进行该仪器的垂直弹射，观测点 A、B 两地相距 100 米，BAC60，在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 217秒，在 A 地测得该仪器至最高点 H 时的仰角为 30，求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒)第三章 三角函数、解三角形 解析 由题意，设 ACx，则 BCx 217340 x40，在ABC内，由余弦定理 BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100 x，解得
13、x420.在ACH 中，AC420，CAH30，ACH90，所以 CHACtanCAH140 3.所以该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米第三章 三角函数、解三角形 典题导入在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值测量角度问题第三章 三角函数、解三角形 听课记录 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14
14、x，BC10 x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 AC28，BC20.第三章 三角函数、解三角形 根据正弦定理得 BCsin ACsin 120，解得 sin 20sin 120285 314.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 314.第三章 三角函数、解三角形 规律方法1测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点第三章 三角函数、解三角形
15、跟踪训练3如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD的大小是_第三章 三角函数、解三角形 解析 AD26022024 000，AC26023024 500.在CAD 中，由余弦定理得 cos CADAD2AC2CD22ADAC 22，CAD45.答案 45第三章 三角函数、解三角形 参考数据：sin 385 314，sin 223 314(2014石家庄模拟)已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度
16、行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？【创新探究】运用正、余弦定理解决实际应用问题第三章 三角函数、解三角形【思路导析】根据题意得出示意图，先求BAC利用余弦定理求得BC，利用正弦定理求得ABC，得出结论【解析】如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5，依题意，BAC1803822120，第三章 三角函数、解三角形 由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcos 120，所以 BC249，BC0.5x7，解得 x14.又由正弦定理得 sinABCACsinBACBC 5 3275 314，第三章 三角函数、解三角形 所以AB
17、C38.又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船第三章 三角函数、解三角形【高手支招】解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解第三章 三角函数、解三角形 体验高考1(2012四川高考)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至E，使 AE1，连
18、接 EC、ED，则 sin CED()A.3 1010 B.1010C.510D.515第三章 三角函数、解三角形 B 解法一：应用两角差的正弦公式求解 由题意知，在 RtADE 中，AED45，在 RtBCE 中，BE2，BC1，CE 5，则 sinCEB 15，cosCEB 25.第三章 三角函数、解三角形 而CED45CEB，sinCEDsin(45CEB)22(cosCEBsinCEB)22 25 15 1010.第三章 三角函数、解三角形 解法二：利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解 由题意得 ED 2，EC 1222 5.在EDC 中，由余弦定理得 cosCEDCE2DE2DC
19、22CEDE 310 10.又 0CED，sinCED 1cos2CED1310 10 2 1010.第三章 三角函数、解三角形 2(2013江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.第三章 三角函数、解三角形 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A
20、1213，cos C35.(1)求索道 AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？第三章 三角函数、解三角形 解析(1)在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35，所以 sin A 513，sin C45.从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 513351213456365.第三章 三角函数、解三角形 由正弦定理 ABsin C ACsin B，得 AB ACsin Bsin C 1 2606365451 040(m)所以
21、索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)，第三章 三角函数、解三角形 因 0t1 040130，即 0t8，故当 t3537(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理 BCsin A ACsin B，得 BC ACsin Bsin A1 2606365 513500(m)乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m才能到达 C.第三章 三角函数、解三角形 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500v 71050 3，解得1 25043 v62514，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内第三章 三角函数、解三角形 课时作业
