1、5.2平面向量的数量积及其应用考点二数量积的综合应用19.(2012天津,7,5分)已知ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足AP=AB,AQ=(1-)AC,R.若BQCP=-32,则=()A.12B.122C.1102D.-3222答案A如图,BQ=AQ-AB,CP=AP-AC,BQCP=-32,(AQ-AB)(AP-AC)=-32,AQAP-AQAC-ABAP+ABAC=-32.将AP=AB,AQ=(1-)AC代入上式得(1-)ACAB-(1-)ACAC-ABAB+ABAC=-32.(*)ABC为等边三角形,且|AC|=|AB|=|BC|=2,ACAB=|AC|AB|cos 60=2
2、212=2,由ACAB=2,|AC|2=4,|AB|2=4,结合(*)式得42-4+1=0,即(2-1)2=0,=12,故选A.评析本题主要考查向量的运算,考查了数形结合思想.20.(2012江西,7,5分)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则|PA|2+|PB|2|PC|2=()A.2B.4C.5D.10答案D解法一:以C为原点,CA,CB所在直线为x,y轴建立直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),则Da2,b2,Pa4,b4.从而|PA|2+|PB|2=916a2+116b2+116a2+916b2=1016(a2+b2)=10|PC|2,故选D.解法二
3、:PA-PB=BA,且PA+PB=2PD,两式平方相加得2PA2+2PB2=BA2+4PD2=4CD2+4PC2=20PC2,故选D.解法三:由平行四边形性质得2(PA2+PB2)=AB2+(2PD)2=4CD2+4PC2=20PC2,故选D.评析本题考查向量的运算和平行四边形性质.考查了数形结合思想和化归与转化思想,以及推理论证能力和应用意识.21.(2013福建,7,5分)在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.10答案CACBD=(1,2)(-4,2)=0,故ACBD.故四边形ABCD的对角线互相垂直,面积S=12|AC|B
4、D|=12525=5,选C.评析本题考查向量的坐标运算和数量积的应用,考查学生的运算求解及观察能力,能否得出AC与BD互相垂直是解决本题的关键.22.(2012湖南,7,5分)在ABC中,AB=2,AC=3,ABBC=1,则BC=()A.3B.7C.22D.23答案AABBC=AB(AC-AB)=ABAC-AB2=1,ABAC=5,即23cos A=5,cos A=56.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=3,BC=3,故选A.评析本题考查了向量的基本运算和解三角形.把向量AB、AC作为基底,进而得出cos A=56是解题的关键.23.(2013江西,12,5分)设e1,
5、e2为单位向量,且e1,e2的夹角为3,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为.答案52解析向量a在b方向上的射影为|a|cos=ab|b|,又ab=(e1+3e2)2e1=2e12+6e1e2=2+612=5,|b|=|2e1|=2,|a|cos=52.24.(2013课标全国,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t=.答案2解析解法一:bc=0,bta+(1-t)b=0,tab+(1-t)b2=0,又|a|=|b|=1,=60,12t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=12,32,则c=32,-32.把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.25.(2013山东,15,4分)已知向量AB与AC的夹角为120,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=AB+AC,且APBC,则实数的值为.答案712解析APBC,APBC=0,(AB+AC)BC=0,即(AB+AC)(AC-AB)=ABAC-AB2+AC2-ACAB=0.向量AB与AC的夹角为120,|AB|=3,|AC|=2,(-1)|AB|AC|cos 120-9+4=0,解得=712.
