1、高2014级第二次诊断性测试题 理科数学本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分，考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1、 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸 答题卡上的非答题区域均无效.3、 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸 答题卡上的非答题区域均无效.4、 选考题作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，答案写在答题卡上的对应的答题区域内，写在试
2、题卷、草稿纸 答题卡上的非答题区域均无效.5、 考试结束后，请将答题卡上交.第卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，则集合（A）（B） （C） （D）（2）已知复数满足，则 （A）（B） （C） （D）（3）等差数列的前项和为，且，则公差等于（A） （B） （C） （D）（4）若非零向量，满足，则与的夹角为（A） （B） （C） （D）（5）某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，据此模型预测广告费用为万元时，销售轿车台数为 （A） （B） （C） （D）（6）
3、将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（A）函数的一条对称轴是 （B）函数的一个对称中心是 （C）函数的一条对称轴是 （D）函数的一个对称中心是 （7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A） （B） （C） （D）（8）执行下图的程序框图，若输入的为，则输出的为（A） （B） （C） （D）（9）三棱锥内接于半径为的球，过球心，当三棱锥 体积取得最大值时，三棱锥的表面积为（A） （B） （C） （D）（10）已知定义在上的奇函数满足，当时， ，则（A） （B） （C） （D）（11）已知点分别是双曲线的左右两焦点
4、， 过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以 为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率 的取值范围为（A） （B） （C） （D）（12）已知函数有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在直线上，则实数的取值范围为（A） （B） （C） （D）第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）（23）题为选考题，考生根据要求作答.二.填空题：本题共4小题，每小题5分.（13）展开式中的常数项是 （14）从这七个数中，随机抽取个不同的数，则这个数的和为偶数的概率是 （15）设直线：，圆：，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则的取值范围
5、是_（16）在中，其面积为，则的最大值是 三.解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在中，分别是角的对边，成等比数列，且（）求的大小；（）若，且，求的面积（18）（本小题满分12分）在某单位的职工食堂中，食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包，然后以元/个的价格出售如果当天卖不完，剩下的面包以元/个的价格卖给饲料加工厂根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示食堂某天购进了90个面包，以（单位：个，）表示面包的需求量，（单位：元）表示利润需求量/个0.0150.0250.02060 70 80 90 100 110 0频率/
6、组距（）求关于的函数解析式；（）根据直方图估计利润不少于元的概率；（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率)，求的分布列和数学期望（19）（本小题满分12分）如甲图所示，在矩形中，是的中点，将沿折起到位置，使平面平面，得到乙图所示的四棱锥（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，为的中点，且直线的斜率为（）求椭圆的方程；（）设另一直线与椭圆交于两点，原点到直线的距离为，求面积的最大值（
7、21）（本小题满分12分）设函数（）讨论函数的单调性；（）若函数有两个极值点，且，求证：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （）判断点与直线的位置关系并说明理由； （）设直线与曲线的两个交点分别为，求的值（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为（）解不等式：；（）若均为正实数，且满足，求证：高2014级第二次诊断性测试题（理工农医类）说明： 一、本解答给出了一种
8、解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题题号123456789101112答案CDBBCCBADBAA二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题（17）解：（）由是一个等比数列得：，所以由得，又（分）（）由得：， （分）当，由题意，所以由
9、正弦定理得：，故由勾股定理得：，（分）当时，由题意，所以由余弦定理得： ，（分）综上得：的面积：（18）（）由题意，当时，利润，当时，利润，即（分）（）由题意，设利润不少于100元为事件，由（）知，利润不少于100元时，即，即，由直方图可知，当时，所求概率：（分）（III）由题意，由于，故利润的取值可为：，且，（分）故的分布列为：利润的数学期望（分）（19）解：（）如下图，取中点，连，在中，又平面平面，平面，平面，即在中，易得，又，平面（分）（）由题意，取中点，以为坐标原点，分别以，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，则，由（）知：是平面的法向量，设平面的法向量为，则，令，则，设二面角的平面
10、角为，则，（分）由图可知，二面角的平面角为钝角，即：二面角的余弦值为（分）（20）解：（）由题意，直线与轴交于焦点：，设，则：，又，即椭圆的方程为：（分）（）由题意，当直线的斜率不存在时或者斜率为0时，易得；（分）当直线的斜率存在时且不为0时，设直线的方程为：，由题意，原点到直线的距离为，故，设交点的坐标分别为：，则：，由题意， ，当且仅当，即时等号成立，； 综上所述，当直线的斜率时，即时，面积的最大值（分）（21）解：（）函数的定义域为， 1分 2分令，则当时，,，从而，故函数在上单调递增；当时，,的两个根为，当时，此时，当函数单调递减;当函数单调递增当时，,此时函数在区间单调递增;当函数单
11、调递减综上: 当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间单调递增; 在区间函数单调递减; 当时，函数单调递减,函数单调递增（分）（）当函数有两个极值点时, ,且 即, 令 ,令,函数单调递增; 令,函数单调递减; ,（分）（22）选修4-4：坐标系与参数方程解：（）点在直线上，理由如下：直线，即，亦即，直线的直角坐标方程为，易知点在直线上（分）（）由题意，可得直线的参数方程为，曲线的普通方程为将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，设两根为，故与异号，（分）（23）选修4-5：不等式选讲解：（）因为，等价于，由有解，得，且其解集为又的解集为，故所以可化为：，当时，又，；当时，又，；当时，又，综上、得不等式的解集为：（分）（）证明：均为正实数，且满足，因为（当且仅当时，取“”），所以，即（分）
