1、 练案49高考大题规范解答系列(四)立体几何1(2019安徽黄山质检)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，且ADBC，四边形ABB1A1为正方形(1)求证：A1C平面AB1D；(2)若BAC60，BC4，求点A1到平面AB1D的距离解析(1)连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为A1B的中点，D是BC的中点，DEA1C，又DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面BCC1B1平面ABC，且BC为它们的交线，又ADBC，AD平面BCC1B1，又B1D平面BCC1B1，ADB1D，
2、且AD2，B1D2.同理可得，过D作DGAB，则DG面ABB1A1，且DG.设A1到平面AB1D的距离为h，由等体积法可得：VA1AB1DVDAA1B1，即ADDB1hAA1A1B1DG，即22h44，h.即点A1到平面AB1D的距离为.(注：本题也可建立空间直角坐标系用向量法求解)2(2019天津，17)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，CD2，AD3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH平面PAD；(2)求证：PA平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值解析(1)证明：连接BD，易知ACBDH
3、，BHDH.又由BGPG，故GHPD.又因为GH平面PAD，PD平面PAD，所以GH平面PAD.(2)取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DNPC，又因为平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA.又已知PACD，CDDND，所以PA平面PCD.(3)连接AN，由(2)中DN平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角因为PCD为等边三角形，CD2且N为PC的中点，所以DN.又DNAN，在RtAND中，sinDAN.所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.3(2018课标全国卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，
4、BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解析(1)由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，故PEPF.可得PH，EH.则H(0,0,0)，P(0,0，)，D(1，0)，(1，)，(0,0，)为平面ABFD的法向量设DP
5、与平面ABFD所成角为，则sin.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.4.在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，平面ABCD平面ABFE，AEBF，EAB90，ABBF1. (1)求证：DBEC；(2)若AEAB，求二面角CEFB的余弦值解析(1)因为底面ABFE为直角梯形，AEBF，EAB90，所以AEAB，BFAB.因为平面ABCD平面ABFE，平面ABCD平面ABFEAB，所以AE平面ABCD，BF平面ABCD，所以BFBC.设AEt，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(0,0,1)
6、，D(1,0,1)，E(1，t,0)，故(1,0，1)，(1，t,1)，因为(1,0，1)(1，t,1)110，所以DBEC.(2)由(1)可知(0,0,1)是平面BEF的一个法向量，设n(x1，y1，z1)是平面CEF的法向量，因为AEAB1，所以E(1,1,0)，又F(0,2,0)，故(1,1，1)，(0,2，1)由n(1,1，1)(x1，y1，z1)0可得x1y1z10，由n(0,2，1)(x1，y1，z1)0可得2y1z10，令z12，得y11，x11，故n(1,1,2)为平面CEF的一个法向量，所以cosn，即二面角CEFB的余弦值为.5(2019郑州模拟)如图1，在矩形ABCD中，
7、AB 1，AD2，点E为AD的中点，沿BE将ABE折起至PBE，如图2所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上(1)求证：BPCE；(2)求二面角BPCD的余弦值解析(1)点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，PO平面BCDE，POCE，由题意，易知BECE，又POBEO，CE平面PBE，BPCE.(2)以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，PO所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则B(，0)，C(，0)，D(，0)，P(0,0，)，(1,0,0)，(，)，(，)，(0,2,0)设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，则，即，
8、令z1，可得n1(0，)为平面PCD的一个法向量，设平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，则，即，令z2，可得n2(2,0，)，为平面PBC的一个法向量cosn1，n2，由图可知二面角BPCD为钝角，故二面角BPCD的余弦值为.6(2019河北衡水中学模拟)在ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，AB2BC2CD，以DE为折痕将ADE折起，使点A到点P的位置，如图2.(1)证明：平面BCP平面CEP；(2)若平面DEP平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值解析(1)证明：在题图1中，因为AB2BC2CD，且D为AB的中点由平面几何知识，得ACB90.又因为E为AC的中点，
9、所以DEBC，在题图2中，CEDE，PEDE，且CEPEE，所以DE平面CEP，所以BC平面CEP.又因为BC平面BCP，所以平面BCP平面CEP.(2)因为平面DEP平面BCED，平面DEP平面BCEDDE，EP平面DEP，EPDE.所以EP平面BCED.又因为CE平面BCED，所以EPCE.以E为坐标原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系在题图1中，设BC2a，则AB4a，AC2a，AECEa，DEa，则P(0,0，a)，D(a,0,0)，C(0，a,0)，B(2a，a,0)所以(a,0，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)设n(x，y，z)为平面BCP
10、的法向量，则即令y1，则z1.所以n(0,1,1)设DP与BCP平面所成的角为，则sin |cosn，|.所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为.7(2019吉林长春质检)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD中点，AE与BD交于O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P平面ABCE)(1)证明：平面POB平面ABCE；(2)若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角APEC的余弦值解析(1)证明：在PAE中，OPAE，在BAE中，OBAE，AE平面POB，AE平面ABCE，所以平面POB平面ABCE.(2)在平面POB内作PQOBQ，PQ平面ABCE.
11、直线PB与平面ABCE夹角为PBQ；又OPOB，OPOB，O、Q两点重合，即OP平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为P(0,0，)，E(，0,0)，C(1，0)，(，0，)，(，0)，设平面PCE的个法向量为n1(x，y，z)，则，即，设x，则y1，z1，n1(，1,1)，由题意得平面PAE的一个法向量n2(0,1,0)，设二面角APEC为，|cos |，即二面角APEC的余弦值为.8.(2019山东临沂模拟)如图，平面ABCD平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE1，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：A
12、E平面BCE；(2)线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由解析(1)BF平面ACE，AE平面ACE，BFAE，四边形ABCD是正方形，BCAB，平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CB平面ABE，AE平面ABE，CBAE，BFBCB，AE平面BCE.(2)线段AD上存在一点M，当AM时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为.证明：AE平面BCE，BE平面BCE，AEBE，在RtAEB中，AB2，AE1，ABE30，BAE60，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，设AMh，则0h2，AE1，BAE60，M(0,0，h)，E(，0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，所以(，h)，(，2)，设平面MCE的一个法向量n(x，y，z)，则，令z2，解得n(23h)，h2,2)，平面ABE的一个法向量m(0,0,1)，由题意可知cosm，n，解得h，所以当AM时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为.
