1、4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面
2、直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件化简可得： 引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。方程就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。
3、分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外（2）=，点在圆上（3），点在圆内例（2）： 的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。（教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自
4、己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出外接圆的标准方程的两种求法：、 根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本第1、3、4题提炼小结：1、 圆的标准方程。2、 点与圆的位置关系的判断方法。3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。作业：课本习题4.1第2、3、4题4.1.2圆的一般方程三维目标： 知识与技能： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件 (2)能通过配方等手段，
5、把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法：通过对方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：课题引入：问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然
6、有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(xa)2(yb)2=r2，圆心(a，b)，半径r把圆的标准方程展开，并整理：x2y22ax2bya2b2r2=0取得 这个方程是圆的方程反过来给出一个形如x2y2DxEyF=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2y2DxEyF=0配方得 (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ (1)当D2E24F0时，方程表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，即只表示一个点（-，
7、-）;（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程表示的曲线不一定是圆 只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)x2和y2的系数相同，不等于0没有xy这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。知识应用与解题研究：例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。学生自己分析探求解决途径：
8、、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的.例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 解：设所求的圆的方程为：在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出
9、使用待定系数法的一般步骤：、 根据提议，选择标准方程或一般方程；、 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；、 解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 上运动，所以点A的坐标满足方程,即 把代入，得 课堂练习：课堂练习第1、2、3题小结 ：1对方程的讨论(什么时候可以表示圆) 2与标准方程的互化 3用待定系数法求圆的方程 4求与圆有关的点的轨迹。课后作业：习题4.1第2、3、6题
