1、2.7.1二次根式教学目标知识与技能：1.了解二次根式和最简二次根式的概念.2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.过程与方法：在探究二次根式性质的基础上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.情感态度与价值观：在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.教学重难点【重点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【难点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.教学准备【教师准备】预设学习过程中学生会遇到的问题.【学生准备】复习平方根和开平方的概念,计算器的使用.教学过程一、导入新课导入一:问题1：5,11,7.2, 49121,(c+
2、b)(c-b)(其中b=24,c=25),上述式子有什么共同特征?【问题解决】都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.二次根式的定义:一般地,形如a(a0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.强调条件:a0.问题2：二次根式有哪些性质呢?这是我们本节课要解决的新问题.设计意图通过问题,回顾旧知识,为学习新知识打好基础.导入二:电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系r=2Rh,其中R是地球半径,R6400 km.若某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗?【问题探究】由于R6400 km,h=200 km,所以r=26400
3、200.那么如何快速计算26400200呢?二、 新知构建（1）活动探究【做一做】：(1)计算下列各式,你能得到什么猜想?49=,49=;49=,49=;2549=,2549=.(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流.67与67, 67与67.问题1：观察上面的结果,你得出什么结论?问题2：从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?【问题解决】ab=ab(a0,b0), ab=ab(a0, b0).积的算数平方根,等于算数平方根的积;商的算数平方根,等于算数平方根的商.设计意图最终归纳出ab=ab(a0,b0), ab=ab(a
4、0, b0).说明:公式中字母a0,b0(或b0)这一条件是公式的一部分,不可忽略.（2）例题讲解化简.(1)8164; (2)256; (3) 59.解析直接运用两个公式ab=ab(a0,b0), ab=ab(a0, b0)进行计算.解:(1)8164=8164=98=72.(2)256=256=56.(3) 59=59=53.观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?设计意图由于现在还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的形式呈现了有关结论.例1的化简结果56,53中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽
5、方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.化简.(1)50;(2) 27;(3) 13.解:(1)50=252=252=52.(2) 27=27=2777=147.(3) 13=1333=33.设计意图例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出哪些是最简的,哪些不是最简的,然后利用所学公式灵活的化为最简二次根式.【议一议】(1)你是怎么发现50的被开方数含有开得尽方的因数的?你是怎么判断147是最简二次根式的?(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会?与同伴进行交流.策略:对于较大的数,
6、我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=255,从而发现50含有开得尽方的因数,14=27,故判断147是最简二次根式.说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号.反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一部分移到了根号外面,具体来说是能开得尽方的因数,开方后写到了根号外面.从而明确:被开方数若有开得尽方的因数,一般需要进行化简.知识拓展对于二次根式应注意以下几点:(1)二次根式从形式上看,必须含有二次根号“”.(2)在二次根式a中,字母a必须满足a0,即被开方数必须是非负数,这是定义的一个重要组成部分,不可省略,因为负数没有平方根,所以当a0
7、).四、课堂练习1.化简.(1)45;(2) 89;(3) 12516.解:(1)45=95=95=35=35.(2) 89=89=423=423=223=223.(3)12516=12516=2554=2554=554=554.2.下列式子中,属于最简二次根式的是()A.9B.7C.20D.13解析:A.9 =3,C.20 = 25,D. 13= 33.故选B.3.一个直角三角形的两边长为4和5 ,则另一边长是多少?解:当另一边为斜边时,其边长为42+52=41,当另一边为直角边时,其边长为52-42=3.故边长为41或3.五、板书设计2.7.1二次根式1.ab=ab(a0,b0), ab=
8、ab(a0,b0).2.最简二次根式.例1例2六、布置作业（1）、教材作业【必做题】教材第64页随堂练习.【选做题】教材第65页习题2.9第3,4题.（2）、课后作业【基础巩固】1.化简下列各式.(1)436;(2)75;(3) 12;(4)112.2.化简(-3)2的结果是.3.若20n是整数,则正整数n的最小值为.【能力提升】4.下列二次根式中, 已经化成最简二次根式的是()A.15 B.20 C.22 D.1215.如图所示,长方形内相邻两正方形的面积分别为2和4,求长方形内阴影部分的面积.【拓展探究】6.观察下列各式:2-25= 85= 425=2 25; 3-310= 2710= 9
9、310=3 310猜想 5-526等于多少,并通过计算验证你的猜想.【答案与解析】1.解:(1)436=436=26=12.(2)75=253=53.(3) 12=1222=22.(4)112=123=13233=36.2.3(解析:(-3)2=3.)3.5(解析:20n=45n,所以n的最小值为5.)4.C(解析:根据最简二次根式的定义可得.)5.解:由题意,得AB=2,BE=CD=2,所以阴影部分的面积=BE(AB-CD)=2(2-2)=22-2.6.解: 5-526=5526 .验证: 5-526= 12526=25526=5526.教学反思本节课经历从具体实例到一般规律的探究过程,运用
10、类比的方法,得出实数运算律和运算法则,使学生清楚新旧知识的区别和联系.本节课对运算技能要求略高.根据新课标精神,对学生不能过分要求技巧,应关注学生对运算法则的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否依据算理正确地进行计算,能否确认结果的合理性等,对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进行运算.教学设计中要考虑学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.教材习题答案随堂练习(教材第42页)解:(1)32=162=162=42. (2)72=362=362=62.(3)127=12777=42172=2217.(4
11、)1.5=32=64=64=62.(5)15=15=525=525=55.习题2.9(教材第43页)1.解:(1)949=949=37=21.(2)167=167=47.(3)1225=4325=235.(4)27=93=93=33.(5)18=92=92=32.(6)313=3131313=39132=3913.(7)950=18100=18100=3210.(8)12=12=222=22.2.解:由勾股定理得另一条直角边的长=152-102=125=255=255=55(cm).3.解:面积为8的正方形的边长为8,面积为2的正方形的边长为2.由图形可以看出面积为8的正方形的边长是面积为2的
12、正方形的边长的2倍,所以有8=22.4.解:如图所示.线段AB的长等于20,理由:因为AC=4,BC=2,所以AB=AC2+BC2=42+22=20. 素材如何快速而准确地将二次根式化成最简二次根式?可分为以下两种情况考虑.(1)若被开方数是整数并且比较大时,可用小学学过的“短除法”先将被开方数分解成若干个因数的乘积,两个相同的因数开出一个因数,如化简1080,由于1080=2223335=2232235,所以1080=2232235=2330=630.(2)若被开方数是分数,且分母是质数,则利用分数的基本性质将分子、分母同时乘以分母,如化简 313=313=3131313=3913;若被开方
13、数是分数,且分母不是质数,则先将分母分解因数,再考虑分子、分母同乘以几,如化简 950=950=922522=3210. 观察下列各个二次根式:52-42,172-82,372-122,652-162(1)求,的值;(2)仿照,写出第个二次根式;(3)仿照,写出第n个二次根式,并化简.解析(1)根据二次根式的性质进行计算即可;(2)根据(1)中的规律写出第个二次根式即可;(3)根据(1)中的规律,用字母表示第n个二次根式,并化简.解:(1)原式=9=3;原式=225=15;原式=1225=35;原式=3969=63.(2)第个二次根式为1012-202.(3)第n个二次根式为(4n2+1)2-16n2(n1,且n为整数).(4n2+1)2-16n2=(4n2-4n+1)(4n2+4n+1)=(2n-1)2(2n+1)2=(2n-1)(2n+1)(n1,且n为整数).
