1、 热点题型探究 第课时 代数综合题 综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有一定难度的题目数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题;以几何知识为主体的综合题;代数、几何知识相结合的综合题以代数知识为主体的综合题,简称代数综合题,是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题“分析探求思路,优化实施解答,反思验证结论”是解代数综合题的基本过程,在这个过程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我,我中有你”,因此不易将它们作十分明显的分类为了复习方便,我们将其分为:方程不等式型、函数型类型一 方程不等式型典例
2、(重 庆)先 化 简,再 求 值:xx x()xxx,其 中 x是 不 等 式 组x,x的整数解【解析】将原式 括 号 中 的 第 一 项 分 母 利 用 平 方 差 公 式 分 解 因式,然后找出两分母的最简公分母,通分并利用同分母分式的减法法则计算,分子进行合并整理,同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式,然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分后即可得到结果,分别求出x 满足的不等式组,两个一元一次不等式的解 集,找 出 两 解 集 的 公 共 部 分 确 定 出 不 等 式 组 的 解集,在解集中找出整数解,即为x 的值,将x 的值代入化简后的式子中计算,即
3、可得到原式的值【全 解】原 式 x(x)(x)(x)(x)(x)()(x)xxx(x)(x)(x)xx(x)(x)(x)xxx又 x,x,由解得x,由解得x,不等式组的解集为x,其整数解为,当x时,原式【提醒】此题 考 查 了 分 式 的 化 简 求 值,以 及 一 元 一 次 不等式的解法,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,约分时分式的分子分母是多项式,应先将多项式分解因式后再约分典例(福建福州)某次知识竞赛共有道题,每一题答对得分,答错或不答都扣分()小明考了分,那么小明答对了多少道题?()小亮获得二等奖(分),请你算算小亮
4、答对了几道题?【解析】()设小明答对了x 道题,则有x 道 题 答 错 或 不答,根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是分,即可得到一个关于x 的方程,解方程即可求解;()类似的,答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分,即最后的得分满足大于或等于而小于或等于,据此得到关于x 的不等式组,从而求得x 的范围,再根据x 是非负整数即可求解【全解】()设小明答对了x 道题,依题意,得x(x)解得x小明答对了道题()设小亮答对了y 道题,依题意,得 y(y),y(y)因此不等式组的解集为 y y 是正整数,y或即小亮答对了道题或道题【提醒】本题 考 查 了 列 方 程 解 应 用 题,以 及 列
5、 一 元 一 次不等式解决问题,正确列式表示出最后的得分是关键类型二 函数型典例(福建莆田)如图,某种新型导弹从地面发射点L 处发射,在初始竖直加速飞行阶段,导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为y x x(x)发射s后,导弹到达点A,此时位于与点L 同一水平面的R 处雷达站测得AR 的距离是km,再过s后,导弹到达点B()求发射点L 与雷达站R 之间的距离;()当导弹到达点B 时,求雷达站测得的仰角(即BRL)的正切值【解析】()在解析式中,把 x 代 入 函 数 解 析 式,即 可 求 得AL 的长,在 RtALR 中,利用勾股定理即可求得LR 的长;()在解析式中,把x
6、代入函数解析式,即可求得 AL 的长,在直角BLR 中,根据正切函数的定义即可求解【全解】()当x时,y (km),在 RtALR 中,LRARAL (km)()当x时,BL ,在 RtBLR 中,tanBRLBLLR 【提醒】本题 是 二 次 函 数 与 三 角 函 数 的 综 合 应 用,正 确求得函数值,理解三角函数的定义是关键典例(北京)已知二次函数y(t)x(t)x 在x和x时的函数值相等()求二次函数的解析式;()若一次函数ykx的图象与二次函数的图象都经过点 A(,m),求 m 和k 的值;()设二次函数的图象与x 轴交于点B、C(点B 在点C 的左侧),将二次函数的图象在点B、
7、C 间的部分(含点B 和点C)向左平移n(n)个单位后得到的图象记为 G,同时将()中得到的直线ykx向上平移n 个单位请结合图象回答:当平移后的直线与图象G 有公共点时,n的取值范围【解析】()因为x和x时的函数值相等,所以根据对称轴x 可求出t值,从而求出二次函数的解析式;()把点A 的坐标代入抛物线解析式,即可求出m,把点A 的坐标代入直线解析式,即可求出k;()求出点B、C 间的部分图象的解析式是y (x)(x),得出抛物线平移后得出的图象G 的解析式是y (xn)(xn),nxn,直线平移后的解析式是yxn,若两图象有一个交点时,得出方程xn (xn)(xn)有两个相等的实数解,判别
8、式 n,求出的n 的值与已知n相矛盾,得出平移后的直线与抛物线有两个公共点,设两个临界的交点为(n,),(n,),代入直线的解析式,求出n 的值,即可得出答案【全解】()由题意可知依二次函数图象的对称轴为x,则(t)(t),t y xx ()二次函数图象必经过点 A,m ()()又 一次函数ykx的图象经过点 A,k k,即 m,k()由 题 意 可 知,点 B、C 间 的 部 分 图 象 的 解 析 式 为y (x)(x),x,则抛物线向左平移后得到的图象G 的解析式为y (xn)(xn),nxn此时直线平移后的解析式为yxn如果平移后的直线与平移后的二次函数相切,则方程xn (xn)(xn
9、)有两个相等的实数解,即 x(n)x n 有两个相等的实数解判 别 式 (n )()n()n,即n,与已知n相矛盾,平移后的直线与平移后的抛物线不相切 结合图象可知,平移后的直线与抛物线 G 有两个公共点,则这两个临界的交点为(n,)与(n,),则(n)n,得n (n)n,得n即n的取值范围是 n【提醒】前两问比较简单,第三问有一定难度,对于函数图象平移的理解,以及对于直线与抛物线位置关系的运用要求比较高此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标,带入直线解析式即可得到n的取值范围 热点题型探究 (甘肃兰州)已知x 是一元二次方程xx的根,求代数式 xxx x x()的值(广东珠
10、海)某商店第一次用元购进B铅笔若干支,第二次又用 元购进该款铅笔,但这次每支 的 进 价是第一次进价的 倍,购进数量比第一次少了支()求第一次每支铅笔的进价是多少元?()若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于元,问每支售价至少是多少元?(贵州铜仁)为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进 A、B 两种艺术节纪念品若购进 A 种纪念品件,B 种纪念品件,需要元;若购进A 种纪念品件,B 种纪念品件,需要元()求购进 A、B 两种纪念品每件各需多少元?()若该商店决定购进这两种纪念品共件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这件纪念品的资金不少于元,但不超过元,那么该商店共有几
11、种进货方案?()若销售每件 A 种纪念品可获利润元,每件B 种纪念品可获利润元,在第()问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?(福 建 厦 门)如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 中,已 知 点A(,),B(,),连接 AB如果点 P 在直线yx上,且点 P 到直线AB 的距离小于,那么称点 P 是线段AB的“临近点”()判断点C ,()是否是线段 AB 的“临近点”,并说明理由;()若 点 Q(m,n)是 线 段 AB 的“临 近 点”,求 m 的 取 值范围(第题)(贵州黔东南州)如图,已知抛物线经过点 A(,),B(,),C(,)三点()求抛物线的解析式;()点
12、M 是线 段BC 上 的 点(不 与 B、C 重 合),过 点 M 作MNy 轴交抛物线于点 N,若点 M 的横坐标为m,请用 m 的代数式表示 MN 的长;()在()的条件下,连接 NB、NC,是否存在 m,使 BNC的面积最 大?若 存 在,求 m 的 值;若 不 存 在,请 说 明理由(第题)【基础达标】(江苏南京)化简代数式 xxxxx,并判断当x 满足不等式组 x,(x)时该代数式的符号(福建南安)某校九年级举行数学竞赛,派了两位老师去某超市购买笔记本作为奖品已知该超市 A、B 两种笔记本的价格分别是每本元和元,他们准备购买这两种笔记本共本()如果他们计划用元购买奖品,那么能买这两种
13、笔记本各多少本?()两位老师根据比赛的设奖情况,决定购买 A 种笔记本的数量不少于B 种笔记本数量的 ,请你帮他们分析:购买这两种笔记本各多少本时,花费最少,此时的花费是多少元?(河 南)某 中 学 计 划 购 买 A 型 和B 型 课 桌 凳 共 套,经招标,购买一套 A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用 元,且 购 买 套 A 型 和 套 B 型 课 桌 凳 共 需元()求购买 一 套 A 型 课 桌 凳 和 一 套B 型 课 桌 凳 各 需 多 少元?()学校根据实际情 况,要 求 购 买 这 两 种 课 桌 凳 总 费 用 不能超过元,并且购买 A 型课桌凳的数量不能超过B 型课桌凳
14、的 ,求该校本次购买 A 型和B 型课桌凳共有几种方案?哪种方案的总费用最低?【综合拓展】(山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,A、B 两点的纵坐标分别为和,直线AB 与y轴所夹锐角为求:()线段 AB 的长;()经过 A、B 两点的反比例函数的解析式(第题)原式xx(x)xxxx(x)x(x)(x)x(x)当x时,原式 设每支铅笔的进价为x 元,由题意,得方程x x,解得x经检验:x是原方程的根()设每支售 价 为 y 元,第 一 次 购 买(支),第二次购买(支)得()y解得y即每支售价至少是元()设该商店购进一件 A 种纪念品需要a 元,购进一件B 种纪念品需要b 元,根据题意,得 ab
15、,ab解得 a,b 购进一件 A 种纪念品需要元,购进一件 B种纪念品需要元()设该商店购进 A 种纪念品x 个,则购进 B 种纪念品有(x)个 x(x),x(x)解得x x 为正整数,共有种进货方案()因为B 种纪念品利润较高,故B 种数量越多总利润越高,因此选择购 A 种件,B 种件总利润(元)当购进 A 种 纪 念 品 件,B 种 纪 念 品 件时,可获最大利润,最大利润是元()点C ,()是线段 AB 的“临近点”理由:点 P 到直线AB 的距离小于,A、B 的纵坐标都是,ABx 轴,当纵坐标y 在y范围内时,点C 是线段AB 的“临近点”点C 的坐标是,(),y ,且小于 点C ,(
16、)是线段 AB 的“临近点”()由()知线段 AB 的“临 近 点”的 纵 坐 标 的 范 围是y,把y代入yx,得x,把y代入yx,得x,x 点 Q(m,n)是线段 AB 的“临近点”,m 的取值范围是m()设抛物线的解析式为ya(x)(x),则a()(),a;抛 物 线 的 解 析 式 为 y (x)(x)xx()设直线BC 的解析式为为ykxb,则有kb,b解得 k,b故直线BC 的解析式为yx已知点 M 的横坐标为m,则 M(m,m),N(m,mm)MNmm(m)mm(m)()SBNC SMNC SMNB MN(ODDB)MNOB,SBNC (mm)m()(m)当m 时,BNC 的面积
17、最大,最大值为【课后精练】xxxxx(x)(x)x(x)xxxx解不等式组 x,()(x)()解不等式(),得x解不等式(),得x所以不等式组的解集是x当x时,x,x,所以xx,即该代数式的符号为负号()设能买 A 种笔记本x 本,B 种笔记本y 本,依题意,得 xy,xy解得 x,y,即能买 A 种笔记本本,B 种笔记本本()设购买 A 种笔记本x 本时共花费 W 元,则W x(x)x依题意,有x (x),解得x在 W x中,W 随x 的增大而增大,又x 为整数,当x时,W 最小(元),即购买 A 种笔记本本,B 种笔记本本时,花费最少,此时的花费是元()设 A 型每套x 元,B 型每套(x
18、)元,x(x)x,x,即购买一 套 A 型 课 桌 凳 和 一 套 B 型 课 桌 凳 各 需元和元()设购 买 A 型 课 桌 凳a 套,则 购 买 B 型 课 桌 凳(a)套,a (a),a(a)解得a a为整数,所以a,所以共有种方案设购买课桌凳总费用为y 元,则,y 随a 的增大而减小,第课时 代数综合题【当堂过关】xx,xx 当a时,总费用最低,此时a,即总费用最低方案是购买A 型套,购买B 型套()分别过点 A、B 作ACx 轴,BDAC,垂足分别为C、D,由题意,知BAC,AD,AB ADcos()设过 A、B 两点的反比例函数解析式为y kx,点 A 的坐标为(m,),(第题)BDADtan,点B 的坐标为(m,)mk,(m)k解得k 故解析式为y x
