1、第四章函数应用课时作业20函数与方程时间：45分钟基础巩固类一、选择题1函数f(x)x34x的零点为(C)A(0,0)，(2,0) B(2,0)，(0,0)，(2,0)C2,0,2 D0,2解析：令f(x)0，得x(x2)(x2)0，解得x0或x2，故选C.2函数f(x)x33x5的零点所在的区间为(A)A(1,2) B(0,1)C(1,0) D(2，1)解析：由题意，知f(2)19，f(1)9，f(0)5，f(1)1，f(2)9，因为f(1)f(2)90，无法判断f(x)在1,2上是否有零点；对于B: f(1)9，f(2)7，f(1)f(2)0，同选项A一样，无法判断；对于C: f(1)3，
2、f(2)ln2，f(1)f(2)0，同选项A、B一样，无法判断；对于D: f(1)e3，f(2)e2，f(1)f(2)9且a0 Ba9Ca0或a9且a0.6已知函数f(x)2ax4，若在区间2,1上存在零点x0，则实数a的取值范围是(A)A(，21，)B1,2C1,4D2,1解析：由题设条件知f(2)f(1)0，(4a4)(2a4)0，即(a1)(a2)0，a2或a1.7函数f(x)是1,1上的增函数，且f()f()0，则方程f(x)0在1,1内(C)A可能有3个实数根 B可能有2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根解析：f(x)在1,1上是增函数，且f()f()0，f(x)0在，上有唯一实
3、根，f(x)0在1,1上有唯一实根8已知a是函数f(x)3xlogx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足(A)Af(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定解析：因为f(x)3xlogx3xlog3x，所以f(x)在(0，)上是递增的又因为0x0a，所以f(x0)f(a)0.故选A.二、填空题9已知函数f(x)3mx4，若在区间2,0上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是.解析：因为函数f(x)在2,0上存在零点x0使f(x0)0，且f(x)单调，所以f(2)f(0)0，所以(6m4)(4)0，解得m.所以，实数m的取值范围是.10关于x的方程mx22x10至少有一个负根
4、，则m的取值范围为m1.解析：m0时，x适合题意m0时，应有m0或解得m0或0m1.综合可得，m1.11已知f(x)mx2(4m1)x4m1的图像与x轴没有交点，则m的取值范围为m.解析：函数f(x)的图像与x轴没有交点，即函数f(x)没有零点，亦即方程f(x)0没有实根，显然m0，故判别式(4m1)24m(4m1)0，解得m.故当m0，所以2x1x0，即函数y4x32x4的零点是0.(2)设g(x)x2|x|3，则g(x)画出其图像如图：f(x)有4个零点，即方程g(x)a0有4个实根，即yg(x)与ya有4个交点，由图知a3，解得3a.13求证：方程3x在(0,1)内必有一个实数解证明：设
5、函数f(x)3x，即f(x)3x1.易知函数f(x)在0,1上是增函数f(0)3010，f(0)f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点，即方程3x在(0,1)内必有一个实数解能力提升类14已知函数f(x)若方程f(x)2有两个解，则实数a的取值范围是(C)A(，2) B(，2C(，5) D(，5解析：画出分段函数的图像(略)，可知x1时，f(x)2必有一解，为xe，所以只需x1时，f(x)2有一解即可，即x24xa2在(，1)上有一个解，所以14a2，解得a5.15(1)指出方程x32x10的正根所在的大致区间；(2)求证：方程x33x10的根一个在区间(2，1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内解：解答本题的关键是寻找合适的a、b使得f(a)f(b)0.(1)方程x32x10，即x32x1，令F(x)x32x1，f(x)x3，g(x)2x1在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)和g(x)的图像如图，显然它们在第一象限只有1个交点，两函数图像交点的横坐标就是方程的解又F(1)20，方程的正根在区间(1,2)内(2)证明：令G(x)x33x1，它的图像一定是连续的，又G(2)86110，方程x33x10的一根在区间(2，1)内同理可以验证G(0)G(1)1(1)10，G(1)G(2)(1)330，方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内
