1、专题04 导 数【高考基本内容】导数及应用，定积分与微积分【湖北四年考题】1.【2012高考湖北卷理第3题】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为yxOA B C D 解析：根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.2.【2013高考湖北卷第7题】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（ ）A. B. C. D. 【解析与答案】令 ，则。汽车刹车的距离是，故选C。3.【2013高考湖北卷理第10题】已知为常数，函数有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 【解析与答案】令得
2、，又，故选D4. 【2014高考湖北卷理第6题】若函数、满足，则称、在区间上的一组正交函数，给出三组函数：；.其中为区间的正交函数的组数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3来源所以满足条件的正交函数有2组，故选C.5.【2013高考湖北卷理第22题】设是正整数，为正有理数。（I）求函数的最小值；（II）证明：；（III）设，记为不小于的最小整数，例如，。令，求的值。（参考数据：，）证明：（I）在上单减，在上单增（II）由（I）知：当时，（就是伯努利不等式了）所证不等式即为：若，则 ，故式成立。若，显然成立。 ，故式成立。综上可得原不等式成立。（III）由（II）可知：当时， 故S2116.
3、【2014高考湖北理第22题】为圆周率，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求，这6个数中的最大数与最小数；（3）将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.试题解析：（1）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；故函数的单调增区间为，单调减区间为.【考向专项例析】一、 导数的运算问题 已知是的导函数，则 二、 利用单调区间求参数范围1、函数在（）存在单调递增区间，则取值范围是 2、已知函数，（1）求函数的单调区间； （2）设函数存在实数使得成立，求实数的取值范围。三、 求函数的极值、最值1、已知函数 （1）若，求函数的极小值； （2）试问
4、：对某个实数，方程在上是否存在三个不相等的实根？若存在，求出实数的范围；若不存在请说明理由。2、 已知二次函数满足且的最小值是，（1） 求的解析式（2） 设求的最大值及相应的值（3） 对任意正数，恒有求实数的取值范围四、 利用导数解决应用问题中的最优化问题某小区有一片边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中AOC部分是一片泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AC相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分，现以点O为坐标原点，以线段OC所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边AC满足函数的图像，且点M到池边OA的距离为（0t2）(1) 当时，求过点M的直路的方程(2) 当
5、为何值时，地块OABC在直路右上方不含泳池一侧的面积最大，并求出最大面积。五、 利用导数研究一元、二元、正整数不等式问题1、已知函数，当时，函数有极大值（1） 求实数的值（2） 若存在，使得成立，求实数的取值范围2、已知函数，若曲线在点（1，）处的切线平行于轴。（1）求实数的值。（2）函数恰好有两个零点求函数的单调区间及实数的取值范围求证：3、 设函数（1）若函数在（2，4）上存在极值，求的取值范围（2）若函数在上为增函数，求的取值范围（3）求证：当,且时六、定积分求曲边图形的面积 由曲线和直线所围成的平面图形的面积是（ ） A.1 B. C. D.【高考真题自测】1.【2014江西高考理第8
6、题】若则（ ）A. B. C. D.12. 【2014江西高考理第14题】若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是_.3. 【2014辽宁高考理第11题】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D4. 【2014大纲高考理第7题】曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A B C2 D15. 【2014高考江苏卷第11题】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .【解析】曲线过点，则，又，所以，由解得所以6. 【2014高考广东卷理第10题】曲线在点处的切线方程为 .7. 【2014全国2高考理第8题】设曲线y=ax-ln(x+1)在点
7、(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 【2014全国2高考理第12题】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D.9. 【2014山东高考理第6题】 直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D.410. 【2014陕西高考理第3题】定积分的值为（ ） 11. 【2014高考江苏第19题】已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.，当时，即在区间上是增函数，
8、因此已知条件12. 【2014高考安徽卷第18题】设函数,其中.（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.13. 【2014高考北京理第18题】已知函数.（1）求证：；（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值.试题分析：（1）求，由，判断出，得出函数在上单调递减，从而所以，若对恒成立，则的最大值为与的最小值1.考点：导数法求函数的单调性，恒成立、分类讨论.14. 【2014高考大纲理第22题】函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.15. 【2014高考福建理第20题】已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极
9、值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.（III）对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.由（II）得到函数的单调性当时,即可找到符合题意.当时.通过等价转化,等价于不等式恒成立问题,再对通过估算得到的值.即可得到结论.16. 【2014高考广东理第21题】设函数，其中.（1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论函数在上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）.来源:Z.xx.k.Com17. 【2014高考湖南理第22题】已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围. (2)函数的定义域为,由
10、(1)可得当时,则 ,即,则为函数的两个极值点,代入可得18. 【2014高考江苏第23题】已知函数，设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意，等式都成立.试题分析：（1）本题首先考查复合函数的求导，如；（2）要找到式子的规律，当然主要是找式子的规律，为了达到此目标，我们让看看有什么特点，由（1）学科网，对这个式子两边求导可得，再求导，由引可归纳出，从上面过程还可看出应该用数学归纳法证明这个结论.19. 【2014高考江西理第18题】已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间上单调递增，求b的取值范围.20. 【2014高考辽宁理第21题】已知函数，.证明：（）存在唯一，使；()存在唯
11、一，使，且对（1）中的.试题分析：（）当时，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.（）考虑函数，令，则时，来源:学。科。网Z。X。X。K考点：1.零点唯一性的判断；2.函数的单调性的应用.来源:学科网21. 【2014高考全国1第21题】设函数，曲线在点处的切线方程为（I）求（II）证明：22. 【2014高考全国2第21题】已知函数=.（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）本小题主要考查利用导数研究函数的学科网单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导
12、数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.23. 【2014高考山东卷第20题】设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.当时，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.24. 【2014高考陕西第21题】设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.因为，所以，即，所以函数在上单调递减所以，即所以不恒成立综上所述，实数的取值范围为25. 【2014高考四川第21题】已知函数，其中，为自然对数的底数.（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小
13、值；（）若，函数在区间内有零点，求的取值范围试题分析：（）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（）设为在区间内的一个零点，注意到此时，在上单调递减，在上单调递增，26. 【2014高考天津第20题】已知函数，已知函数有两个零点，且（）求的取值范围；（）证明随着的减小而增大；（）证明随着的减小而增大对于任意的，设，其中；，其中在上单调递增，故由，即，可得；类似可得又由，得随着的减小而增大27.【2014高考浙江理第22题】已知函数（1） 若在上的最大值和最小值分别记为，求；（2） 设若对恒成立，求的取值范围.试题分析：（）若在上的最大值和最小值分别记为，求，由函数（II）令，则，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由（I）知，28.【2014高考重庆理科第20题】已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（）确定的值； （）若，判断的单调性；（）若有极值，求的取值范围.试题分析：（）由因为是偶函数，所以，又曲线在点处的切线的斜率为，所以有，利用以上两条件列方程组可解的值；（）由（），当时，利用的符号判断的单调性；（）要使函数有极值，必须有零点，由于，所以可以对的取值分类讨论，得到时满足条件的的取值范围.
