1、北京第43中学2020-2021学年度第二学期高二数学期中试卷A 一、选择题（共10小题；共40分）1. 若集合 M=xx4，则 MN 等于 A. 2,3B. ,2C. 2,3D. ,22,3 2. 在复平面内，复数对应的点位于 i1+i A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 在等差数列 an 中，若 a3+a7=10，a6=7，则公差 d= A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 在等比数列 an 中，首项 a1=12，公比 q=12，an=132，则项数 n 为 A. 3B. 4C. 5D. 6 5. 已知向量 a=1,2，b=2,x，a+b 与 b 平行，则实数
2、 x 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知圆的方程是 x2+y22x8=0，则该圆的圆心坐标及半径分别为 A. 1,0 与 9B. 1,0 与 9C. 1,0 与 3D. 1,0 与 3 7. 已知椭圆与双曲线 x24y212=1 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10，那么椭圆的离心率等于 A. 35B. 45C. 54D. 34 8. 已知在 10 支铅笔中，有 8 支正品，2 支次品，从中任取 2 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是 A. 15B. 845C. 89D. 45 9. 端午节放假，甲回老家过节的概率为 13，乙、丙回老
3、家过节的概率分别为 14，15假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少 1 人回老家过节的概率为 A. 5960B. 35C. 12D. 160 10. 数列 an:1,1,2,3,5,8,13,21,34,，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和即：an+2=an+1+an记该数列 an 的前 n 项和为 Sn，则下列结论正确的是 A. S2019=a2020+2B. S2019=a2021+2C. S2019=a20201D. S2019=a20211 二、填空题（共5小
4、题；共25分）11. 设复数 z=12i，（i 是虚数单位），则 z= 12. 在 12x6 的二项展开式中，x3 项的系数为 （用数字作答） 13. 已知数列 an 中，an+1=2an 对 nN* 成立，且 a3=12，则 a1= 14. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a5=5，S5=15，则数列 1anan+1 的前 100 项和为 15. 已知数列 an 的通项公式为 an=2n1，把 an 中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵：135791113151719（1）数阵中第 5 行所有项的和为 ；（2）2019 在数阵中第 i 行的第 j 列，则 i+j= 三
5、、解答题（共6小题；共85分）16. 设等差数列当 an 满足：a3=5，a10=9（1）求 an 的通项公式；（2）求 an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值 17. 等差数列 an 中，a2=4，a4+a7=15（1）求数列 an 的通项公式；（2）设 bn=2an2+n，求 b1+b2+b3+b10 的值 18. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 BB1 的中点（1）求证：BC1平面AD1E；（2）求直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值 19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 63，椭圆 C 上任意一点到椭圆两
6、个焦点的距离之和为 6（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 l:y=kx2 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 P0,1，且 PA=PB，求直线 l 的方程 20. 图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留 2 天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明） 21. 已知数列 an 为等差数列，且满
7、足 a2=0，a6=12，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，且 b1=1，bn+1=2Sn+1（1）求数列 an 的通项公式；（2）证明：bn 是等比数列，并求 bn 的通项公式；（3）若对任意的 nN+，不等式 kSn+12an 恒成立，求实数 k 的取值范围答案第一部分1. D2. A3. B【解析】在等差数列 an 中，因为 a3+a7=10，a6=7，所以 a1+2d+a1+6d=10,a1+5d=7, 解得 a1=3,d=2.4. C5. D【解析】由已知 a+b=3,2+x，又 a+bb，所以 3x=22+x，解得：a=4，故选：D6. D【解析】根据题意，圆的方程是 x2+y2
8、2x8=0，即 x12+y2=9，其圆心为 1,0，半径 r=37. B【解析】双曲线 x24y212=1 的焦点为 4+12,0，即为 4,0，即有椭圆的 c=4，由椭圆的定义可得 2a=10，可得 a=5，则椭圆的离心率为 e=ca=458. C【解析】记事件 A，B 分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则 AB 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，故 PBA=PABPA=2810929109=899. B【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件 A，B，C，则 PA=13，PB=14，PC=15，所以 PA=23，PB=34，PC=45由题知 A，B，C 为相互独立事件，所以三人
9、都不回老家过节的概率 PABC=PAPBPC=233445=25，所以至少有一人回老家过节的概率 P=125=3510. D【解析】因为 Sn=a1+a2+a3+an=a3a2+a4a3+a5a4+a6a5+an+2an+1=an+2a2=an+21. 所以 S2019=a20211第二部分11. 512. 16013. 3【解析】因为 12=a3=2a2，所以 a2=6因为 6=a2=2a1，所以 a1=314. 100101【解析】设等差数列的公差为 d，由题意可得，a1+4d=5,5a1+10d=15, 解方程可得，d=1，a1=1，由等差数列的通项公式可得： an=a1+n1d=1+n
10、11=n. 1anan+1=1nn+1=1n1n+1, S100=112+1213+11001101=11101=100101.15. 125，65【解析】（1）第 5 行的 5 个数依次为 21，23，25，27，29，其和为 21+2952=125（2）令 2n1=2019，得 n=1010，故 2019 是数列 an 中的第 1010 项又数阵的前 44 行共有 1+44442=990 个数，前 45 行共有 1+45452=1035 个数，故数列 an 的第 1010 项在第 45 行，即 i=45，又 1010990=20，故 2019 是第 45 行的第 20 个数，即 j=20故
11、计 i+j=65第三部分16. （1） 由 an=a1+n1d 及 a3=5，a10=9 得 a1+2d=5,a1+9d=9, 解得 a1=9,d=2. 所以数列 an 的通项公式为 an=112n（2） 由（1）知 Sn=na1+nn12d=10nn2因为 Sn=n52+25，所以当 n=5 时，Sn 取得最大值17. （1） 设等差数列 an 的公差为 d，由已知得 a1+d=4,a1+3d+a1+6d=15. 解得 a1=3,d=1. 所以 an=a1+n1d=n+2（2） 由（1）可得 bn=2n+n，所以 b1+b2+b3+b10=2+1+22+2+23+3+210+10=2+22+
12、23+210+1+2+3+10=2121012+1+10102=2112+55=211+53=2101.18. （1） 如下图所示：在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABA1B1 且 AB=A1B1，A1B1C1D1 且 A1B1=C1D1，所以 ABC1D1 且 AB=C1D1，所以，四边形 ABC1D1 为平行四边形，则 BC1AD1，因为 BC1平面AD1E，AD1平面AD1E，所以 BC1平面AD1E（2） 以点 A 为坐标原点，AD，AB，AA1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 Axyz设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，则 A0,0
13、,0，A10,0,2，D12,0,2，E0,2,1， AD1=2,0,2，AE=0,2,1，设平面 AD1E 的法向量为 n=x,y,z，由 nAD1=0,nAE=0, 得 2x+2z=0,2y+z=0, 令 z=2，则 x=2，y=1，则 n=2,1,2 cosn,AA1=nAA1nAA1=432=23因此，直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值为 2319. （1） 由已知 2a=6，ca=63，解得 a=3，c=6，所以 b2=a2c2=3，所以椭圆 C 的方程为x29+y23=1.（2） 由 x29+y23=1，y=kx2， 得，1+3k2x212kx+3=0，直线与椭圆有两个
14、不同的交点，所以=144k2121+3k20,解得k219.设 Ax1,y1,Bx2,y2，则 x1+x2=12k1+3k2，x1x2=31+3k2，计算y1+y2=kx1+x24=k12k1+3k24=41+3k2,所以 A，B 中点坐标为 E6k1+3k2,21+3k2，因为 PA=PB，所以 PEAB，kPEkAB=1，所以21+3k216k1+3k2k=1,解得 k=1，经检验，符合题意，所以直线 l 的方程为xy2=0或x+y+2=0.20. （1） 设 Ai 表示事件“此人于3月 i 日到达该市”i=1,2,13根据题意，PAi=113，且 AiAj=ij设 B 为事件“此人到达当
15、日空气重度污染”，则 B=A5A8，所以 PB=PA5A8=PA5+PA8=213（2） 由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2，且 PX=1=PA3A6A7A11=PA3+PA6+PA7+PA11=413, PX=2=PA1A2A12A13=PA1+PA2+PA12+PA13=413, PX=0=1PX=1PX=2=513，所以 X 的分布列为 X012P513413413 故 X 的期望 EX=0513+1413+2413=1213（3） 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大21. （1） 设等差数列 an 的公差为 d，因为 a6a2=4d=12，所以 d=3，所以 an=
16、a2+n2d，即 an=3n6（2） 因为 bn+1=2Sn+1，所以 bn=2Sn1+1n2，所以 bn+1bn=2SnSn1，所以 bn+1=3bnn2又 b2=2S1+1=3， b2=3b1 也成立，所以 bn 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 bn=3n1（3） Sn=13n13=3n12，所以 k3n12+123n6 对 nN+ 恒成立，即 k6n23n 对 nN+ 恒成立令 cn=n23n，则 cncn1=n23nn33n1=2n+73n（n2 且 nN+），当 n3 且 nN+ 时，cncn1，当 n4 且 nN+ 时，cncn1，所以 cnmax=c3=127，故 k6c3=29，即 k 的取值范围为 29,+
