1、北京市第十三中学20202021学年第一学期高三年级数学开学测试题2020年8月本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷从第1页至第3页：第卷从第3页至第5页；答题纸从第1页至第4页.共150分，考试时间120分钟。请在答题纸规定处书写班级、姓名、准考证号。考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回。第卷（共40分）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.各题均有四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.设复数，则复数（ ）A.B.C.D.2.的展开式中，的系数等于（ ）A.80B.40C.20D.103.投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是.设事件，则下
2、列结论中正确的是（ ）A.A，C为对立事件B.A，B为对立事件C.A，C为互斥事件，但不是对立事件D.A，B为互斥事件，但不是对立事件4.设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）A.2，2B.2，2C.5，3D.5，35.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（ ）A.B.C.D.6.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示，若该处高速公路规定正常行驶速度为，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）A.30辆B
3、.300辆C.170辆D.1700辆7.若，则下列命题正确的是（ ）A.B.C.D.8.右图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图.设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（ ）（注：标准差，其中为的平均数）1组2组36785468160102723A.，B.，C.，D.，9.教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ）A.84B.42C.41D.3510.已知函数，若同时满足条件：，为的一个极大值点；，.则实数a的取值范围是（ ）A.B.C.D.第卷（共110分）二.填空题（本大
4、题共6小题，每小题5分，满分30分.）11.若复数z满足，则_.12.在100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件求第1次抽出的是次品，第2次抽出正品的概率是_.13.二项式的展开式中，常数项等于_；二项式系数和为_.14.同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量表示结果中有正面向上，表示结果中没有正面向上，则_.15.学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为_.16.已知函数.（1）函数的最大值等于_；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是_.三、解答题（本大题共6小题，满分80分）17，（本小题13分）已知函数，其中a为实数.（）
5、求导函数；（）若，求在上的最大值和最小值；18.（本小题13分）某校为举办甲乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二、为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（）分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率：（）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除
6、一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小.（结论不要求证明）19.（本小题满分13分）2019年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿.微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间.为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率0至5个006至10个300.311至15个300.316至20个ac20个以上5b合计1001（）求a，b，c的值；（）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的
7、概率；（）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望.20.（本小题满分13分）已知函数.（）求的单调区间；（）若对所有都有，求实数a的取值范围.21.（本小题满分14分）甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.（）求乙得分的分布列和数学期望；（）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.22.（本小题
8、14分）已知函数，其中.（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（）如果对于任意，且，都有，求a的取值范围.北京市十三中20202021学年第一学期高三数学开学测试答案及评分标准第卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号12345答案BBCAD题号678910答案DBABA第卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 12. 13.-540，64 14. 15.2 16.，1三、解答题（本大题共6小题，满分80分）17.（本题满分13分）解：（）2分（）3分4分5分由可得或6分当x变化时，变化如下表：x21300极大值极小值9
9、分又，12分在上的最小值为3，最大值为3213分18.（本题满分13分）（）设男生、女生支持方案一的事件分别为A、B，1分则，3分答：估计该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为.4分（）设从全体男生中取的2人支持方案一分别为事件、，从全体女生中抽取的1人支持方案一为事件D；这3人中恰有2人支持方案一为事件M5分事件、D相互独立6分9分答：估计3人中恰有2人支持方案一的概率为.10分（）13分19.（本题满分13分）解：（）解得，.3分（）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则.所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为7分（）依题意可知，微信群个数超过15个
10、的概率为.X的所有可能取值0，1，2，3.8分则，.10分其分布列如下：X0123P11分所以，.13分20.（本题满分13分）解：（1）定义域为，1分.3分令解得；令解得；5分所以在的单调递减，在单调递增.6分（）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.7分令，即8分，10分当时，因为，11分故是上的增函数，12分所以，所以a的取值范围是.13分21.（本题满分14分）（）解：设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为15，0，15，30.1分；.5分乙得分的分布列如下：X1501530P6分.8分（）由己知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B.9分则，11分.12分故甲乙两人至少有一人入选的概率.14分22.（本题满分14分）（）解：由题意，得，其中，2分所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为.4分（）解：先考察函数，的图象，配方得，5分所以函数在上单调递增，在单调递减，且6分因为对于任意，且，都有成立，所以.8分以下考察函数，的图象，则，令，解得.10分随着x变化时，和的变化情况如下：x0即函数在上单调递减，在上单调递增，且.12分因为对于任意，且，都有成立，所以.13分因为（即），所以a的取值范围为.14分
