1、北京市第五十五中学20192019学年度第一学期期中测试高三数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合，则等于（ ）ABCD【答案】D【解析】，选择2下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于，不是偶函数；对于，不是偶函数；对于，为偶函数，且在上单调递减；对于，为偶函数，但为增函数选择3若实数，满足约束条件，则目标函数的最大值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】满足条件的区域如下图所示：由得，结合图象，平移经过时，直线纵截距最大，此时最大，选择4使得函数有零点的
2、一个区间是（ ）ABCD【答案】C【解析】，当时，在上为单调增函数，根据零点存在定理知，选择5“，”是“数列为等比数列”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则满足，但不是等比数列，充分性不成立，反之若数列为等比数列，则满足，必要性成立，为必要不充分条件，选择6若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】先看，时，当时，为减函数；当时，为增函数；无法判断，和的大小；再看，在上单调递减，选择7已知函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离为，且，则对于区间内的任意实数，的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】图像相邻两条对称轴之间的距离为，的周期，时
3、，的最大值为选择8某地实行阶梯电价，以日历年（每年月日至月日）为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过度（度千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电元；全年超过度至度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电元；全年超过度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电元下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有（ ）参考数据：元/度度元，元/度度元元线段左侧阴影部分的面积表示年用电量为度时的电费ABCD【答案】B【解析】依题意，全年用电在之间，分两段，图不正确；记用量为度，电费为元/年，则，故均正确；综上所述，正确的是，选择第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30
4、分9已知数列满足，当时，_【答案】【解析】时，有，10设为第二象限角，若，则_【答案】【解析】为第二象限角，又，11等于_【答案】【解析】原式12已知，则的最小值为_【答案】【解析】，且，；，当且仅当时，等号成立；的最小值为13设，分别计算，的值之后，可以猜想出一般性结论：如果_，则_【答案】，【解析】，猜想若，则14设函数其中当时，若，则_；若在上是单调递增函数，则的取值范围_【答案】；【解析】当时，故舍去；时，合题当时，在上单调增，当时，在上单调递增，仅需，即“，设，在上单调递增，即可，又，三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分分）已知数列的前项
5、和为，且数列为等比数列，且，（）求数列，的通项公式（）若数列满足，求数列的前项和【答案】见解析【解析】（）时，又时，满足上述，又为等比数列，公比为，16（本小题满分分）已知，分别为三个内角，的对边，且（）求角（）若，的面积为，求，【答案】见解析【解析】（）由正弦定理可得：，又，故，根据余弦定理知：，即：，即，由解得，17（本小题满分分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，分别为，中点，（）求证：平面（）求证：（）求二面角的余旋值【答案】见解析【解析】（）作的中点，连接，在中，为中点，面，面，面，同理可证明面，面，面，面面，面，面（）平面平面，面面，为正方形，面，面，面，又面，（）取的中点
6、，在中，面面，且面面，面，又面，又为的中点，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，则有，；设平面的一个法向量为，则即，令，则，又面，易知平面的一个法向量，由图易知为钝角，故余弦值为18（本小题满分分）已知函数（）当时，求函数在点处的切线方程（）若不等式在是恒成立，求实数的取值范围【答案】见解析【解析】（）时，切线方程为，即（）记，当时，得，令，则，在上为减函数，当在时恒成立矛盾，在时恒成立，在上为增函数，符合题意，综上所述，19（本小题满分分）已知椭圆（）求椭圆的离心率（）设为坐标原点，为椭圆上的三个动点，若四边形为平行四边形，判断的面积是否为定值，并说明理由【答案】见解析【解析】（）椭圆的
7、标准方程为：，（）若是椭圆的左或右顶点，此时垂直平分，若不是椭圆的左右顶点，设，由，联立可得：四边形为平行四边形，代入椭圆方程，化简可得，到的距离，综上所述，的面积为定值20（本小题满分分）若实数数列满足，则称数列为“数列”（）若数列是数列，且，求，的值（）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数（）若数列是数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值【答案】见解析【解析】（）为数列，且，解得，（）假设数列的项都是正项，即有，与假设矛盾，故数列不可能全为正数，假设数列的项均为负项，即有，而，与假设矛盾，故数列的项不可能均为负数；综上所述，得证（）由（）知数列中即有正数又有负数，且最多连续两项为负数，最多连续三项为正数，因此存在最小正整数满足，设，（，均大于），则有：故有，即数列为周期为的数列，由上可知，中，为负数，中这两项中一个为正数，一个为负数，其余均为正数，当时，；当时，这项中至多有一项为负数，且负数项只能为，设，这项中负项个数为，当，时，若，则，故为负数，此时，；若，则，故为负数，此时，当时，必为负数，；综上所述的个数取值为
