1、2015-2016学年湖北省宜昌一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上）1已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）AB2CD2等差数列an的前n项和为Sn，且a3=5，则S5=（）A3B5C9D253一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）ABCD4下列说法中，不正确的是（）A已知a，b，mR，命题“若am2bm2，则ab”为真命题B命题“x0R，x02x00”的否定是：“xR，x2x0”C命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命
2、题D“x3”是“x2”的充分不必要条件5已知XN（，2）时，P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544，P（3X+3）=0.9974，则dx=（）A0.043B0.0215C0.3413D0.47726已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|=7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为（）ABC2D7设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为10，则的最小值为（）AB5C25D248已知函数y=x3在x=ak时的切线和x轴交于ak+1，若a1=1，则数列an的前n项和为（）ABCD9如图，正方体ABCDA
3、1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是（）（1）ACBE；（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为；（3）三棱锥ABEF的体积为定值；（4）在空间与三条直线DD1，AB，B1C1都相交的直线有无数条A0B1C2D310已知O为ABC的外心，|=16，|=10，若=x+y，且32x+25y=25，则|=（）A8B10C12D1411已知集合M=1，2，3，N=1，2，3，4，定义函数f：MN若点A（1，f（1）、B（2，f（2）、C（3，f（3），ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（）A6个B10个C12个D1
4、6个12已知f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，且对任意的x（0，+），都有ff（x）log2x=3，则方程f（x）f（x）=2的解所在的区间是（）A（0，）B（，1）C（1，2）D（2，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知集合A=，则AB=14三角形ABC的内角A，B的对边分别为a，b，若，则三角形ABC的形状为15设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为16定义：ei=cos+isin，其中i是虚数单位，R，且实数指数幂的运算性质对都ei适应若x=Ccos3Ccoss
5、in2，y=Ccos2sinCsin3，则x+yi=三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如表：xx1x2x3x+02Asin（x+）02020（I）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；（）若对任意的x1，x20，都有|f（x1）f（x2）|t恒成立，求实数t的取值范围18在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DAB=60，AD=2，AM=1，E为AB的中点（）求证：AN平面MEC；（）在线段AM上是
6、否存在点P，使二面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由19某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，且两人租用的时间都不超过4小时（）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望20中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上的椭圆E经过两点分别过椭圆E的焦点F1、F2的动直线l1，l2相交于
7、P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值若存在，求出M、N点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由21已知函数f（x）=ln（x+a）x有且只有一个零点，其中a0（）求a的值；（）若对任意的x（0，+），有f（x）kx2成立，求实数k的最大值；（）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2（1，+）（x1x2），证明：不等式恒成立选做题：请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，
8、作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】22（选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径【选修4-4：坐标系与参数方程】23（2015春商洛期末）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为sin2=8cos（I）求C的直角坐标方程；（）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|【选修4-5
9、：不等式选讲】24（2015秋太原期中）对于任意的实数a（a0）和b，不等式|a+b|+|ab|M|a|恒成立，记实数M的最大值是m（）求m的值；（）解不等式|x1|+|x2|m2015-2016学年湖北省宜昌一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上）1已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）AB2CD【考点】复数求模【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数【分析】根据复数模的定义，直接计算z的模长即可【解答】解：复数z=（i为虚数单位）
10、，|z|=故选：A【点评】本题考查了复数求模的应用问题，是计算题目2等差数列an的前n项和为Sn，且a3=5，则S5=（）A3B5C9D25【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且a3=5，=5a3=25故选：D【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何【分
11、析】三视图复原的几何体是长方体的一个角，扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的体积【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一个角；把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为1，2，2，则它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为： =3，所以球的半径为：R=cm这个几何体的外接球的体积是：R3=故选：B【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的问题，空间想象能力，逻辑思维能力，和计算能力，注意本题中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球4下列说法中，不正确的是（）A已知a，b，mR，命题“若am2bm2，则ab”为真命题B命题“x0
12、R，x02x00”的否定是：“xR，x2x0”C命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题D“x3”是“x2”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】A利用不等式的基本性质即可判断出正误；B利用命题的否定定义即可判断出正误；C利用复合命题的真假判定方法即可判断出正误；D“x3”“x2”，反之不成立，即可判断出正误【解答】解：A若am2bm2，利用不等式的性质可得：ab，因此为真命题；B命题“x0R，x02x00”的否定是：“xR，x2x0”，正确；C“p或q”为真命题，则命题p和q命题至少有一个为真命题，因此不正确；D“x3”“x2”，反之不成立，因此“x3
13、”是“x2”的充分不必要条件，正确故选：C【点评】本题考查了简易逻辑的判定、不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题5已知XN（，2）时，P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544，P（3X+3）=0.9974，则dx=（）A0.043B0.0215C0.3413D0.4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】由题意可得=0，=1，求出P（3X4）=P（2X4）P（1X3），即可得出结论【解答】解：由题意，=1，=1，P（3X4）=P（2X4）P（1X3）=（0.99740.9544）=0.0215，故选：B【点评】
14、本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题6已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|=7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的定义可得|MF2|MF1|=6|MF1|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，可得|MF1|=ca，从而求得此双曲线的离心率e的最大值【解答】解：由双曲线的定义可得|MF2|MF1|=6|MF1|=2a，根据点P在双曲线的右支上，可得|MF1|=ca，e=，双曲线
15、离心率的最大值为，故选：A【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础7设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为10，则的最小值为（）AB5C25D24【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值【解答】解：由z=ax+by（a0，b0）得y=x+，作出可行域如图：a0，b0，直线y=x+的斜率为负，且截距最大时，z也最大平移直线y=x+，由图象可知当y=x+经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大由，解得，即A（4，6）此时z=4
16、a+6b=10，即2a+3b5=0，即=1，则的最小值为（）（）=+2=5，当且仅当，即a=b=1时，取等号，故的最小值为5；故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法；属于中档题8已知函数y=x3在x=ak时的切线和x轴交于ak+1，若a1=1，则数列an的前n项和为（）ABCD【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】通过斜率公式计算可得递推关系，进而可得结论【解答】解：函数y=x3，y=3x2，=3，即=3，化简得：3ak+1=2ak，即=，又a1=1，Sn=3，故选：D【点评】本题考查求数列的和，考查运算求解能力，
17、利用斜率求出递推关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是（）（1）ACBE；（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为；（3）三棱锥ABEF的体积为定值；（4）在空间与三条直线DD1，AB，B1C1都相交的直线有无数条A0B1C2D3【考点】棱柱的结构特征【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】连接BD，则AC平面BB1D1D，从而ACBE；P点到面BEF的距离等于A到面BDD1B1的距离为；三棱锥ABEF中，底面积是定值，高是定值，所以
18、体积是定值；在AC 上任取点P，过点P和直线DD1确定面，l与直线B1C1必有交点G，直线PG就是所画的直线，这样的直线有无数条【解答】解：对于（1），连接BD，ACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE故（1）正确；对于（2），由AA1面BDD1B1，则P点到面BEF的距离等于A到面BDD1B1的距离为，故（2）正确；对于（3），在三棱锥ABEF中，底面积是定值，高是定值，所以体积是定值，故（3）正确；对于（4），在AC 上任取点P，过点P和直线DD1确定面，设面面BCC1B1=l，则l与直线B1C1必有交点G（若lB1C1，则B1C1DD1，矛盾），则直线
19、PG就是所画的直线，因为点P的任意性，所以这样的直线有无数条，故（4）正确故选：A【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题10已知O为ABC的外心，|=16，|=10，若=x+y，且32x+25y=25，则|=（）A8B10C12D14【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；平面向量及应用【分析】若=x+y，则=x+y，根据向量数量积的几何意义分别求出，后，得出关于x，y的代数式，利用32x+25y=25整体求解【解答】解：如图若=x+y，则=x+y，由于O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线=|（|cosD
20、AO）=|=|=168=128，同样地， =|2=100，所以2=128x+100y=4（32x+25y）=100，|=10故选B【点评】本题考查三角形外心的性质、向量数量积的运算、向量模的求解本题中进行了合理的转化=x+y，并根据外心的性质化简求解11已知集合M=1，2，3，N=1，2，3，4，定义函数f：MN若点A（1，f（1）、B（2，f（2）、C（3，f（3），ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（）A6个B10个C12个D16个【考点】分类加法计数原理；向量的共线定理【专题】压轴题【分析】本题从，说明ABC是等腰三角形，f（1）=f（3）；M和N以即函数的理解，分类
21、乘法计数原理的应用【解答】解：由，说明ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f（1）=f（3），f（1）f（2）；点A（1，f（1）、当f（1）=1=f（3）时f（2）=2、3、4，三种情况f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种因而满足条件的函数f（x）有12种故选C【点评】涉及向量，和三角形的转化，函数的定义；ABC是等腰三角形，且BA=BCf（1）=f（3），这是解题的关键12已知f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，且对任意的x（0，+），都有ff（x）log2x=3，
22、则方程f（x）f（x）=2的解所在的区间是（）A（0，）B（，1）C（1，2）D（2，3）【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用【专题】计算题【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）log2x为定值，可以设t=f（x）log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f（x）；将f（x）与f（x）代入f（x）f（x）=2，变形化简可得log2x=0，令h（x）=log2x，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案【解答】解：根据题
23、意，对任意的x（0，+），都有ff（x）log2x=3，又由f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，则f（x）log2x为定值，设t=f（x）log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f（x）=，将f（x）=log2x+2，f（x）=代入f（x）f（x）=2，可得log2x+2=2，即log2x=0，令h（x）=log2x，分析易得h（1）=0，h（2）=10，则h（x）=log2x的零点在（1，2）之间，则方程log2x=0，即f（x）f（x）=2的根在（1，2）上，故选C【点评】本题考查二分法求函数的零点与函
24、数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知集合A=，则AB=（2，3【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：212x23，即1x3，A=（1，3），由B中不等式变形得：log2（x2x）1=log22，即x2x2，分解得：（x2）（x+1）0，解得：x1或x2，即B=（，1）（2，+），则AB=（2，3，故答案为：（2，3【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键14三角形ABC的内角A，B的对边分
25、别为a，b，若，则三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosA=bcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可【解答】解：在ABC中，acosA=bcosB，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，sin2A=sin2B，2A=2B或2A=2B，A=B或A+B=，ABC为等腰或直角三角形，故答案为：等腰三角形或直角三角形【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与
26、二倍角的正弦的应用，属于中档题15设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为92【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由a54=2014，可得a1+53d=2014，即+d=38，d0，且为正整数，可得a1是53的倍数，a1，a54，ak成等比数列，则a542=a1ak=2219195353，分类讨论，可得结论【解答】解：a54=2014，a1+53d=2014，+d=38，d0，且为正整数，a1是53的倍数，a1，a54，ak成等比数列，a542=a1ak=2
27、219195353（1）若a1=53，53+53d=2014，d=37，（2）若a1=253，106+53d=2014，d=36，（3）若a1=453，212+53d=2014，d=34，ak=191953=453+34（k1），k不是整数，舍去（4）a1=1007，1007+53d=2014，53d=1007，d=19 公差d的所有可能取值之和为37+36+19=92故答案为：92【点评】本题考查等比数列的性质，考查分类讨论的数学思想，确定a1是53的倍数是关键16定义：ei=cos+isin，其中i是虚数单位，R，且实数指数幂的运算性质对都ei适应若x=Ccos3Ccossin2，y=Cc
28、os2sinCsin3，则x+yi=【考点】二项式定理的应用；复数代数形式的混合运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数单位i幂的运算，化简a+bi构造二项式定理的形式，然后求出值即可【解答】解：x+yi=Ccos3Ccossin2+iCcos2siniCsin3=（cos+isin）3=cos+isin=故答案为：【点评】本题考查二项式定理的应用，复数棣美弗定理的应用，考查计算能力三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如表：xx1x2x3x+02Asi
29、n（x+）02020（I）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；（）若对任意的x1，x20，都有|f（x1）f（x2）|t恒成立，求实数t的取值范围【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（I）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式（）由题意可得f（x），1，且|f（x1）f（x2）|的最大值小于t，由此求得t的范围【解答】解：（I）x1=，x1=，x2=+=，x3=+=由表格可得A=2， =，求得=，再根据五点法作图可得+=0，求得=，故函数f（x）=2sin（x）（）若对任意的x1，x20，都有|f（x1
30、）f（x2）|t恒成立，故当x0，时， x，f（x），1，|f（x1）f（x2）|的最大值小于t故 1（）t，即 t1+【点评】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，函数的恒成立问题，属于基础题18在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DAB=60，AD=2，AM=1，E为AB的中点（）求证：AN平面MEC；（）在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（I
31、）利用CM与BN交于F，连接EF证明ANEF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角PECD的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点因为E是AB的中点，所以ANEF（7分）又EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC（9分）（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DEAB又四边形ADN
32、M是矩形，面ADNM面ABCD，DN面ABCD，如图建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，1，h），=（，2，0），=（0，1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）则，令y=h，=（2h， h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），cos，=，解得h=，在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角PECD的大小为【点评】本题考查存在性问题，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力19某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不
33、足一小时按一小时计算）现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，且两人租用的时间都不超过4小时（）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可（）随机变量的所有取值为200，300，400，500，600，由独立事件的概率
34、分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可【解答】解：（）甲、乙所付费用可以为100、200元、300元（1分）甲、乙两人所付费用都是100元的概率为（2分）甲、乙两人所付费用都是200元的概率为（3分）甲、乙两人所付费用都是300元的概率为故甲、乙两人所付费用相等的概率为（6分）（）随机变量的取值可以为200，300，400，500，600（7分）P（=200）=P（=300）=P（=400）=P（=500）=P（=600）=故的分布列为：200300400500600P（11分）的数学期望是（13分）【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用
35、所学知识解决问题的能力属于中档题型20中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上的椭圆E经过两点分别过椭圆E的焦点F1、F2的动直线l1，l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值若存在，求出M、N点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m0，n0，mn），则由题意有，即可求椭圆E的方程；（2）当直线l1或l2
36、斜率不存在时，P点坐标为（1，0）或（1，0）当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2可得l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出m1与m2的关系，进而得出答案【解答】解：（1）设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m0，n0，mn）（1分）将代入有（3分）椭圆E的方程为=1（4分）（2）焦点x、y坐标分别为（1，0）、（1，0）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（1，0）或（1，0）当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分
37、别为m1，m2l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立l1与椭圆方程，得到（2+3m12）x+6m12x+3m1226=0，x1+x2=，x1x2=同理x3+x4=，x3x4=（*）k1=m1+，k2=m1+，k3=m2，k4=m2又满足k1+k2=k3+k42m1+m1=2m2m2，把（*）代入上式化为m1m2=2设点P（x，y），则，（x1）化为+x2=1，（x1）由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（1，0）或（1，0）也满足，点P在椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为（0，1）、（0，
38、1），使得|PM|+|PN|=2为定值（12分）【点评】熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得出根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键21已知函数f（x）=ln（x+a）x有且只有一个零点，其中a0（）求a的值；（）若对任意的x（0，+），有f（x）kx2成立，求实数k的最大值；（）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2（1，+）（x1x2），证明：不等式恒成立【考点】函数零点的判定定理；函数恒成立问题【专题】导数的综合应用【分析】（）通过求导得到单调区间找到极值点代入即可，（）由k0时不合题意当k0时令g（x）=0通过讨论得出k的值，（）不妨设x1
39、x21，引进新函数找到其单调区间，问题得证【解答】解：（）f（x）的定义域为（a，+），由f（x）=0，得x=1aa当ax1a时，f（x）0；当x1a时，f（x）0，f（x）在区间（a，1a上是增函数，在区间1a，+）上是减函数，f（x）在x=1a处取得最大值由题意知f（1a）=1+a=0，解得a=1（）由（）知f（x）=ln（x+1）x，当k0时，取x=1得，f（1）=ln210，知k0不合题意当k0时，设g（x）=f（x）kx2=ln（x+1）xkx2则令g（x）=0，得x1=0，若0，即k时，g（x）0在x（0，+）上恒成立，g（x）在0，+）上是增函数，从而总有g（x）g（0）=0，即
40、f（x）kx2在0，+）上恒成立若，即时，对于，g（x）0，g（x）在上单调递减于是，当取时，g（x0）g（0）=0，即f（x0）不成立故不合题意综上，k的最大值为（） 由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）不妨设x1x21，则要证明，只需证明，即证，即证设，则只需证明，化简得设，则，（t）在（1，+）上单调递增，（t）（1）=0即，得证故原不等式恒成立【点评】本题考察了导函数，单调区间及最值，函数的零点，不等式的证明，是一道较难的综合题选做题：请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂
41、黑.【选修4-1：几何证明选讲】22（选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径【考点】与圆有关的比例线段【专题】直线与圆【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分线可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知DBBE，可知DE为O的直径，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=设DE的中点
42、为O，连接BO，可得BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30得到CFBF进而得到RtBCF的外接圆的半径=【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE又DBBE，DE为O的直径，DCE=90DBEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC故DG是BC的垂直平分线，BG=设DE的中点为O，连接BO，则BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30CFBFRtBCF的外接圆的半径=【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、
43、分析问题和解决问题的能力【选修4-4：坐标系与参数方程】23（2015春商洛期末）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为sin2=8cos（I）求C的直角坐标方程；（）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|【考点】参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】（I）利用即可得出直角坐标方程（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t216t64=0利用弦长|AB|=|t1t2|即可得出【解答】解：（I）由曲线C的极坐标方程为sin2=8cos，即2sin2=8cos，
44、化为y2=8x（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t216t64=0解得t1=8，t2=弦长|AB|=|t1t2|=【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【选修4-5：不等式选讲】24（2015秋太原期中）对于任意的实数a（a0）和b，不等式|a+b|+|ab|M|a|恒成立，记实数M的最大值是m（）求m的值；（）解不等式|x1|+|x2|m【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】（）由题意可得M，对于任意的实数a（a0）和b恒成立
45、，再由2可得，M2，由此可得m的值；（）由于|x1|+|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，由此求得|x1|+|x2|2的解集【解答】解：（）不等式|a+b|+|ab|M|a|恒成立，即M对于任意的实数a（a0）和b恒成立，故只要左边恒小于或等于右边的最小值因为|a+b|+|ab|（a+b）+（ab）|=2|a|，当且仅当（ab）（a+b）0时等号成立，即|a|b|时，2成立，也就是的最小值是2，故M的最大值为2，即 m=2（）不等式|x1|+|x2|m即|x1|+|x2|2由于|x1|+|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x1|+|x2|2的解集为：x|x【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题
