1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座:考点15三角函数的图像与性质(解析版)加(*)号的知识点为了解内容,供学有余力的学生学习使用一.考纲目标了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图,理解A.、的物理意义二.知识梳理1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2.三角函数的单调区间的递增区间是,递减区间是;的递增区间是,递减区间是,的递增区间是,3.函数最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心4.由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有
2、两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少.途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),便得ysin(x)的图象途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位,便得ysin(x)的图象5. 由yAsin(x)的图象求其函数式给出图象确定解析式
3、y=Asin(x+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.6.对称轴与对称中心:的对称轴为,对称中心为;的对称轴为,对称中心为;对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系7. 求三角函数的单调区间一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;8. 求三角函数的周期的常用方法经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法9.五点法作y=Asin(x+)的简图五点取法是设x=x+,由x取0、2来求相应的x值及对应的y值,再描点作图
4、.三考点逐个突破1.平移变换问题例1.定义,若函数,则将的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是ABCD【答案】A 由定义可知,将的图象向右平移个单位得到,由得对称轴为,当时,对称轴为,选A 例2.关于函数的四个结论:P1:最大值为;P2:把函数的图象向右平移个单位后可得到函数的图象;P3:单调递增区间为,; P4:图象的对称中心为(),.其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个【答案】B 【解析】因为,所以最大值为,所以P1错误.将的图象向右平移个单位后得到,所以P2错误.由,解得增区间为,即,所以正确.由,得,所以此时的对称中心为,所以正确,所以选B 例3. 已知函数,其最小正周期
5、为(I)求的表达式;(II)将函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若关于的方程,在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.【答案】解:(I) 由题意知的最小正周期, 所以 所以 ()将的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象. 所以 因为,所以. 在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知或 所以或. 2.三角函数的性质(1)单调性、周期性例4. 设.()求的最小正周期及单调递增区间;()将函数的图象向右平移个单位,得的图象,
6、求在处的切线方程.【答案】解:(), 故f(x)的最小正周期, 由 得f(x)的单调递增区间为 ()由题意:, , , 因此切线斜率, 切点坐标为, 故所求切线方程为, 即 (2)最值例5. 已知函数,则的最小值为_【答案】1 【 解析】 ,因为,所以,所以,即,所以,即,所以的最小值为1. (3)奇偶性例6. 函数的图象大致是【答案】C 【 解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B当时,排除D,由,得,所以函数的极值有很多个,所以选C (4)对称性例7.已知函数的最小正周期为,则A函数的图象关于点()对称B函数的图象关于直线对称C函数的图象向右平移个单位后,图象关于原点对称D函数在区
7、间内单调递增【答案】C因为函数的周期,所以,所以.当时,所以A,B错误.将函数的图象向右平移个单位后得到,此时为奇函数,所以选C(5)定义域、值域例8.已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.剖析:此题便于入手,求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决,求值域要对函数化简整理.解:由cos2x0得2xk+,解得x+(kZ).所以f(x)的定义域为x|xR且x+,kZ.因为f(x)的定义域关于原点对称,且f(x)=f(x),所以f(x)是偶函数.又当x+(kZ)时,f(x)=3cos2x1,所以f(x)的值域为y|1y或y2.3.简单的应用问题例9.已知电流I与时间t的关系式为()右图是(0,)在一个周期内的图象,根据图中数据求的解析式;()如果t在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么的最小正整数值是多少?解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力()由图可知 A300设t1,t2, 则周期T2(t2t1)2() 150又当t时,I0,即sin(150)0,而, 故所求的解析式为 ()依题意,周期T,即,(0) 300942,又N*,故最小正整数943