1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点15三角函数的图像与性质（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义二.知识梳理1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2.三角函数的单调区间的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3.函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心4.由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有
2、两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象5. 由yAsin(x)的图象求其函数式给出图象确定解析式
3、y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.6.对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系7. 求三角函数的单调区间一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8. 求三角函数的周期的常用方法经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法9.五点法作y=Asin（x+）的简图五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图
4、.三考点逐个突破1.平移变换问题例1.定义,若函数,则将的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是ABCD【答案】A 由定义可知,将的图象向右平移个单位得到,由得对称轴为,当时,对称轴为,选A 例2.关于函数的四个结论:P1:最大值为;P2:把函数的图象向右平移个单位后可得到函数的图象;P3:单调递增区间为,; P4:图象的对称中心为(),.其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个【答案】B 【解析】因为,所以最大值为,所以P1错误.将的图象向右平移个单位后得到,所以P2错误.由,解得增区间为,即,所以正确.由,得,所以此时的对称中心为,所以正确,所以选B 例3. 已知函数,其最小正周期
5、为(I)求的表达式;(II)将函数的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若关于的方程,在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.【答案】解:(I) 由题意知的最小正周期, 所以 所以 ()将的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象. 所以 因为,所以. 在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知或 所以或. 2.三角函数的性质（1）单调性、周期性例4. 设.()求的最小正周期及单调递增区间;()将函数的图象向右平移个单位,得的图象,
6、求在处的切线方程.【答案】解:(), 故f(x)的最小正周期, 由 得f(x)的单调递增区间为 ()由题意:, , , 因此切线斜率, 切点坐标为, 故所求切线方程为, 即 （2）最值例5. 已知函数,则的最小值为_【答案】1 【 解析】 ,因为,所以,所以,即,所以,即,所以的最小值为1. （3）奇偶性例6. 函数的图象大致是【答案】C 【 解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B当时,排除D,由,得,所以函数的极值有很多个,所以选C （4）对称性例7.已知函数的最小正周期为,则A函数的图象关于点()对称B函数的图象关于直线对称C函数的图象向右平移个单位后,图象关于原点对称D函数在区
7、间内单调递增【答案】C因为函数的周期,所以,所以.当时,所以A,B错误.将函数的图象向右平移个单位后得到,此时为奇函数,所以选C（5）定义域、值域例8.已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.解：由cos2x0得2xk+，解得x+（kZ）.所以f（x）的定义域为x|xR且x+，kZ.因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数.又当x+（kZ）时，f（x）=3cos2x1，所以f（x）的值域为y|1y或y2.3.简单的应用问题例9.已知电流I与时间t的关系式为（）右图是（0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力（）由图可知 A300设t1，t2， 则周期T2（t2t1）2（） 150又当t时，I0，即sin（150）0，而， 故所求的解析式为 （）依题意，周期T，即，（0） 300942，又N*，故最小正整数943