1、第3章 空间向量与立体几何34 直线与平面的垂直关系第3章 空间向量与立体几何 1.掌握直线与平面垂直的定义 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活运用定理证明直线与平面垂直 3理解三垂线定理及逆定理，并能应用三垂线定理及逆定理证明线面或线线垂直栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线 l 与一个平面 相交，并且垂直于平面 内_直线，就称直线 l 与平面 垂直，记作 l.(2)判定定理文字语言：如果一条直线垂直于一个平面内两条_直线，那么这条直线就与这个平面垂直所有的相交栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升
2、预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 符 号 语 言：若 直 线 a 平 面 ，直 线 b 平 面 ，_，则 l.2三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条_垂直，那么它也和这条斜线垂直3三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条_垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直la，lb，abO斜线的射影斜线栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1下列命题中正确的有()如果直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l；如果直线 l 不垂直于，则 内没有与 l 垂直的直线；如果直线 l 不垂直于，则 内也可以有无数条直线与
3、 l 垂直A0 个 B1 个C2 个D3 个解析：选 B.只有正确栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何2已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.PC与BDB.DA 与PBC.PD 与ABD.PA与CD解析：选 A.可用排除法因为 PA平面 ABCD，所以 PACD，PACD 0，排除 D.又因为 ADAB，所以 ADPB，所以DA PB0，同理PD AB 0，排除 B，C，故选 A.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何3
4、在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 于点F.求证：PB平面 EFD.证明：建立如图所示的空间直角坐标系D 是坐标原点，设 DCa.连接 AC 交 BD 于 G，连接 EG，依题意得 P(0，0，a)，D(0，0，0)，E0，a2，a2，B(a，a，0)，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何PB(a，a，a)，DE 0，a2，a2，所以PBDE 0a22 a22 0，所以PBDE，即 PBDE.又已知 EFPB，且 EFDEE，所以 PB平面 EFD.栏目
5、导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 直线与平面垂直的有关概念 下列命题中，真命题的个数为()(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(4)过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内；(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面A1 B2 C3 D4【解析】(1)直线与平面平行，则直
6、线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：平行；异面，因此(1)假 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系若为平行，该命题则错；若为相交，则该命题为真，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不能说明面内这无数条直线的位置关系，该命题则为假命题(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用可知，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以该命题为真命题 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(4)前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直
7、线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直根据第一个命题知：过点 A 垂直于直线 a 的平面唯一，因此，过点 A且与直线 a 垂直的直线都在过点 A 且与直线 a 垂直的平面内，所以该命题为真命题(5)三条共点直线两两垂直，设为 a，b，c，且 a，b，c 共点于O.因为 ab，ac，bcO，所以 b、c 确定一平面，设为，则 a.同理可知 b 垂直于 a、c 确定的平面，c 垂直于 a、b 确定的平面所以该命题为真命题【答案】C栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何注意线面垂直的定义中“所有的直线”与“无数条直线”不同，其实质是直线与平面内任意一直
8、线垂直 直线与平面垂直的判定 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1的中点求证：EF平面 B1AC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何【证明】设正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)所以EF(1，1，2)(2，2，1)(1，1，1)，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何AB1(2，2，2)(2，0，0)(0，2，2)，AC(0，2，0)(2，0，0)(2，2，0)所
9、以EF AB1(1，1，1)(0，2，2)(1)0(1)2120，EF AC(1，1，1)(2，2，0)2200，所以 EFAB1，EFAC.又 AB1ACA，所以 EF平面 B1AC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 直线与平面垂直的判定方法(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明(2)建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 B1C
10、1、B1B 的中点求证：CF平面 EAB.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何证明：在正方形 B1BCC1 中，因为 E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点，所以BB1ECBF.所以B1BEBCF，所以BCFEBC90，所以 CFBE.因为 AB平面 B1BCC1，CF平面 B1BCC1，所以 ABCF，又 ABBEB，所以 CF平面 EAB.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 三垂线定理(逆定理)的应用 如图所示，P 是ABC 所在平面外一点，且 PA平面 ABC，若 O、Q 分别是ABC 和PBC
11、的垂心，求证：OQ平面 PBC.【证明】O是ABC的垂心BCAEQ是PBC的垂心BCPE BC平面 PAE.因为 OQ平面 PAE，所以 OQBC.因为 PA平面 ABC，BF平面 ABC，所以 BFPA.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何又因为 O 是ABC 的垂心，所以 BFAC.所以 BF平面 PAC，则 FM 是 BM 在平面 PAC 上的射影，因为 BMPC，根据三垂线定理的逆定理，得 FMPC，从而 PC平面 BFM.又 OQ面 BFM，所以 OQPC，又 PCBCC，所以 OQ平面 PBC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习
12、案自主学习第3章 空间向量与立体几何三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题，对于同一平面内的两条直线垂直问题也可以用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明 已知长方体 AC1 中，棱 ABBC1，棱 BB12，连接 B1C，过 B 作 B1C 的垂线 BE 交 CC1 于 E，交 B1C 于 F.求证：A1C平面 EBD.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何证明：如图，连接 AC，则 ACBD.因为AC 是 A1C 在平面 ABCD 内的射影，所以A1CBD.又 A1B1平面 B1C1CB，且 A1C在平面 B1
13、C1CB 内的射影为 B1C，因为B1CBE，所以 A1CBE.又因为 BDBEB，所以 A1C平面 EBD.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1判定线面垂直的步骤与方法(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：在这个平面内找两条直线，使它和这两条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论(2)判定线面垂直的方法有利用线面垂直的定义：一条直线垂直于平面内的任意直线，则该直线垂直于这个平面；利用线面垂直的判定定理；栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何证明线线(或
14、线面)垂直时，除了利用平面几何知识(勾股定理逆定理，菱形对角线、圆周角定理等)之外，还需要注意运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化2三垂线定理及其逆定理的应用(1)立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直；(2)立体几何中的计算问题(后面学习)应用三垂线定理及逆定理的关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境构造三垂线定理时要抓住以下三个环节：确定射影面；作出垂线；确定射影栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线CE 垂
15、直于()AAC BBDCA1DDA1A解析：选 B.因为 B1D1BD，B1D1A1C1，而 A1C1 为 CE 在上底面的射影(图略)，由三垂线定理知 CEB1D1，所以 CEBD，故选 B.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何2一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况中：三角形的两条边；梯形的两条边；圆的两条直径；正六边形的两条边不能保证该直线与平面垂直的是()ABCD解析：选 C.中不能确定两条边是否相交，故不能保证该直线与平面垂直栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何3.如图，在ABC 中，ACB90，若 PA平面 ABC，则图中直角三角形的个数为_解析：BCAC，BCPA.所以 BC平面 PAC，所以 BCPC.所以PACPABPCBACB90.答案：4栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
