1、等 差 数 列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等差数列an的通项公式an=3-2n,则它的公差d为()A.2B.3C.-2D.-3【解析】选C.由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2.2.(2019嘉兴高一检测)等差数列an中,已知a3=7,a5=13,则a7=()A.16B.17C.18D.19【解析】选D.由等差数列的性质可得2a5=a3+a7,所以a7=2a5-a3=19.3.已知数列an是等差数列,a4=25,a7=13,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为()A.4B. C.-4 D.-【解析】选C.由已知数列an是等差数列,所以a
2、n是关于n的“一次函数”,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),所以过点P(3, a3),Q(5,a5)的直线,即过点(4,25),(7,13)的直线,所以直线斜率k=-4.4.等差数列an中,若a4=3,则a2+a3+a7=()A.6B.9C.12D.15【解析】选B.因为a4=3,所以a2+a3+a7=a4-2d+a4-d+a4+3d=3a4=33=9.5.(2019上海高一检测)已知数列是等差数列,数列分别满足下列各式,其中数列必为等差数列的是()A.bn=|an|B.bn=C.bn=D.bn=-【解析】选D.设数列的公差为d,选项A,B,C,都不满足bn-bn-1=同一常数,所以
3、三个选项都是错误的;对于选项D,bn-bn-1=-+=-,所以数列必为等差数列.6.在数列an中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为()A.49B.50C.51D.52【解析】选D.因为an+1-an=,所以数列an是首项为2,公差为的等差数列,所以an=a1+(n-1)=2+,所以a101=2+=52.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设等差数列an满足:a1+a2=7,a1-a3=-6,则a5=_.【解析】因为等差数列an满足:a1+a2=7,a1-a3=-6.所以,解得a1=2,d=3,所以a5=a1+4d=2+43=14.答案:148.等差数列1,-1,-3,-5,
4、-89的项数为_.【解析】因为a1=1,d=-1-1=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.由-2n+3=-89,得n=46.答案:46三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2019临沂高二检测)已知等差数列满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求首项及公差;(2)求的通项公式.【解析】(1)设等差数列的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. (2)由(1)可知an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,).10.(1)若an是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.(2)已知递减等差数列an的前三项和为
5、18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗?【解析】(1)设an的公差为d.由已知得解得所以a75=a1+74d=+74=24.(2)由已知所以解得或因为数列an是递减等差数列,所以d0,a1=11,d=-5,所以an=11+(n-1)(-5)=-5n+16,即等差数列an的通项公式为an=-5n+16.令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10,所以-34是数列an的第10项.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019蚌埠高一检测)已知等差数列an的前三项依次为-1,1,3,则此数列的通项公式为()A.an=2n-5B.an=2n-
6、3C.an=2n-1D.an=2n+1【解析】选B.等差数列an中,a1=-1,a2=1,可得d=a2-a1=2,由通项公式可得an=a1+(n-1)d=-1+2(n-1)=2n-3.2.(2019乌鲁木齐高一检测)若三角形的三个内角成等差数列,则第二大的角度数为()A.30度B.45度C.60度D.75度【解析】选C.设三个角依次为A、B、C且AB0,则a2+a30B.若a1+a30,则a1+a20C.若0a1a2,则a2=D.若a10【解析】选C.对a1=2,a2=-1,a3=-4,选项A,B不成立.选项C,由等差中项的定义知,a2=,故C正确.选项D,(a2-a1)(a2-a3)=-d2
7、0,不正确.二、填空题(每小题5分,共20分)6.已知an为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=_.【解析】因为an为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,所以,解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4.答案:-47.已知数列an中,a3=2,a7=1,且数列为等差数列,则a5=_.【解析】由数列为等差数列,则有+=,可解得a5=.答案:8.数列满足:log2an+1=1+log2an,若a3=10,则a8=_.【解析】log2an+1=1+log2an,所以log2an+1-log2an=1,所以为等差数列,公差为1,第三项为log210,
8、所以log2a8=log210+5,所以a8=320.答案:3209.在等差数列an中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于_.【解析】设公差为d,则因为a1+a2=3,a3+a4=5,所以2a1+d=3,2a1+5d=5,所以d=,即得a1=,所以a7+a8=2a1+13d=2+13=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知数列an中,a1=-1,an+1an=an+1-an且Cn=,证明Cn是等差数列.【证明】因为an+1an=an+1-an,所以-=1,即-=-1,故Cn+1-Cn=-1,因此Cn是等差数列.11.已知等差数列an中,a15=33,a61=
9、217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?【解析】设首项为a1,公差为d,由已知得,解得,所以an=-23+(n-1)4=4n-27,令an=153,即4n-27=153,解得n=45,所以153是该数列的第45项.12.已知数列an满足a1=3,anan-1=2an-1-1.(1)求a2,a3, a4;(2)求证:数列是等差数列,并求出an的通项公式.【解析】(1)因为anan-1=2an-1-1,a1=3,所以a2=,a3=,a4=.(2)证明:易知an-10,an=2-.当n2时,-=-=-=-=1,所以是以=为首项,以1为公差的等差数列,=+(n-1)1=n-,所以an=+1=.【补偿训练】 已知数列an满足:a1=10,a2=5,an-an+2=2(nN*).求数列an的通项公式.【解析】因为a1=10,a2=5,an-an+2=2(nN*),所以数列an的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列.当n为奇数时,an=a1+(-2)=11-n,当n为偶数时,an=a2+(-2)=7-n,所以an=
