1、第十三讲 二次函数的图象与性质 考点一 二次函数的图象和性质【主干必备】一、二次函数的概念及其关系式 1.二次函数的概念:形如_(a,b,c是常 数,a0)的函数.y=ax2+bx+c 2.二次函数的解析式:(1)一般式:_.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),其顶点坐标是 _.y=ax2+bx+c(a0)(h,k)二、二次函数的图象与性质 函 数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)图 象a0a0 函 数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)性 质抛物线开口向上抛物线开口向下对称轴是直线x=_,顶点是_ 当x-时,y随x的增大 而_当x-时,y随x的
2、增大 而_b2a2()b4acb,2a4ab2ab2ab2ab2a减小 增大 增大 减小 函 数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)性 质 抛物线有最低点,当 x=-时,y有最小 值,y最小值=抛物线有最高点,当 x=-时,y有最大值,y最大值=b2a24acb4ab2a24acb4a【核心突破】例1(2018成都中考)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列 说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当xy1y2 B.2y2y1 C.y1y22 D.y2y12 A 3.(2019安庆桐城市期末)二次函数y=-x2+(8-m)x+12
3、,当x2时,y随着x的增大而减小;当x2时,y随着x的增大 而增大,则m的值为()A.-4 B.4 C.6 D.10 B 4.(2019上海静安区一模)抛物线y=ax2+(a-1)(a0)经过原点,那么该抛物线在对称轴左侧的部分是_ _的.(填“上升”或“下降”)下 降 考点二 二次函数图象的平移【核心突破】例2(1)(2019济宁中考)将抛物线y=x2-6x+5向上平移 两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛 物线解析式是()A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2 D(2)(2018绍兴中考)若抛物线y=x2+ax+b
4、与x轴两个交 点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦 抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单 位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点()A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)B【明技法】二次函数图象的平移变换(1)具体步骤:先利用配方法把二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式,确定其顶点(h,k),然后作出二次函数y=ax2的图象,将抛物线y=ax2平移,使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示:(2)平移规律:在原有函数的基础上“左加右减”.【题组过关】1.(2019绍兴中考)在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3
5、)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变 换可以是()A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位 B 2.(2019台州温岭市期末)把抛物线y=ax2+bx+c的图 象先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得的图象的解析式是y=x2+5x+5,则a-b+c的值为 ()A.2 B.4 C.8 D.14 A 3.(2019广东模拟)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x 轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为_.8 4
6、.(2019安徽模拟)如图,抛物线y1=ax2-x+c与x轴交 于点A(-3,0)和点B,并经过点 ,抛物线y1的顶点 为C.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.世纪金榜导学号 5(2)2，(1)求抛物线y2的表达式.(2)在直线l上是否存在点P,使PBC为等腰三角形?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由于抛物线y1=ax2-x+c与x轴交于点 A(-3,0)和点B,并经过点 ,解得 抛物线y1=当y1=0时,=0,解得x1=-3,x2=1,5(2)2，9a3c0,54a2c,2 1a,23c,2 213xx22，213xx22B点的坐标
7、为(1,0),将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的 抛物线y2.抛物线y2的表达式为:y2=-(x-1)2.12(2)在直线l上存在点P,使PBC是等腰三角形,由y1=-x2-x+=-(x+1)2+2可知C点的坐标为(-1,2),根据勾股定理得BC=设P点的坐标为(1,m),12321222222 2，分三种情况:当PB=PC时,m2=22+(m-2)2,解得m=2,此时点P坐标为(1,2);当PB=BC时,m2=(2 )2,解得m=2 ,此时点P坐标 为(1,2 )或(1,-2 );2222当PC=BC时,22+(m-2)2=(2 )2,解得m=4或m=0(舍去),此时点P坐标为
8、(1,4);综上,PBC是等腰三角形时,点P的坐标为(1,2)或(1,2 )或(1,-2 )或(1,4).222考点三 二次函数图象与系数的关系【核心突破】例3(2019随州中考)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:abc0开口向上|a|越大 开口越小a0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0与x轴有两个不同交点b2-4ac0,即当x=1时,y0若a+b+c0,即当x=1时,y0;5a-2b+c0;4b+3c0,其中错误结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 A 2.(201
9、9汕头潮南区期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c (a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:4ac0;当x0时,y随x的增大而减小;当y0时,x的取值范围是-1x0;2a+b=0;4a+2b+c0;若 是抛物线上 两点,则y1n的解集是_ _.x 1(2)(2018云南中考)已知二次函数y=-x2+bx+c的 图象经过A(0,3),B(-4,-)两点.求b,c的值.二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点,若有,求公共点的坐标;若没有,请说明情况.31692316【自主解答】把A(0,3),B(-4,-)分别代入y=-x2+b
10、x+c,得 解得 92316c339164bc162，9b8c3.，由可得,该抛物线解析式为:=0,所以二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有公共点.-x2+x+3=0的解 为:x1=-2,x2=8.公共点的坐标是(-2,0)或(8,0).239yxx3168 2932254381664 （）（）31631698【明技法】二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系(1)二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个交点,则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个解.二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判
11、别式的符号确定.(2)利用二次函数图象解不等式的方法 不等式ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0时,y0取两边,y0取中间.【题组过关】1.(2019深圳罗湖区期末)二次函数y=ax2+bx+c的部 分图象如图所示,由图象可知方程ax2+bx+c=0的根是 世纪金榜导学号()A.x1=-1,x2=5 B.x1=-2,x2=4 C.x1=-1,x2=2 D.x1=-5,x2=5 A 2.(2019潍坊中考)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线 x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2t11 B.t2 C.6t11 D.2t0时,自变量x的取值范围是_.-1x3 5.(2019安徽模拟)方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为 x=-3和x=1,那么抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是 直线_.世纪金榜导学号 x=-1
