1、衡师祁东附中2022年下学期期中考试试卷高三 数学第卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1集合，则（ ）ABCD2“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知函数，则（ ）AB3C1D194在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中r为指数增长率）描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，指数增长率r的值约为（ ）（参考数值：）A0.345B0.23C0.69D0.8315已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（ ）AB
2、CD6设m，n，t为正数，且，则（ ）ABCD7若函数与函数有公切线，则实数a的取值范围是（ ）ABCD8已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，则不等式的解集是（ ）ABCD二、多选题（每小题5分，少选得2分，选错或多选不得分，共20分）9下列说法正确的是（ ）A“”是“”的充分不必要条件B“”是“”的必要不充分条件C“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题D命题“，”的否定是“，”10下列说法正确的有（ ）A若，则的最大值是B若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3C若，则的最小值是2D若实数x，y满足，则的最大值是11已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）AB函数的图象
3、关于点对称C，D函数在上无最小值12已知函数是定义R在上的奇函数，当时，则下列结论正确的是（ ）A当时，B函数有两个零点C若方程有三个解，则实数m的取值范围是D，第卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13已知，且，则的最小值为_14已知，则_15若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为_16设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为_四、解答题（共70分）17（10分）已知集合，（1）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；（2）若，求m的取值范围18（12分）设函数，（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b；（2）求函数的单调区间19（12分）已知的角A，B，C的对
4、边分别为a，b，c，满足（1）求A；（2）从下列条件中，；中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围注如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20（12分）经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量L（单位：千克）与施肥量x（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）（1）求的函数关系式：（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株
5、利润最大?最大利润是多少?21（12分）已知函数是定义在R上的偶函数（1）求m的值；（2）设，若对于恒成立，求a的取值集合；若，使得不等式有解，求x的取值集合22（12分）己知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，是的两个零点，求证：衡师祁东附中2022年下学期期中考试答案高三（数学1B【分析】根据一元二次不等式可得B，进而根据集合的补运算和交运算即可求解【详解】由题意得，所以故选：B2B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：若，则不成立，故不具有充分性，因为单调递减，若，所以，故有必要性故选：B3B【分析】根据解析式代入求解即可【详解】故选：B4A【解析】由题设可知第t天
6、感染病例数为，则第天的感染感染病例数为，由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则，解出即可得出答案【详解】由题设可知第t天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则所以，即所以故选：A5B【分析】由分析知的值域为R，当时，要使的值域为R，则，且，即可求出a的取值范围【详解】因为的值域为R，所以的值域为R当时，当时，若，即，此时不满足条件若，即，此时的值域不可能为R若，即，要使的值域为R，则，即解得：或，又因为，所以故选：B6D【分析】令，可得，然后利用对数函数的图象即得：或利用换底公式及对数函数的性质即得【详解】令，则，在平面直角坐标系中画出，的图象及直
7、线，结合图象知方法二 令，则，易得，又当时，函数在在上单调递增，且，即故选：D7B【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成a关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解【详解】设公切线与函数切于点，切线的斜率为，则切线方程为，即设公切线与函数切于点，切线的斜率为，则切线方程为，即所以有因为，所以，可得，即，由可得：，所以，令，则，设，则，所以在上为减函数，则，所以，所以实数a的取值范围是，故选：B【点睛】方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点（2）求出在处的导数，即在点，处的切线斜率；（3）构建关系解得；（4）由点斜式求
8、得切线方程8D【分析】根据题干条件构造函数，求导得到在区间上单调递增，对不等式变形得到，根据单调性解不等式，结合定义域求出，从而求出解集【详解】令函数，则，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，则，又，所以又函数在区间上单调递增，解得，又函数的定义域为，则，解得：，故不等式的解集是，故选：D【点睛】利用题干条件构造函数，求导后得到其单调性，结合函数单调性解不等式9AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项【详解】对于A选项，
9、若，则，由不等式的性质可得，即“”“”，若，取，则，即“”“”，故“”是“”的充分不必要条件，A对；对于B选项，若，不妨取，则，即“”“”，若，取，,则，即“”“”，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，B错；对于C选项，取为无理数，则为有理数，C错；对于D选项，命题“，”的否定是“，”，D对故选：AD10ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案：对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案【详解】对于A，因为所以，所以，所以，当且仅当
10、，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，令，则，因为，所以x，y同号，则s，t同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD11BC【分析】由图可知，进而结合待定系数得，再依次讨论各选项即可得答案【详解】解：由图可知，所以，即，所以，再将代入得，即所以，即，因为，所以，即，故A选项错误；令，解得，即函数的对称中心为，所以当时，函
11、数的图象关于点对称，故B正确；因为，即函数关于对称，由函数图像易知正确，故C正确；当时，所以当，即时函数取得最小值-2，故D错误故选：BC12AC【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在R上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D【详解】对A，设，则，所以，又函数是定义在R上的奇函数，所以，所以，即故A正确对B，当时，所以，令，解得，当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极小值，当时，又，故函数在仅有一个零点1当时，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义R在上的奇函数，故函数
12、在上仅有一个零点，又，故函数在R上有3个零点故B错误对C，作出函数的大致图象，由图可知若关于x的方程有解，由B中的单调性可得，实数m的取值范围是故C正确由图可知，对，故D错误故选：AC131【分析】构造，展开，利用基本不等式即可求解【详解】因为，所以，即，因为，所以，当且仅当，即，时取等号所以的最小值为1故答案为：114【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果【详解】，故答案为：15【分析】利用导数求出与直线平行且与曲线相切的直线l，切点到直线的距离即为最小距离【详解】设，设直线l与曲线相切，切点为，且直线l与直线平行，则有，得，即如图所示：此时P到直线的距离最小，故答案为：16【分析
13、】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解【详解】解：时，在上的图象与上的图象关于对称，不妨设，如图：可得，令，则原式化为，其对称轴为，开口向上，在上单调递增的取值范围为故答案为：17（1）（2）【分析】（1）根据“”是“”的充分不必要条件得出A真包含于B可求解；（2）分类讨论结合集合的数轴表示可求m的取值范围（1）由题意，即，解得，所以由“”是“”的充分不必要条件，得A真包含于B，则，解得（2）当时，得，即，符合题意当时，得，即由，得或，解得或，所以或【点睛】综上所述，m的取值范围为18（1），（2）答案见解
14、析【分析】（1）求出，建立a，b方程关系，即可求出结论；（2）对a分类讨论，求出的单调区间（1）由于切点在切线上，所以，函数通过点，又，根据导数几何意义，；（2）由可知 当时，则；，当时，则；，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为当时，单调递增区间为，单调递减区间为19（1）；（2）选择，；选择，【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得，最后可得结果（2）选根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长，然后根据角度范围可得结果：选可得bc，然后结合余弦定理以及不等式可得结果【详解】（1）因为由正弦定理得，即由余弦定理得，所以（2）选择由正弦定理，即周长，即周长的取值范围选择，得，得由余弦定理得，
15、即周长，当且仅当时等号成立即周长的取值范围【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题20（1）；（2）当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元【分析】（1）根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本-其它成本，从而可求出的函数关系式：（2）分两段进行讨论：第一段利用二次函数的性质求出最大值：第二段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论【详解】解：（1），所以；当时时，所以当时，取最大值为元，当时， 而，当且仅当即时取等号，所以元，综上，当单株施肥量为4
16、千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元21（1）；（2）；【解析】（1）由函数为偶函数可得，代入即可求解（2）将不等式转化为对于，恒成立，求出在上的最小值，只需，解不等式即可；不等式转化为在时有解，求出在上的最小值，只需即可求解【详解】（1）根据题意的定义域是R又是偶函数，因此恒成立，故（2）不等式等价于对于恒成立因为在，时是增函数，所以，因此，解得所以a的取值集合为不等式在时有解，等价于在时有解，因为在时是增函数，所以，所以，解得，所以x的取值集合为【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的奇偶性求参数值，不等式恒成立、能成立问题，解题的关键是利用对数函数的单调性将不等式转化为求函数的
17、最值问题，注意转化变量，考查了转化与化归的思想22（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导，然后，对，进行分类讨论求解即可（2）对a进行分类讨论，时，不符题意，考虑时的情况，此时，可设两零点，进而把转化为证明成立，然后，利用证明极值点偏移的方法或换元法进行证明即可（1）定义域为当时，对均成立，在上单调递增当时，令，解得；令，解得在上单调递增，在上单调递减综上所述，时，在上单调递增：时，在上单调递增，在上单调递减（2），是的两个零点，由（1）可知：时，在上单调递增，最多存在一个零点，不合题意；故只考虑的情况此时在上单调递增，在上单调递减又，是的两个零点，则，必有一个在上，一个在上不妨令，要证即证，即证即证由题意有：要证，即证即证法一：即证又因为且在上单调递减要证只需证而即证令时，对都成立在上单调递增，从而命题得证法二：即证由即证即证即证令，即证令，在上单调递增从而命题得证【点睛】关键点睛：解题的关键在于，把证明成立，转化为证明成立，然后，利用极值点偏移的方法，把证明转化为，最后，把问题转化为证明成立，本题也可以用换元法证明，本题主要考查学生的转化化归思想，属于难题
