1、综合测评(二)点、直线、平面之间的位置关系本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设a，b是两条直线，是两个平面，若a，a，b，则内与b相交的直线与a的位置关系是()A平行 B相交C异面 D平行或异面解析：因为a，a，b，所以ab.又因为a与无公共点，所以内与b相交的直线与a异面故选C.答案：C2下列说法不正确的是()A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与
2、这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了答案：D3设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n且mn，则Dm，n，m，n，则解析：A中，m，n，则m与n平行、异面、相交皆有可能，故A错误B中，m，则m或m，又n，所以mn，故B正确C中，m，n，mn，则m与可能垂直，当m时有，所以C错误D中，由面面平行的判定定理，必须要m与n相交，才能得到，则D错误答
3、案：B4从空间一点P向二面角l的两个面作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角的平面角的大小为()A60 B120C60或120 D不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.答案：C5正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为()A30 B45C60 D90解析：如图，在正四棱锥SABCD中，SO底面ABCD，E是BC边中点，则SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角由题易得SO3，OE，tanSEO，所以SEO60，故选C.答案：C6已知直线a和平面，l，a，
4、a，a在，内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是()A平行 B相交C异面 D以上均有可能解析：当a，a时，有ab，ac，则bc；当aA，aB，且AB与l不垂直时，b与c异面；当alO时，b与c相交于O.b和c的位置关系是相交、平行或异面答案：D7有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l若直线a在平面外，则a若直线ab，b，则a若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：命题l可以在平面内，不正确；命题直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题a可以在平面内，不正确；命题正确答案：A8如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD
5、的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()AO是AEF的垂心 BO是AEF的内心CO是AEF的外心 DO是AEF的重心解析：如图，由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP，所以EF平面PAO，所以EFAO，同理可知AEFO，AFEO，所以O为AEF的垂心故选A.答案：A9已知三棱锥SABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是()BC平面SAC平面SBC平面SABSBAC.A BC D解析：由三视图可知，三棱锥SAB
6、C中侧棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一个直角三角形，且ACBC，从而只有是正确的故选A.答案：A10如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BCP平面PAC，BCPCDAP平面PBC解析：A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BCP平面PAC，BCPC，所以BC平面APC，AP平面APC，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，故选B.答案：B11如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿E
7、F折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：过点F作FHDC，过点A作AGEF，连接GH，AH，则AFH为异面直线AF与BE所成的角设正方形ABCD的边长为2，在AGH中，AH，在AFH中，AF1，FH2，AH，cosAFH.答案：C12如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A. B.C45 D45解析：取AC的中点G，连接SG，BG.易知SGAC，BGAC，故AC平面SGB，
8、所以ACSB.因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，则SBHD.同理SBFE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形，其面积SHFHD.答案：A第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13如图，在四面体ABCD中，BCCD，ADBD，E，F分别为AB，BD的中点，则BD与平面CEF的位置关系是_解析：因为E，F分别为AB，BD的中点，所以EFAD.又ADBD，
9、所以EFBD.又BCCD，F为BD的中点，所以CFBD，又EFCFF，所以BD平面CEF.答案：垂直14在三棱锥SABC中，ABBC，ABBC，SASC2，二面角SACB的平面角的余弦值是，若S，A，B，C在同一球面上，则该球的表面积是_解析：取AC的中点D，连接SD，BD，ABBC，BDAC，SASC2，SDAC，SDB为二面角SACB的平面角在ABC中，ABBC，ABBC，AC2，取等边SAC的中心E，作EO平面SAC，过D作DO平面ABC，则O为外接球的球心，易知ED，又二面角SACB的平面角的余弦值是，cosEDO，OD，BO，所求表面积为6.答案：615ABC是边长为6的等边三角形，
10、P为空间一点，PAPBPC，P到平面ABC距离为，则PA与平面ABC所成角的正弦值为_解析：过P作底面ABC的垂线，垂足为O，连接AO并延长交BC于E，因为P为边长为6的正三角形ABC所在平面外一点且PAPBPC，P到平面ABC距离为，所以O是三角形ABC的中心，且PAO就是PA与平面ABC所成的角，因为AOAE2.且PA，所以sinPAO；即PA与平面ABC所成角的正弦值为.答案：16如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE(A平面ABC)是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：平面AFG平面ABC；BC平面ADE；三棱锥ADEF的体积的最大值为a3
11、；动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；直线DF与直线AE可能共面其中正确的命题是_(写出所有正确命题的编号)解析：由已知可得四边形ADFE是菱形，则DEGA，DEGF，所以DE平面AFG，所以平面AFG平面ABC，正确；因为BCDE，所以BC平面ADE，正确；当平面ADE平面ABC时，三棱锥ADEF的体积达到最大值，最大值为a3，故正确；由知动点A在平面ABC上的射影在线段AF上，故正确；ADE在旋转过程中，直线DF与直线AE始终异面，故错误答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
12、为2，E，F，G分别为AB，BB1，B1C1的中点(1)求证：A1DFG；(2)求二面角A1DEA的正切值解析：(1)证明：如图，连接B1C，BC1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为F，G分别为BB1，B1C1的中点，所以FGBC1，又因为A1DB1C，B1CBC1，所以A1DFG.(2)过A作AHED于H，连接A1H，因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，所以A1AED，因为AHED，A1AAHA，所以ED平面A1AH，所以EDA1H，所以AHA1是二面角ADEA1的平面角，因为正方体的棱长为2，E为AB的中点，所以AE1，AD2，所以在RtEAD中，AH，所以
13、在RtA1AH中，tanAHA1，所以二面角A1DEA的正切值为.18(本小题满分12分)如图，已知PA，圆O在平面内，且AB是O的直径，点C是O上任一点(非A，B)，过A作AEPC于点E.求证：直线AE平面PBC.证明：因为PA，且BC，所以PABC.又因为点C在以AB为直径的圆上所以BCAC.又因为直线PA和AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BC平面PAC.又因为直线AE平面PAC，所以BCAE.又因为AEPC，而PC和BC为平面PBC内的两条相交直线，所以AE平面PBC.19(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC.(1)求证：PC
14、AB；(2)求二面角BAPC的正弦值解析：(1)证明：如图，取AB中点D，连接PD，CD.因为APBP，所以PDAB.因为ACBC，所以CDAB.因为PDCDD，所以AB面PCD.因为PC面PCD.所以PCAB.(2)因为ACBC，APBP，所以APCBPC.又PCAC，所以PCBC.又ACB90，即ACBC，且ACPCC，所以BC面PAC，可知BCPA.如图，取AP的中点E，连接BE，CE.因为ABBP，所以BEAP.又BCPA，BEBCB，所以AP平面BEC.所以CEAP.所以BEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，BCE 90，BC2，BEAB，所以sinBEC.所以二面角BAPC的正
15、弦值为.20(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为AB的中点，N为BC的中点，沿DE将ADE折起(1)若平面ADE平面BCDE，求证：ABAC；(2)若ABAC，求证：平面ADE平面BCDE.证明：(1)取DE的中点M，连接AM，因为在翻折前，四边形ABCD为矩形，AB2AD，E为AB的中点，所以翻折后ADAE，则AMDE，又平面ADE平面BCDE，所以AM平面BCDE，所以AMBC，又N为BC的中点，所以MNBC，因为AMMNM，所以BC平面AMN，所以BCAN，又N为BC的中点，所以ABAC.(2)由(1)设M是DE中点，因为N为BC的中点，所以MNDC，又BC DC
16、，所以MNBC，又ABAC，所以BCAN，又MNANN，所以BC平面AMN.所以BCAM，由(1)知AMDE，又DE与BC不平行，所以AM平面BCDE，又AM平面ADE，所以平面ADE平面BCDE.21(本小题满分12分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解析：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.因为平面V
17、AB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以SVAB，又因为OC平面VAB，所以VCVABOCSVAB.因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.22(本小题满分12分)如图所示，正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3)问在棱AD上是否存在一点F，使EF侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不
18、存在，说明理由解析：(1)取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知ADMO，ADPO，则PMO为所求二面角PADO的平面角PO面ABCD，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角tanPAO，设ABa，AOa，POAOtanPOAa，tanPMO.PMO60.(2)连接AE，OE，OEPD，OEA为异面直线PD与AE所成的角AOBD，AOPO，AO平面PBD.又OE平面PBD，AOOE.OEPDa，tanAEO；(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG，MG.BCMN，BCPN，BC平面PMN平面PMN平面PBC.又PMPN，PMN60，PMN为正三角形MGPN.又平面PMN平面PBCPN，MG平面PBC.F是AD的4等分点，靠近A点的位置
