1、第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是错误的，故选C2三段论：“所有的中国人都坚强不屈”“武汉人是中国人”“武汉人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是(A)A BC D解析大前提是“所有的中国人都坚强不屈”，小前提是“武汉人是中国人”，故选A3用火柴棒摆
2、“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(C)A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n24观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10(C)A28 B76C123 D199解析利用归纳法：ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b947297
3、6，a10b107647123规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和5若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数是(C)A0 B1C2 D3解析正确，中，ac，bc，ab能同时成立，如a1，b2，c3，故选C6已知圆x2y2r2(r0)的面积为Sr2，由此类比椭圆1(ab0)的面积最有可能是(C)Aa2 Bb2Cab D(ab)2解析圆的方程可以看作是椭圆方程1(ab0)中，ab时的情形，S圆r2，类比出椭圆的面积为Sab7在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关
4、系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为(A)A甲、丁、乙、丙 B丁、甲、乙、丙C丁、乙、丙、甲 D乙、甲、丁、丙解析因为甲、丙的阅读量之和等于乙、丁的阅读量之和，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和，所以丁的阅读量大于乙的阅读量且大于丙的阅读量，所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲、丁、乙、丙故选A8某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周
5、五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(B)A今天是周六 B今天是周四CA车周三限行 DC车周五限行解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，故选B二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多
6、项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，这样的数称为“正方形数”从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是(BD)A25916 B361521C491831 D642836解析这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，且正方形数是这串数中的相邻两数之和，很容易发现152136,283664，只有BD正确10下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1
7、)f(x2)”的是(AC)Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)解析若满足题目中的条件，则f(x)在(0，)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由函数基本性质知，AC是减函数，故选AC11类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是(CD)AS(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)BS(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)C2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)D2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)解析经验证易知AB错误，依题意，注意到2S(xy)2(axy
8、axy)，又S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)，综上所述，选CD12已知f(x)x3x，a、b、cR，且ab0，ac0，bc0，则下列对于f(a)f(b)f(c)的取值说法不正确的是(BCD)A一定大于零 B一定等于零C一定小于零 D正负都有可能解析f(x)x3x是奇函数，且在R上是增函数，由ab0得ab，所以f(a)f(b)，即f(a)f(b)0，同理f(a)f(c)0，f(b)f(c)0，所以f(a)f(b)f(c)0，故选BCD三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，
9、共20分，将正确答案填在题中横线上)13甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球现知道：甲取出的小球编号为偶数；乙取出的小球编号比甲大；乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大则丁取出的小球编号是_3_解析由可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|14|32，|13|2，所以由可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3故答案为314设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN
10、*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_解析由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x)15甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_乙_解析由题意得，甲、丙两人说的话同真同假，又只有一人说的是假话，所以乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请，故申请人为乙16观察下列等式：11131123 132391236 13233336123410 1323334310012
11、34515 1323334353225 可以推测：132333n3_.(nN*，用含有n的代数式表示)解析由条件可知：1312,1323932(12)2,1323333662(123)2，不难得出132333n3(123n)22四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知a、b、cR，求证：解析分析法：要证，只需证：()2，只需证：3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需证：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证：(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以成立综合法：a、b、cR，(ab)2(bc)
12、2(ca)20，2(a2b2c2)2(abbcac)，3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，18(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)(1)求证：tan(x)；(2)设xR，a为非零常数，且f(xa)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论解析(1)证明：根据两角和的正切公式得tan(x)，即tan(x)，命题得证(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数因为f(x2a)f(xa)a所以f(x4a)f(x2a)2af(x)所以f(x)是以4a为周期的周期函数19(本题满分12分)我们知道，在ABC中，若c2a2b2，则ABC是直角
13、三角形现在请你研究：若cnanbn(n2)，问ABC为何种三角形？为什么？解析锐角三角形cnanbn (n2)，ca, cb，由c是ABC的最大边，所以要证ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC0cosC，要证cosC0，只要证a2b2c2，注意到条件：anbncn，于是将等价变形为：(a2b2)cn2cn.ca，cb，n2，cn2an2，cn2bn2，即cn2an20，cn2bn20，从而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0，这说明式成立，从而式也成立故cosC0，C是锐角，ABC为锐角三角形20(本题满分12分)求证：在锐角
14、三角形ABC中，sinAsinBsinCcosAcosBcosC解析因为在锐角三角形中，AB，所以AB，所以0BA又因为在(0，)内，正弦函数是单调递增函数，所以sinAsin(B)cosB，即sinAcosB同理可证sinBcosC，sinCcosA把以上三式两端分别相加，得sinAsinBsinCcosAcosBcosC21(本题满分12分)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高h.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体ABCD中，若三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则该四面体的高H与S，S1，S2，S3之间的关系是什么？(用S
15、，S1，S2，S3表示 )解析记该四面体ABCD的三条侧棱长分别为a，b，c，不妨设S1ab，S2bc，S3ac，由SHS1c，得H，于是H，即H22(本题满分12分)已知函数f(x)(x2)exx2x2(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当x1时，f(x)x3x解析(1)f (x)(x1)(ex1)，当x0或x1时，f (x)0，当0x1时，f (x)0，f(x)在(，0)，(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x0时，f(x)有极大值f(0)0，当x1时，f(x)有极小值f(1)e(2)设g(x)f(x)x3x，则g(x)(x1)(ex)，令u(x)ex，则u(x)ex，当x1时，u(x)ex0，u(x)在1，)上单调递增，u(x)u(1)e20，所以g(x)(x1)(ex)0，g(x)f(x)x3x在1，)上单调递增g(x)f(x)x3xg(1)e0，所以f(x)x3x
