1、3模拟方法概率的应用填一填1.几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成_，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)_，则称这种模型为几何概型几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是_之比或_之比2几何概型的特点(1)无限性，在一次试验中，可能出现的结果有无限个，即有无限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性(概率)是均等的因此，几何概型适用于试验结果有无限多个且各个结果等可能发生的概率模型，主要解决有关长度、面积、体积的概率问题.判一判1.几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关()2几何
2、概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个()3几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等()4几何概型是古典概型的一种()5在一个正方形区域内任取一点的概率是零()6与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()想一想1.几何概型的基本事件有无数多个吗？提示：是，这也是几何概型与古典概型的区别之一2几何概型与古典概型有什么区别？提示：古典概型要求随机试验所包含的所有基本事件的个数必须是有限多个；几何概型要求随机试验所包含的基本事件应当是无限多个，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关3利用几何概型概率公式求解的关键是什么？提示：关键是
3、找到构成事件A及试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)4在几何概型中，概率为0的事件一定是不可能事件，概率为1的事件一定是必然事件这种说法正确吗？为什么？提示：不正确如果随机事件所在区域是一个单点A，由于单点A的长度、面积、体积均为0，根据几何概型概率的计算公式，则该事件出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点A，则该事件出现的概率为1，但它不是必然事件思考感悟练一练1在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是()A. B.C. D.2如图所示，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任
4、取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是()A. B.C. D.3若在范围0,1上随机取一个数a，则事件“a1”发生的概率为()A0 B1C. D.4.右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为()A8 B9C10 D125在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B.C. D.知识点一与长度(角度)有关的几何概型1.取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于
5、1 m的概率是_2在圆心角为90的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率知识点二与面积有关的几何概型3.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_4在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是_知识点三与体积有关的几何概型5.已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是()A.B.C. D.6有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的
6、距离大于1的概率为_.综合知识概率的应用7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥MABCD的体积不超过(事件A)的概率8平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r0的概率为()A. B.C. D.4设x，y是两个0,1上的均匀随机数，则0xy1的概率为()A. B.C. D.5质点在数轴上的区间0,2上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间0,1上的概率为()A. B.C. D以上都不对6如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号
7、来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1C2 D.7一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.8下列概率问题中属于几何概型的为_(填写正确的序号)随机地向正方形内抛掷硬币30次，统计硬币正面朝上的概率；从一批产品中抽取50件进行检验，发现有5件次品，求取到正品的概率；箭靶的直径为60 cm，其中，靶心的直径只有12 cm，任意向靶射箭，求射中靶心的概率9如图，在正方形内有一扇形(见阴影部分)扇形对应的圆心是正方形的一
8、顶点，半径为正方形的边长，在这个图形上随机地撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为_10射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm，黄心直径是12.2 cm，运动员在距离靶面70 m外射箭假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是_11在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为_12在区间3,3上随机取一个数x，使得|x1|x2|1成立的概率为_13已知圆C：x2y21
9、2，直线l：4x3y25.(1)求圆C的圆心到直线l的距离；(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率14已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率能力提升15.(选做题)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率16已知正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为a，在正方体内随机取点M.(1)求M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率；(2)求M落在三棱锥BA1B1C1内的概率；(3)求M与平面ABCD的距离大于的概率；(4)求M与平面ABCD及平面A1B1C1D1的距离都大于
10、的概率3模拟方法概率的应用一测基础过关填一填1正比G1的面积/G的面积体积长度判一判12.3.4.5.6.练一练1D2.D3.C4.B5.C二测考点落实1解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间2 m时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P.答案：2解析：以O为起点作射线OC是随机的，而射线落在AOB内的任何位置是等可能的，作AODBOE30，则OC落在DOE内符合题目要求，OC落在DOE内只与DOE的大小有关，符合几何概型的特点设事件A为“射线OC落在DOE内”事件A的度量是90303030，试验的全部结果的度量是90，由几何概型的概率公式得P(A).3解析：由题意知，这是个几何概型问题，0.
11、18，S正1，S阴0.18.答案：0.184解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为.答案：5解析：由VPABCVSABC知，P点在三棱锥SABC的中截面A0B0C0的下方，P11.答案：B6解析：先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱1222，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球13.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：，故点P到点O的距离大于1的概率为：1.答案：7解析：设M到平面ABCD的距离为h，则VMABCDS四边形ABCDh.又S四边形ABCD1，所以只要h即可所有满足h的点组成以四边形ABCD为底面，为高的长方体，
12、其体积为.又正方体的体积为1，所以使四棱锥MABCD的体积不超过(事件A)的概率为P(A).8解析：设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是0，a，只有当r1的概率P.答案：A3解析：因为1x|2x2axa20，所以2aa20，解得1a2.由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为.答案：D4解析：如图所示，所求的概率为P.答案：A5解析：区间0,2的长度为2，记“质点落在区间0,1上”为事件A.则事件A的区间长度为1，则P(A).答案：C6解析：由题意得，无信号的区域面积为2
13、12122，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P1.答案：A7解析：根据题意：安全飞行的区域为棱长为1的正方体，所以P.答案：B8解析：根据古典概型和几何概型的特点，知为古典概型，为几何概型答案：9解析：设正方形的边长为1，扇形的面积S扇形12，所以概率P11.答案：110解析：由于中靶点随机地落在面积为1222 cm2的大圆内，黄心的面积为(12.2)2 cm2，所以射中黄心的概率为0.01.答案：0.0111解析：如图，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P.答案：12解析：先求出绝对值不等式的解集，再结合几何概型知识求解当x2时，不等式可化为x1
14、x21，即31，此式恒成立，此时x2.综上，不等式|x1|x2|1的解集为1，)不等式|x1|x2|1在区间3,3上的解集为1,3，其长度为2.又x3,3，其长度为6，由几何概型知识可得P.答案：13解析：(1)由点到直线l的距离公式可得d5.(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，设与圆相交且与直线l之间距离为2的直线为l1，其方程为4x3y15.则符合题意的点应在l1：4x3y15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60.故所求概率为P.14解析：如图，分别取SA，SB，SC的中点A1，B1，C1，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点
15、M到底面的距离小于.设ABC的面积为S，由ABCA1B1C1，且相似比为2，得A1B1C1的面积为.由题意，知区域D(三棱锥SABC)的体积为Sh，区域d(三棱台ABCA1B1C1)的体积为ShSh.所以点M到底面的距离小于的概率为P.15解析：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件为|xy|15，在如图所示的平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能会面”的可能结果由图中的阴影部分表示uA6024521 575，u6023 600，P(A).16解析：V正方体a3.(1)V三棱柱ABCA1B1C1a2aa3，所求概率P1.(2)V三棱锥BA1B1C1SA1BB1B1C1a2aa3，所求概率P2.(3)P3.(4)P4.
